理論力學(xué)課件六

第十四章動能定理1§14–1力的功§14–2動能§14–3動能定理§14–4功率·功率方程§14–5勢力場·勢能·機械能守恒定理§14–6動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用第十四章動能定理2與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理用能量法研究動力學(xué)問題。能量法不僅在機械運動的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機械運動和其它形式運動的橋梁。動能定理建立了與運動有關(guān)的物理量—動能和作用力的物理量—功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。動力學(xué)14-1力的功

力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時,正功；時,功為零；時,負功。單位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功3二．變力的功

力在曲線路程中作功為（自然形式表達式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達式）動力學(xué)元功：4三．合力的功質(zhì)點M受n個力作用合力為則合力的功即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。動力學(xué)5四．常見力的功

1．重力的功質(zhì)點系：

質(zhì)點系重力的功，等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點的路徑無關(guān)。動力學(xué)質(zhì)點：重力在三軸上的投影：62．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內(nèi)k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。動力學(xué)7作用于轉(zhuǎn)動剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號的確定。3．萬有引力的功萬有引力所作的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。動力學(xué)如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸

4．作用于轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞z軸轉(zhuǎn)動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉(zhuǎn)過一角度時力所作的功。M點軌跡已知。8正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(3)滾動摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)動滑動摩擦力的功N=常量時,W=–f′NS,與質(zhì)點的路徑有關(guān)。動力學(xué)若m=常量則9五．質(zhì)點系內(nèi)力的功

只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。動力學(xué)10六．理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。1．光滑固定面約束2．活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3．剛體沿固定面作純滾動4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長的繩索）

動力學(xué)拉緊時，內(nèi)部拉力力的元功之和恒等等于零。11§14-2動能物體的動能是由于于物體運動而具有有的能量，是機械械運動強弱的又一一種度量。一．質(zhì)點的動能二．質(zhì)點系的動能能動力學(xué)瞬時量,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。對于任一質(zhì)點系：（為第i個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度）柯尼希定理12（P為速度瞬心）1．平動剛體2．定軸轉(zhuǎn)動剛體3．平面運動剛體動力學(xué)三．剛體的動能13§14-3動能定理1．質(zhì)點的動能定理理：因此動能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得動能定理的積分形式動力學(xué)兩邊點乘以，有14對質(zhì)點系中的一質(zhì)質(zhì)點：：即質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點系的動能定理可寫成以下的形式動力學(xué)對整個質(zhì)點系，有2．質(zhì)點系的動能定定理將上式沿路徑積積分，可可得15[例1]圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與與加速度。(繩重不不計，，繩不不可伸伸長，，盤B作純滾滾動，，初始始時系系統(tǒng)靜靜止)動力學(xué)學(xué)16解：取系系統(tǒng)為為研究究對象象上式求求導(dǎo)得得：動力學(xué)學(xué)17動能定定理的的應(yīng)用用練習(xí)習(xí)題1．圖示示的均均質(zhì)桿桿OA的質(zhì)量量為30kg，桿在鉛鉛垂位位置時時彈簧簧處于于自然然狀態(tài)態(tài)。設(shè)設(shè)彈簧簧常數(shù)數(shù)k=3kN/m，為使桿桿能由由鉛直直位置置OA轉(zhuǎn)到水水平位位置OA'，在鉛直直位置置時的的角速速度至至少應(yīng)應(yīng)為多多大？？解：研究究OA桿由動力學(xué)學(xué)182．行星星齒輪輪傳動動機構(gòu)構(gòu),放在水水平面面內(nèi)。。動動齒輪輪半徑徑r,重P,視為均均質(zhì)圓圓盤；；曲柄柄重Q,長l,作用一一力偶偶,矩為M(常量),曲柄由由靜止止開始始轉(zhuǎn)動動；求求曲曲柄的的角速速度(以轉(zhuǎn)角角的函數(shù)數(shù)表示示)和角加加速度度。動力學(xué)學(xué)解：取整整個系系統(tǒng)為為研究究對象象根據(jù)動能定理，得將式對t求導(dǎo)數(shù)數(shù)，得得193．兩根根均質(zhì)質(zhì)直桿桿組成成的機機構(gòu)及及尺寸寸如圖圖示；；OA桿質(zhì)量量是AB桿質(zhì)量量的兩兩倍，，各處處摩擦擦不計計，如如機構(gòu)構(gòu)在圖圖示位位置從從靜止止釋放放，求求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時時，AB桿B端的速度。動力學(xué)解：取整個系統(tǒng)為研研究對象20§14-4功率·功率方程

