綜合檢測題（一）-【新教材】2022學(xué)年蘇教版（2022）高中數(shù)學(xué)必修第二冊（含解析）

蘇教版（2022）必修第二冊數(shù)學(xué)全冊綜合檢測題（一）一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）．A．3 B．4 C． D．102．設(shè)平面向量，若，，則（）A．2 B．3 C．9 D．63．棱長為a的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．4．化簡可得（）A． B．C． D．5．已知一組數(shù)據(jù)、、、、的平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是（）A． B． C． D．6．內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則該三角形的面積為（）A．1 B．4 C．3 D．7．在一次科普知識競賽中共有200名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這200名參賽者的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．可求得 B．這200名參賽者得分的中位數(shù)為65C．得分在之間的頻率為 D．得分在之間的共有80人8．如圖所示，邊長為2的正△ABC，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動，則?的取值范圍為（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]二、多選題9．已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試的成績統(tǒng)計如圖，則下列說法正確的是（）A．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，則B．若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，則C．甲成績的極差小于乙成績的極差D．甲成績比乙成績穩(wěn)定10．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．“”的充要條件是“”D．若，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一或第二象限11．已知是不重合的直線，是不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則且 D．若，，則12．三棱錐中，是等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，側(cè)面?zhèn)让?，則（）A．二面角的大小為B．此三棱錐的側(cè)面積與其底面面積之比為C．點(diǎn)到平面的距離與的長之比為D．此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為三、填空題13．已知向量，，且與共線，則______.14．已知一個球的半徑與一個等邊圓柱（過軸的截面是正方形）的底面半徑相等，則該圓柱的表面積與球的表面積的比值是_____.15．如圖所示，已知直四棱柱的底面是有一個角為的菱形，且該直四棱柱有內(nèi)切球(球與四棱柱的每個面都相切)，設(shè)其內(nèi)切球的表面積為，對角面和的面積之和為，則的值為___________.16．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為__________．四、解答題17．平面內(nèi)給定三個向量，，.（1）求滿足的實數(shù)，；（2）若，求實數(shù)的值.18．在中，角，，的對邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，（），且的面積為，求的值．19．2022年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，中共中央要求我們要熟悉黨史、學(xué)習(xí)黨史．某社區(qū)為了解居民對黨史的認(rèn)知情況，舉行了一次黨史知識競賽，并從所有的居民競賽試卷中隨機(jī)抽取n份試卷進(jìn)行成績分析，得到成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在的試卷份數(shù)是24．（1）求，的值；（2）用分層抽樣的方法在成績?yōu)楹瓦@兩組中共抽取5份試卷，并從這5份試卷中任取2份試卷的居民進(jìn)行點(diǎn)評，求分?jǐn)?shù)在恰有1份的概率．20．如圖，已知向量，點(diǎn)A，B分別是的中點(diǎn)．（1）試用向量，表示向量；（2）設(shè)，，試求與的夾角的取值范圍．21．如圖，在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.22．如圖，有一位于處的雷達(dá)觀測站發(fā)現(xiàn)其北偏東，與相距海里的處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測得該船只位于觀測站北偏東(其中，)且與觀測站相距海里的處.（1）求該船的行駛速度(海里/小時)；（2）在離觀測站的正南方20海里的處有一暗礁(不考慮暗礁的面積)，如貨船不改變航向繼續(xù)前行，該貨船是否有觸礁的危險？試說明理由.參考答案1．C【分析】先求出，再求即可.【詳解】由得，則．故選：C．2．D【分析】根據(jù)平面向量夾角公式，結(jié)合平面向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：D3．D【分析】根據(jù)正四面體是各面都是全等的等邊三角形，即可由三角形面積公式求出結(jié)果.【詳解】因為正四面體是各面都是全等的等邊三角形，又該正四面體的棱長為，所以該正四面體的表面積為.故選：D.4．D【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦公式化簡即可得解．【詳解】．故選：D5．A【分析】利用平均數(shù)可構(gòu)造方程求得，由方差公式計算可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：，方差.故選：A.6．C【分析】先利用正弦定理將化為，然后利用余弦定理求出，從而可求出，進(jìn)而可求出三角形的面積【詳解】解：因為，所以由正弦定理得，即，所以，因為，所以，所以的面積為，故選：C7．B【分析】利用頻率之和可以求出a，即可判斷選項A；利用中位數(shù)的計算方法求出中位數(shù)，即可判斷選項B；利用頻率分布直方圖中頻率的計算方法求出頻率，即可判斷選項C；利用頻率?頻數(shù)?樣本容量之間的關(guān)系，即可判斷選項D.【詳解】解：由頻率之和為1可得，，故，故選項A正確；的頻率為，的頻率為，所以這200名參賽者得分的中位數(shù)為，故選項B錯誤；得分在之間的頻率為，故選項C正確；得分在之間的人數(shù)為人，故選項D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求頻率分布直方圖中的中位數(shù)，一般先確定中位數(shù)在哪一個矩形中，再設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形的面積和為得解.8．D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，等于乘以在向量上的投影，因為不變，故求的取值范圍等價于求向量在向量上的投影的長度取值范圍即可.【詳解】解：由題可知，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時，最小，此時過圓心O作OPAB交圓弧于點(diǎn)P，連接AP，此時最大，過O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延長線于F，則=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，所以的取值范圍為[2，5].