固體力學(xué)第八章1課件

第三部分彈性斷裂力學(xué)基礎(chǔ)

白瑞祥教授——固體力學(xué)（二）3.1引言近三十年多年來(lái)，建立在Griffith理論上和Irwin理論基礎(chǔ)上的線彈性斷裂力學(xué)（簡(jiǎn)寫LEFM）得到充分發(fā)展，建立了較完整的體系，在裂紋體的脆性斷裂、疲勞裂紋擴(kuò)展和應(yīng)力腐蝕斷裂等方面得到了成功的應(yīng)用。另一方面LEFM的應(yīng)用又受到很大的限制。在金屬裂紋尖端，由于高度的應(yīng)力集中，總會(huì)存在塑性區(qū)。除了裂紋尖端塑性區(qū)比裂紋尖端塑性區(qū)尺寸已接近或顯著超過(guò)裂紋尺寸，LEFM準(zhǔn)則不再適用，而必須采用彈塑性裂紋準(zhǔn)則。對(duì)于彈塑性、大屈服、全面屈服斷裂問(wèn)題必須采用彈塑性斷裂力學(xué)（又稱作屈服后斷裂力學(xué),不要與上述第二種類型的彈塑性斷裂情況混淆）準(zhǔn)則。近些年來(lái)，由于斷裂力學(xué)知識(shí)的普及，工程師不再單純追求高強(qiáng)度材料，而采用兼顧韌性好的材料，以及由于注意工藝和檢測(cè)，一般較少出現(xiàn)大裂紋，而更多存在小裂紋，這些都減少了LEFM的適用范圍，更顯出屈服后斷裂力學(xué)的重要性。屈服后斷裂現(xiàn)象所表現(xiàn)出來(lái)的力學(xué)特征與LEFM有很大的不同。裂紋尖端會(huì)產(chǎn)生明顯的鈍化，裂紋在開(kāi)裂以后要經(jīng)過(guò)一段穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展過(guò)程（亞臨界擴(kuò)展）后才失穩(wěn)斷裂。在亞臨界擴(kuò)展過(guò)程中，擴(kuò)展區(qū)的材料發(fā)生彈性卸載，并引起擴(kuò)展區(qū)周圍區(qū)域的非比例加載，在外面的區(qū)域才是裂紋擴(kuò)展影響很小的比例加載區(qū)域。這種屈服后斷裂現(xiàn)象的復(fù)雜性，給屈服后斷裂力學(xué)的分析帶來(lái)很大困難。彈塑性斷裂力學(xué)的任務(wù)有兩點(diǎn)：1.建立判斷屈服后斷裂發(fā)生的準(zhǔn)則a)

找出能描述屈服后應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)的某個(gè)力學(xué)參量，建立該參量與應(yīng)力（或應(yīng)變e）和裂紋長(zhǎng)度a之間的關(guān)系式。b)

測(cè)出材料的屈服后斷裂韌性，并要求該值為材料常數(shù)。有了上面兩方面的工作，就可以建立斷裂準(zhǔn)則。2.用小試樣在屈服后條件下測(cè)定KIC中、低強(qiáng)度鋼等韌性材料制造的大型構(gòu)件，由于尺寸大、壁厚，會(huì)使其中的裂紋處于平面應(yīng)變狀態(tài)，所以盡管材料韌度高，但也可能發(fā)生脆性斷裂，這就需要測(cè)定KIC值。測(cè)試時(shí)，為保證平面應(yīng)變條件，就需要試件尺寸很大。

