介電常數(shù)與對稱性

介電常數(shù)與對稱性1第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日2介電常數(shù)與對稱性各向異性介電常數(shù)與對稱性的關系第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日3描寫電介質(zhì)的性質(zhì)以及遵循的電學規(guī)律常用三個矢量和兩個系數(shù)，即極化強度P，電場強度E，電位移D和極化率χ，介電常數(shù)ε。第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日4極化強度P

在外電場的作用下，電介質(zhì)要產(chǎn)生極化。極化強度就是反映電介質(zhì)的極化強度的物理量，通常用符號P表示。極化強度與電偶極矩的關系：在電介質(zhì)內(nèi)選取某體積元?V，沒有外電場作用時，電介質(zhì)不產(chǎn)生極化，這時體積元?V內(nèi)所有原子（或分子）的電偶極矩的Σp分量等于零；在電場作用下，由于電介質(zhì)要產(chǎn)生極化，這時體積元?V內(nèi)的電偶極矩的矢量和Σp不等于零。第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日5極化強度P的定義為：即極化強度為單位體積內(nèi)的電偶極矩的矢量和。第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日6極化強度與極化電荷的關系

電介質(zhì)極化后在它的表面上要出現(xiàn)極化電荷（即束縛電荷）。極化電荷的數(shù)量與極化程度有關，就是說與極化強度有關。設極化電荷面密度為σ’，則有：Pn

為極化強度在表面元的法線方向的分量。上)式說明電介質(zhì)的極化電荷面電荷密度在數(shù)值上等于極化強度在該面上的法線方向的分量。第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日7各向同性介質(zhì)中P、D和E之間的關系

對于各向同性的電介質(zhì)，實驗上發(fā)現(xiàn)當介質(zhì)中電場不是很大時，極化強度P與電場E成正比，并且方向相同，即：式中比例系數(shù)χ稱為介質(zhì)的極化率。第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日8電位移D與電場E、極化強度P之間的關系為：或

式中，0=1/（36109）8.8510-12（法/米），稱為真空介電常數(shù)或真空極化率；稱為介電常數(shù)，它們之間的關系為：

或

第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日9各向異性介質(zhì)中P、D和E之間的關系

一般晶體都是各向異性的電介質(zhì)。對于各向異性的電介質(zhì)實驗上發(fā)現(xiàn)，P、D、E之間的方向彼此不同，如圖所示，但關系D=0E+P式仍然成立；和與P、D、E的分量方向有關，不是標量而是張量了。第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日10圖2-8充滿各向異性介質(zhì)的平行板電容器

第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日11P與E的關系

為了得到各向異性介質(zhì)中極化強度分量（Px、Py、Pz）與電場強度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關系式，進行如下實驗。當介質(zhì)在x方向受到電場Ex的作用時，不僅在x方向出現(xiàn)極化強度Px(1)，而且在y方向和z方向也出現(xiàn)極化強度分量Py(1)和Pz(1)，它們與Ex的關系為：第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日12同理，在介質(zhì)的y、z方向，分別受到電場Ey或Ez的作用時，產(chǎn)生的極化強度分量為：

第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日13當介質(zhì)受到任意電場E（Ex、Ey、Ez）的作用時，介質(zhì)中產(chǎn)生的極化強度P（Px、Py、Pz）與E之間的關系為：第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日14上式表示各向異性介質(zhì)中的極化強度分量與電場強度分量之間的關系。實驗上還發(fā)現(xiàn)，對于所有的介質(zhì)都存在12=21，13=31和23=32，即獨立的極化率系數(shù)只有六個。于是上式可改寫為：第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日15極化率的物理意義式中極化率11=（Px/Ex）Ey,Ez，為當y、z方向電場分量Ey、Ez保持不變時，由于沿x方向電場分量Ex的變化所引起的x方向極化強度Px的變化與Ex變化之比?；蛘哒f，當Ey、Ez保持不變時，Ex改變一個單位時（即Ex=1時）所引起Px的變化就等于11。極化率12=（Px/Ey）Ez,Ex，為當z、x方向電場分量Ez、Ex保持不變時，Ey改變一個單位時（即Ex=1時）所引起Px的變化。其它極化率的意義與11、12類似，極化率的大小由材料的介電性質(zhì)所決定。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日16Itisatensor,notavector由此可見，對于各向異性介質(zhì)沿x方向的極化強度分量Px不僅與x方向的電場Ex有關，而且與y、z方向電場分量Ey、Ez有關，或者說Px與Ex、Ey、Ez之間存在線性關系。同理，Py、Pz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關系。描寫電介質(zhì)材料介電性質(zhì)的極化率，有六個獨立分量（11、12、13、23、22、33）。就是說電介質(zhì)材料的極化率，即不是標量，也不是矢量，而是二級對稱張量，它與E、P的方向有關。