故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)量積幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為投影長度的變化，從而求得取值范圍.9．ACD【分析】根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的求法、方差的求法及其意義、極差的概念，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法即可判斷各項的正誤.【詳解】由圖知，甲同學(xué)除第二次考試成績略低于乙同學(xué)，其他次考試都高于乙同學(xué)，知，A正確；甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)穩(wěn)定，故，所以B錯誤，D正確；極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，甲成績的極差小于乙成績的極差，所以C正確.故選：ACD．10．AB【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念分別檢驗各選項即可判斷．【詳解】，，，則，正確；若，，，則，正確；當(dāng)時，例如，不滿足，故“”的充要條件不是“”，C錯誤．若，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一或第二象限或在虛軸的正半軸上，故D錯誤.故選：AB11．ABC【分析】由直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的相關(guān)命題依次判斷各個選項即可得到結(jié)論.【詳解】對于A，若，，此時可能平行或異面，A錯誤；對于B，若，，則可能平行或相交，B錯誤；對于C，若，，則可能在或內(nèi)，也可能與兩平面平行，C錯誤；對于D，若，，由垂直于同一條直線的兩平面平行可知，D正確.故選：ABC.12．BCD【分析】把三棱錐放置在正方體中，求解二面角判斷；求出棱錐的表面積判斷；由等面積法求出到平面的距離判斷；分別求出棱錐及其外接球的體積，作比后判斷．【詳解】解：將該三棱錐放置在正方體當(dāng)中，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1.對于A，取的中點(diǎn)，連接，，則即為二面角的平面角，，則，故A錯誤；對于B，此三棱錐的側(cè)面積為，底面積為，側(cè)面積與底面積之和為，故B正確；對于C，在中，過點(diǎn)作，垂足為，可得平面，，則點(diǎn)到平面的距離與的長之比為，故C正確；對于D，此三棱錐的體積，外接球的半徑，外接球的體積，∴，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意，把三棱錐放進(jìn)正方體中是解題的關(guān)鍵，借助正方體的性質(zhì)問題迎刃而解.13．-7【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)形式的共線定義求得參數(shù).【詳解】因為與共線，所以，解得.

故答案為：-7.14．【分析】設(shè)等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑1，即可求得圓柱的表面積與球的表面積的比值．【詳解】解：由題意可得：等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑與球的半徑相等，設(shè)為，所以等邊圓柱的表面積為：，球的表面積為：.所以等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為．故答案為：．15．【分析】由底面菱形求得內(nèi)切圓半徑，即為四棱柱內(nèi)切球半徑，求得可得比值．【詳解】解：設(shè)，，內(nèi)切球的半徑為，則（內(nèi)切圓直徑即為菱形的高），∴，四棱柱的高為：，∴，由題意可得，∴，∴.故答案為：.16．【分析】作，則，由，，可得，可求，令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求在，單調(diào)遞，在，上單調(diào)遞增，可得，從而得解．【詳解】解：由于，作，則，因為，，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，綜上．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用角間關(guān)系構(gòu)造三角形，明確各邊之間的大小關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)處理最值問題.17．（1），；（2）.【分析】（1）依題意求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量相等得到方程組，解得即可；（2）首先求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計算可得；【詳解】解：（1）因為，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【分析】（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求出，即可得解；（Ⅱ）利用余弦定理求出邊，再利用面積公式求出，即可得解；【詳解】解：（Ⅰ）因為，所以，即，所以，因為，則；（Ⅱ）在中，因為，，，由余弦定理得，即或（舍），因為，所以點(diǎn)在延長線上，在中，，，則，所以，即，所以．19．（1）；；（2）．【分析】（1）由成績在的學(xué)生人數(shù)為24，頻率為可得的值，由概率和為1可得的值；（2）通過分層抽樣的概念可得抽到第四組三份試卷，第五組兩份試卷，利用列舉法結(jié)合古典概型概率計算公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由于其中成績在的學(xué)生人數(shù)為24，又在間的頻率為，∴．又概率和為1，∴．（2）∵，∴第四組的頻數(shù)：；第五組的頻數(shù)：；用分層抽樣的方法抽取5份試卷得：第四組抽?。?；第五組抽?。海洺榈降谒慕M的三份試卷為，，，抽到第五組的兩份試卷為，則從5份試卷中任取2份的基本事件有：，，，，，，，，，，共10種．其中分?jǐn)?shù)在恰有1份有：，，，，，，共6種．∴所求概率：．20．（1）；（2）.【分析】（1）由是的中位線得出，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）先求出，進(jìn)而求得，由此確定出的取值范圍.【詳解】（1）依題意知是的中位線，所以，；（2）由（1）得，平方得：所以，由可得，所以，又，所以.故與夾角的取值范圍是.21．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接BD與AC交于點(diǎn)O，根據(jù)O，E為為中點(diǎn)，易得,再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)（1），由得到異面直線與所成的角，然后證得，得到是直角三角形求解.【詳解】（1）如圖所示：，連接BD與AC交于點(diǎn)O，因為O，E為為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，則異面直線與所成的角，在正方體中，因為，且，所以平面，又因為平面，所以，所以是直角三角形，設(shè)正方體的棱長為a,則，，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．22．（1）(海里/小時)；（2）貨船不改變航向繼續(xù)前行會有觸礁的危險，理由見解析.【分析】（1）利用