一．功率：力在單位時間內(nèi)所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位位：瓦特（（W），千瓦（kW），１W=１J/s。動力學(xué)21二．功率方程：由的兩邊同除以dt得動力學(xué)分析：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機器穩(wěn)定運行時，機械效率是評定機器質(zhì)量量優(yōu)劣的重要指指標(biāo)之一。一般般情況下＜１。22§14-5勢力場、勢能、、機械能守恒定定律一．勢力場1．力場：若質(zhì)點在某空空間內(nèi)的任何位位置都受到一個個大小和方向完完全由所在位置置確定的力的作作用，則此空間間稱為力場。動力學(xué)重力場、萬有引引力場、彈性力力場都是勢力場場。質(zhì)點在勢力場中中受到的場力稱稱為有勢力(保守力),如重力、彈力等等。2．勢力場：在力場中,如果作用于質(zhì)點點的場力作功只只決定于質(zhì)點的的始末位置，與與運動路徑無關(guān)關(guān)，這種力場稱稱為勢力場。23二．勢能在勢力場中,質(zhì)點從位置M運動到任選位置置M0,有勢力所作的功功稱為質(zhì)點在位位置M相對于位置M0的勢能，用V表示。M0作為基準(zhǔn)位置，，勢能為零，稱稱為零勢能點。。勢能具有相對對性。是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。等勢面：質(zhì)點位位于該面上任何何地方，勢能都都相等。質(zhì)點系的勢能：動力學(xué)241.重力場質(zhì)點：質(zhì)點系：2.彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點3.萬有引力場：取與引力中心相距無窮遠處為零勢能位置有勢力的功等于于質(zhì)點系在運動動的始末位置的的勢能之差。動力學(xué)三．有勢力的功在M1位置：

M2位置：M1→M2：25設(shè)質(zhì)點系只受到到有勢力(或同時受到不作作功的非有勢力力)作用，則—機械能守恒定律對非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12'

,則有動力學(xué)四．機械能守恒恒定律機械能：系統(tǒng)的的動能與勢能的的代數(shù)和。這樣的系統(tǒng)成為為保守系統(tǒng)。[例1]長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達）。26解：由于水平方向向不受外力，且初始靜止，故故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不不作功,主動力為有勢力力，因此可用機械能能守恒定律求解解。由機械能守恒定律：將代入上式，化簡后得動力學(xué)初瞬時：任一瞬時：27§14-6動力學(xué)普遍定理理及綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理理包括質(zhì)點和質(zhì)質(zhì)點系的動量定定理、動量矩定定理和動能定理理。動量定理和動量量矩定理是矢量量形式，動能定定理是標(biāo)量形式式，他們都可應(yīng)應(yīng)用研究機械運運動，而動能定定理還可以研究究其它形式的運運動能量轉(zhuǎn)化問問題。動力學(xué)普遍定理理提供了解決動動力學(xué)問題的一一般方法。動力力學(xué)普遍定理的的綜合應(yīng)用，大大體上包括兩方方面的含義：一是能根據(jù)問題題的已知條件和和待求量，選擇擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬笄蠼猓ǜ鞣N種守恒情況的判判斷，相應(yīng)守恒恒定理的應(yīng)用。。避開那些無關(guān)關(guān)的未知量，直直接求得需求的的結(jié)果。二是對對比較復(fù)雜的問問題，能根據(jù)需需要選用兩、三三個定理聯(lián)合求求解。求解過程中,要正確進行運運動分析,提供正確的運運動學(xué)補充方方程。動力學(xué)28舉例說明動力力學(xué)普遍定理理的綜合應(yīng)用用：[例1]兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，，置于光滑水水平面上；設(shè)設(shè)兩桿軸線始始終在鉛垂面面內(nèi)，初始靜靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的的速度。動力學(xué)29討論動量守恒恒定理＋動能能定理求解。。計算動能能時，利用平平面運動的運運動學(xué)關(guān)系。。動力學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動能定理理：30[例2]均質(zhì)圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計，平行于斜斜面。斜面傾傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤作純滾動動，系統(tǒng)初始始靜止。求：：滑塊的加速速度。動力學(xué)解：選系統(tǒng)為為研究對象運動學(xué)關(guān)系：由動能定理：對ｔ求導(dǎo)，得31[例3]重150N的均質(zhì)圓盤與與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接接。系統(tǒng)由由圖示位置無無初速地釋放放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低低位置B'點時的速度及及支座A的約束反力。。解：（1）取圓盤為研研究對象，圓盤平動。動力學(xué)32（2）用動能定理理求速度。取系統(tǒng)研究。。初始時T1=0，最低位置時：：代入數(shù)據(jù)，得動力學(xué)33（3）用動量矩定定理求桿的角角加速度。由于所以＝0。動力學(xué)桿質(zhì)心C的加速度：盤質(zhì)心加速度度：（4）由質(zhì)心運動動定理求支座座反力。研究整個系統(tǒng)統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得得34相對質(zhì)心動量矩守守恒定理+動能定理+動量矩定理+質(zhì)心運動定理?？捎脤Ψe分形式的的動能定理求導(dǎo)計計算，但要注意需取取桿AB在一般位置進行分析析。動力學(xué)

[例4]

基本量計算(動量,動量矩,動能)35[例５]質(zhì)量為m的桿置于兩個半徑為r，質(zhì)量為的實心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當(dāng)桿上加水平力時，桿的加速度。設(shè)接觸處都有摩擦，而無相對滑動。動力學(xué)