3.2裂紋張開(kāi)位移（COD）裂紋頂端張開(kāi)位移COD：CrackOpeningDisplacement或CTOD：CrackTipOpeningDisplacement特點(diǎn)1.由于采用了約定的定義和間接測(cè)定方法以及一些經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，能夠簡(jiǎn)單而有效地解決實(shí)際問(wèn)題，因此得到了工程上的應(yīng)用2.COD不是一個(gè)直接的嚴(yán)密的應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)參量，并且存在COD定義本身的確定尚未統(tǒng)一以及難以直接測(cè)定等困難。3.2.1COD準(zhǔn)則和COD定義當(dāng)裂紋尖端附近處于屈服狀態(tài)時(shí)，產(chǎn)生大的塑性變形量。威爾士（Wells）在1965年根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)提出，可以用裂紋尖端的COD（用表示）作為表征塑性應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)的單一參量，當(dāng)此參量達(dá)到材料的某一個(gè)臨界的時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生開(kāi)裂。該準(zhǔn)則可以表達(dá)為：

（3－1）

裂紋張開(kāi)位移的定義：

1.

彈塑性區(qū)交界線與裂紋表面交點(diǎn)處的張開(kāi)位移.

2.

對(duì)于彎曲型加載試件（如三點(diǎn)彎曲試件，加載后裂紋張開(kāi)時(shí)，距離頂端稍遠(yuǎn)處裂紋的兩表面若仍是平面），將裂紋表面AB線向前延長(zhǎng)，與頂端D的垂直切線相交于E，該定義用于三點(diǎn)彎曲試件的間接測(cè)定的中。

3.由Rice建議的在變形后的裂紋尖端點(diǎn)處作一等邊直角三角形，它與裂紋兩表面交點(diǎn)處的位移.

對(duì)于失穩(wěn)擴(kuò)展點(diǎn)的判定也是很重要地，因?yàn)樵擖c(diǎn)所對(duì)應(yīng)地爆破應(yīng)力值有時(shí)會(huì)成倍地高于開(kāi)啟裂應(yīng)力。但由于該點(diǎn)的不再是材料常數(shù)，準(zhǔn)則不再適用，但可以利用經(jīng)驗(yàn)公式和利用建立在阻力曲線基礎(chǔ)上的工程方法來(lái)判定。

3.2.2彈塑性屈服情況下的COD計(jì)算

D-M模型

1960年由Dugdale根據(jù)對(duì)軟鋼薄板的拉伸試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)塑性區(qū)集中在于板平面稱45度的窄的橫向滑移帶上，提出了帶狀屈服模型，由于采用了Muskhelishvili復(fù)變函數(shù)方法進(jìn)行了推導(dǎo)，所以稱作D-M模型，由于這種模型類似于Bsrenblatt的內(nèi)聚力模型，所以也稱作D-B模型。D-M模型假設(shè)1．塑性區(qū)是沿著裂紋線向外的一條窄帶，高度可取為零，長(zhǎng)度為R，窄帶塑性區(qū)的外部是廣大彈性區(qū)。2．把塑性區(qū)變成裂紋，其上作用反向屈服應(yīng)力。這樣，就把一個(gè)彈塑性屈服問(wèn)題化成一個(gè)線彈性裂紋問(wèn)題，裂紋由原來(lái)的2a變?yōu)?c長(zhǎng)，且在原塑性區(qū)處作用的應(yīng)力。3．新裂紋的長(zhǎng)度2c由下面條件確定，應(yīng)力和的聯(lián)合作用應(yīng)能消除裂紋尖點(diǎn)A處的應(yīng)力奇異性。

在應(yīng)力和的單獨(dú)作用下，都會(huì)在裂紋尖端A產(chǎn)生應(yīng)力奇異性。實(shí)際上，A點(diǎn)的應(yīng)力為，無(wú)奇異性。應(yīng)力和作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)等于零，即

產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子為由和上應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)力強(qiáng)度因子由條件，得到由此得到塑性區(qū)尺寸（3－2）

原裂紋尖端B點(diǎn)處的張開(kāi)位移Δ由兩部分組成：

1.無(wú)限遠(yuǎn)處均勻應(yīng)力在處產(chǎn)生的張開(kāi)位移，

2.由分布力在處產(chǎn)生的位移，即

根據(jù)Paris由卡氏定理導(dǎo)出的位移公式：

（3－3）式中為外載引起的應(yīng)力強(qiáng)度因子，為欲求位移處在位移方向上加的一對(duì)虛構(gòu)力F引起的應(yīng)力強(qiáng)度因子，為由a到c過(guò)程中裂紋長(zhǎng)度變量就可求出和所產(chǎn)生的原裂紋尖點(diǎn)B處的位移：