第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日17為了方便，我們規(guī)定x、y、z方向為1、2、3方向，于是（Px、Py、Pz）就可寫成（P1、P2、P3），（Ex、Ey、Ez）就可寫成（E1、E2、E3）。上式可簡化為:或：第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日18矩陣形式

第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日19D與E的關系

同理，電介質(zhì)材料中的電位移分量（Dx、Dy、Dz）與電場強度分量（Ex、Ey、Ez）之間的關系可以寫為：

或簡寫成：第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日20式中介電常數(shù)11=（Dx/Ex）Ey、Ez，為當Ey、Ez保持不變時，Ex改變一個單位時所引起Dx的變化。介電常數(shù)12=（Dx/Ey）Ez、Ex，為當Ez、Ex保持不變時，Ey改變一個單位時所引起Dx的變化。其它介電常數(shù)的意義與11、12的類似，介電常數(shù)的大小由材料的介電性決定第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日21D與P、E之間的關系

各向異性電介質(zhì)材料沿x方向的電位移分量Dx不僅與x方向的電場Ex有關，而且與y、z方向電場分量Ey、Ez有關?；蛘哒fDx與Ex、Ey、Ez之間存在線性關系。同理，Dy、Dz也分別與Ex、Ey、Ez之間存在線性關系。描寫各向異性電介質(zhì)材料的介電性質(zhì)需要六個獨立的介電常數(shù)，因此各向異性電介質(zhì)材料的介電常數(shù)也是二級對稱張量。第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日22介電常數(shù)mn與極化率mn之間的關系在x方向上的分量：第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日23同理可得：寫成矩陣形式為：第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日24對于各向同性的電介質(zhì)，P、E之間的關系與D、E之間的關系也可以寫成矩陣形式：第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日25小結（1）不論是各向同性的電介質(zhì)，還是各向異性電介質(zhì)，關系式D=0E+P都是成立的。（2）對于各向同性的線性電介質(zhì)材料，D、E、P的方向相同，并有D=E，P=E；與是標量，與，D、E、P的分量方向無關。與之間的關系為：=0+。（3）對于各向異性電介質(zhì)材料，D、E、P的方向彼此不同，并有第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日26各向異性電介質(zhì)的介電常數(shù)與對稱性

描寫完全各向同性介質(zhì)，只要一個介電常數(shù)，描寫完全各向異性介質(zhì)，需要六個獨立的介電常數(shù)。獨立的介電常數(shù)的個數(shù)與材料的對稱性有關，而且一般情況下獨立的介電常數(shù)的個數(shù)是界于一個和六個之間。

第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日27下面主要介紹如何根據(jù)不同晶類的對稱性，來確定它的獨立介電常數(shù)。在32種點群中，有21個沒有對稱中心，這21種點群中有20種點群具有壓電效應。這20種具有壓電效應的晶體，它們的介電常數(shù)、彈性常數(shù)和壓電常數(shù)的數(shù)目在下表中。第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日28具有壓電效應的晶類的各種獨立常數(shù)的數(shù)目

表2-1具有壓電效應的晶類的各種獨立常數(shù)的數(shù)目晶系點群獨立常數(shù)的數(shù)目

晶系點群獨立常數(shù)的數(shù)目介電彈性壓電介電彈性壓電三斜162118三角3276單斜m413103m2642413832262正交mm2395六角6254222393252四方42746mm2532746m22514mm263622251m2262立方231314222613m131壓電陶瓷253

第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日29從表中可以看出，屬于三斜晶系的晶體結構對稱性最低，是完全各向異性晶體，它的獨立的介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最多；其次是屬于單斜晶系的晶體，對稱性也較低；屬于立方晶系的晶體，對稱性最高，接近于各向同性晶體，它的獨立介電常數(shù)、彈性常數(shù)、壓電常數(shù)的數(shù)目最少，其次是六角晶系，對稱性也較高。第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日30晶體的獨立介電常數(shù)的數(shù)目

現(xiàn)在介紹如何根據(jù)不同晶類的對稱性，來確定它的獨立的介電常數(shù)。因為不同的晶類的對稱性不一樣，或者說各向異性的程度不一樣，其獨立的介電常數(shù)數(shù)目就會不一樣。完全各向異性體的獨立介電常數(shù)有六個，完全各向同性體的獨立介電常數(shù)只有一個，而且有壓電效應的晶體的對稱性是介于完全各向異性體和完全各向同性體之間，可以預料它們的獨立介電常數(shù)的數(shù)目是在一到六之間。

