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14三月20231第四節(jié)重積分的應(yīng)用

第八章一、曲面的面積二、小結(jié)與思考練習(xí)14三月20232設(shè)曲面的方程為：如圖，一、曲面的面積(AreaofSurface)14三月20233設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA

無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則14三月20234故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即14三月20235若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且14三月20236被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.例1.計算雙曲拋物面14三月20237例2.

計算半徑為a的球的表面積.14三月20238此為二重積分的廣義積分14三月20239解據(jù)曲面面積公式,其中

D是曲面方程例3

求圓錐在圓柱體內(nèi)

那一部分的面積.故是14三月202310例4設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星，距地面高度為h=36000km，運行角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.試計算該通訊衛(wèi)星覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R=6400km).解：取地心為坐標(biāo)原點，地心到通訊錄衛(wèi)星中心的連線為z軸.14三月202311

通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面∑是上半球面被半頂角為α的圓錐面所截得的部分.∑的方程為于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為其中Dxy是曲面∑在xOy面上的投影區(qū)域,14三月202312利用極坐標(biāo)，得由于,代入上式得由此，通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為14三月202313內(nèi)容小結(jié)幾何應(yīng)用：曲面的面積14三月202314作業(yè)習(xí)題8-4P163

1;2;14三月202315思考練習(xí)(t

為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm

的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)14三月202316記雪堆體積為V,側(cè)面積為S,則(用極坐標(biāo))提示:14三月

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