則

（3－4）上式就為根據(jù)D-M模型求出的彈塑性屈服時(shí)，裂紋尖端張開(kāi)位移的表達(dá)式。3.2.3小范圍屈服時(shí)COD與KI的一致性將(3－4)式展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，得到：

（3－5）當(dāng)，即小范圍屈服時(shí)，可僅取上式的第一項(xiàng)

=（3－6）已知

（Griffith板）

(平面應(yīng)力)

3.2.4全屈服條件的COD

在全面屈服條件下，由D-M模型導(dǎo)出的計(jì)算公式不再適用。此時(shí)，載荷的微小增量會(huì)引起應(yīng)變和COD的很大變化，所以已不適宜再用應(yīng)力作為計(jì)算參量，而應(yīng)改用應(yīng)變作為計(jì)算參量，也就是說(shuō)，應(yīng)該找出與應(yīng)變量e，裂紋長(zhǎng)度和材料韌性之間的關(guān)系。

Wells根據(jù)小范圍屈服和平面應(yīng)力條件下的關(guān)系式

小范圍屈服下的位移為或者

假設(shè)在全面屈服后，上述關(guān)系仍然成立，并假設(shè)存在的關(guān)系，則可得到

(3-8)或者

(3-9)式中e屈服區(qū)中的名義應(yīng)變（或稱標(biāo)稱應(yīng)變）,為屈服應(yīng)變。

引入無(wú)量綱參數(shù)，Wells給出的設(shè)計(jì)公式為

（3－10）

BurdekinStone等力圖在理論上推導(dǎo)出裂紋張開(kāi)位移和裂紋尺寸及變成應(yīng)變e之間的關(guān)系，但沒(méi)有成功，只好根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式進(jìn)行分析。當(dāng)時(shí)，公式（3－4）與實(shí)驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)相符合，但過(guò)于保守。Burdekin在Wells公式的基礎(chǔ)上，給出了修正設(shè)計(jì)公式（圖3－6）：（3－11）

國(guó)際焊接協(xié)會(huì)IIW第X委員會(huì)1974年發(fā)表的《從脆斷觀點(diǎn)評(píng)定缺陷的推薦方法》（IIW-X-749-74）、英國(guó)標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)(BSI)WEE/37委員會(huì)與1976年提出的《焊接缺陷驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)草案》都是以式（3－11）的設(shè)計(jì)曲線為基礎(chǔ)的。式（3－11）給出的設(shè)計(jì)曲線被認(rèn)為式足夠安全的，但安全度會(huì)過(guò)于偏大，日本焊接協(xié)會(huì)WSD委員會(huì)制定的《按脆性啟裂的焊接缺陷評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)》(JWES2805)，提出

（3－12）

或（3－13）

3.2.5彈塑性屈服時(shí)COD準(zhǔn)則的應(yīng)用公式（3-4）是平板導(dǎo)出來(lái)的，對(duì)于壓力容器和管道上的裂紋，在內(nèi)壓力作用下，由于曲率的影響，裂紋的自由邊界會(huì)向外膨脹，這種現(xiàn)象稱為“鼓脹效應(yīng)”。由此產(chǎn)生的附加彎距會(huì)增大裂紋尖端處的應(yīng)力。用一個(gè)大于1的系數(shù)M來(lái)表示原應(yīng)力的增加倍數(shù)，M稱為鼓脹系數(shù)?？紤]了鼓脹效應(yīng)后COD準(zhǔn)則可以寫為：是裂紋開(kāi)裂的臨界值，式（3-15）僅適用于確定裂紋開(kāi)裂的臨界應(yīng)力或開(kāi)裂的臨界裂紋尺寸。