第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日31例如，氯酸鈉NaClO3和溴酸鈉NaBrO3晶體，是立方晶系23點群的壓電晶體；碲化鎘CdTe和硒化鋅ZnSe晶體是屬于立方晶系3m點群的壓電晶體。這些晶體的獨立介電常數(shù)只有一個。又如，屬于四方晶系4mm點群的鈦酸鋇BaTiO3晶體，屬于三方晶系32點群的-石英晶體和3m點群的LiNbO3晶體等都是介于完全各向異性體和完全各向同性體之間的晶體，這些晶體的獨立介電常數(shù)只有二個。

第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日32現(xiàn)在以具有z軸是四次軸的晶體為例，說明晶體對稱性與介電常數(shù)之間的關系。所謂z軸是四次軸，即表示當晶體繞z軸轉(zhuǎn)90、180、270后，晶體的性質(zhì)保持不變，各個介電常數(shù)也mn保持不變。當晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的x’軸與y軸重合，若晶體繞z軸轉(zhuǎn)270后，則晶體的y’軸與x軸重合，這表明，當x軸與y軸互換后，晶體的介電常數(shù)應保持不變，即要求11=22。但是x軸、y軸與z軸不能互換，即11

33。至于其它介電常數(shù)，可通過下述方法確定。第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日334-foldrotation第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日34設晶體受到沿z方向的電場Ez的作用時，在x、y軸方向的電位移分量為：當晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，在新坐標系中電位移分量為：第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日35因為z軸轉(zhuǎn)90后，x’y，y’

-x，zz’，固有Dx’=Dy，Dy’=-Dx：比較可得：因為z軸為四次軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的介電常數(shù)應保持不變，這就要求：

第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日36一方面要求：另一方面又要求：可見下式只有才能同時滿足用類似方法還可以證明：第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日37最后得到具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)的矩陣形式為：

獨立的介電常數(shù)只有11和33兩個。鈦酸鋇、鈦酸鉛等壓電晶體的z軸都是四次旋轉(zhuǎn)軸，它們的介電常數(shù)與上式相同。第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日38坐標變換法利用矢量和張量的坐標變換可以嚴格證明上面的過程。注意點群的對稱操作與坐標軸的關系。原坐標系：新坐標系：具有對稱性的意義：第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日39坐標系的變換：或：電場的變換：電位移的變換：第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日40仍以4點群為例說明。變換矩陣為：具有對稱性的意義：第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日41第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日42對稱性要求4點群介電常數(shù)的形式第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日43足標代換法

還可以采用“足標代換法”來確定晶體的獨立介電常數(shù)。設轉(zhuǎn)動前，晶體的坐標為o-xyz，繞z軸轉(zhuǎn)90后，晶體的坐標為o-x’y’z’，見圖2-10。新舊坐標軸之間的關系為： x’y，y’-x，z’z用（1、2、3）來代表（x、y、z）有：

12，2-1，33于是有：1122，2211，3333，12-21，1323，23-13第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日44與介電常數(shù)聯(lián)系即得：’11=22，’22=11，’33=33，’12=-21，’13=23，’23=-13因為z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸，晶體繞z軸轉(zhuǎn)90后，介電常數(shù)應保持不變，即：’11=11，’22=22，’33=33，’12=12，’13=13，’23=23比較上述兩式結果，可見只有11=22，12=12以及12=13=13=23=0時，兩者才完全一致。第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日45得具有z軸是四次旋轉(zhuǎn)軸的晶體的介電常數(shù)矩陣形式為這個結果與坐標變換所得結果完全相同。

第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日46足標代換法—一般過程點群分析：例如—點群4：只有一個4度旋轉(zhuǎn)軸，而且沿c軸，即z軸方向。足標變化：繞z軸旋轉(zhuǎn)90后，xy,y-x,zz,用（123）代表（xyz）12,2-1,33第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日4712,2-1,33旋轉(zhuǎn)后性質(zhì)保持不變（對稱性的要求）再進行其它的旋轉(zhuǎn)操作不改變介電常數(shù)矩陣的形式第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日48足標代換法—例2：mm2點群鈮酸鋇鈉（Ba2NaNb5O15）晶體，鎵酸鋰（LiGaO3）晶體都是屬于正交晶系mm2點群的晶體。它們的z軸是二次軸，x面、y面是對稱面?，F(xiàn)在根據(jù)它們的對稱性質(zhì)用足標代換法來確定獨立的介電常數(shù)。

第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日49圖2—10mm2中的第一個m第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日50因為晶體的x面是對稱面，固有x’-x、y’

y、z’

z，即：1-1、2