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一階線性微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二節(jié)C一、一階線性微分方程二、伯努利方程
第七章一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程
.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次線性方程
;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解方程
解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.
求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、伯努利(Bernoulli)方程
伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:
可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束P299A類1(1),(2),(6);2(3,6);4(3);6(3),(6);7(3);8;作業(yè)第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束
設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(雅各布第一·伯努利)
書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多16
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