（3－15）

對(duì)于一般中、低強(qiáng)度鋼制造的薄壁容器和管道，在裂紋開(kāi)裂之后，都有一個(gè)載荷可以繼續(xù)增加，裂紋不斷擴(kuò)展的階段。即亞臨界擴(kuò)展階段，當(dāng)作用應(yīng)力達(dá)到爆炸應(yīng)力時(shí)裂紋才發(fā)生不穩(wěn)定擴(kuò)展,容器爆破應(yīng)力會(huì)明顯地高于開(kāi)裂應(yīng)力。假定在平面應(yīng)力彈塑性屈服條件下，仍有關(guān)系和，并考慮鼓脹系數(shù)M，得：（3－16）

例：均勻拉伸有限厚度板表面裂紋最深處的可寫為無(wú)限大板中心穿透裂紋的的表達(dá)式為：在等應(yīng)力強(qiáng)度因子條件下，可得：

（3－20）

由此求得

（3－21a）或

(3—21b)式中——自由表面影響系數(shù)，見(jiàn)第二章。

表面裂紋的當(dāng)量裂紋尺寸，也可用圖3-8求出。按照上述相同的方法還可以得出埋入橢圓裂紋與當(dāng)量裂紋之間的關(guān)系（圖3-9）。

按照上述相同的方法還可以得出埋入橢圓裂紋與當(dāng)量裂紋之間的關(guān)系（圖3-9）。（3－22）

式中M為埋入裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)，其值為：

3.2.7壓力容器臨界裂紋長(zhǎng)度估算方法

Burdekin提出了經(jīng)驗(yàn)確定，名義應(yīng)變e確定壓力容器臨界長(zhǎng)度的計(jì)算方法，先見(jiàn)介紹如下。壓力容器規(guī)范規(guī)定，設(shè)計(jì)工作應(yīng)力，水壓力試驗(yàn)應(yīng)力為工作應(yīng)力的1.3倍，即，名義應(yīng)變和臨界裂紋長(zhǎng)度的計(jì)算分下面幾種情況：

1.退火狀態(tài)的筒身，這時(shí)殘余應(yīng)力已消除，，可根據(jù)公式（3-4）計(jì)算。

當(dāng)時(shí)，有

當(dāng)時(shí)，有

2.未退火狀態(tài)的筒身當(dāng)時(shí)，殘余應(yīng)變?nèi)椋x應(yīng)變。當(dāng)時(shí)，殘余應(yīng)變?nèi)?，名義應(yīng)變?nèi)椋簩?duì)上述兩種情況皆近似地認(rèn)為，按公式（3-11）進(jìn)行計(jì)算，則有：

3.退火狀態(tài)的噴嘴或接管等高應(yīng)力區(qū)在時(shí)，由于存在高度應(yīng)力集中，使名義應(yīng)變達(dá)到，按式（3-11），得在時(shí)，名義應(yīng)變?nèi)?，?/p>

4.未退火的噴嘴或接管等高應(yīng)力區(qū)

在下，由于應(yīng)力集中，使之工作應(yīng)變達(dá)到，再疊加上殘余應(yīng)變，總的名義應(yīng)變?yōu)?/p>

，代入公式（3-11）得有了上面的公式，只要測(cè)出材料斷裂韌度就可以方便地確定各種情況下的臨界裂紋長(zhǎng)度。Burdenkin還指出，在數(shù)值上有近似關(guān)系：所以上面格式中的可以用代替。對(duì)于上面的結(jié)果，可歸納為表3-1

表中（s.r）表示消除殘余應(yīng)力，（a.w）代表未消除殘余應(yīng)力。

3-2-8COD準(zhǔn)則小結(jié)COD方法是目前彈塑性斷裂力學(xué)中得到實(shí)用并已取得一定實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的方法。COD準(zhǔn)則有一定的理論分析為基礎(chǔ)（如D-M模型，和J積分關(guān)