帶導數(shù)的插值

帶導數(shù)的插值第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作2Newton插值和Lagrange插值雖然構造比較簡單，但都存在插值曲線在節(jié)點處有尖點，不光滑，插值多項式在節(jié)點處不可導等缺點--------(1)第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作3--------(2)第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作4定義1.稱滿足(1)或(2)式的插值問題為Hermite插值，稱滿足(1)或(2)式的插值多項式P(x)為Hermite插值多項式，記為Hk(x),k為多項式次數(shù)兩點三次Hermite插值先考慮只有兩個節(jié)點的插值問題第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作5希望插值系數(shù)與Lagrange插值一樣簡單重新假設第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作6其中可知由第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作7可得Lagrange插值基函數(shù)第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作8類似可得即將以上結果代入第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作9得兩個節(jié)點的三次Hermite插值公式第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作10二、兩點三次Hermite插值的余項兩點三次Hermite插值的誤差為第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作11構造輔助函數(shù)均是二重根連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，使得第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作12即所以,兩點三次Hermite插值的余項為以上分析都能成立嗎？第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作13

例

設f(x)=lnx，給定f(1)=0,f(2)=0.693147,f’(1)=1,f’(2)=0.5。用三次Hermite插值多項式H3(x)計算f(1.5)的近似值。解記x0=1,x1=2,可得得三次Hermite插值多項式由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作14例1.解:第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作15作為多項式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此，對有n+1節(jié)點的插值問題，我們可以使用分段兩點三次Hermite插值第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作16

Hermite插值是帶導數(shù)的插值，除了可以要求插值多項式與被插值函數(shù)在插值節(jié)點上取值相等外，還可以要求在節(jié)點上它們的導數(shù)值也相等，甚至要求高階導數(shù)也相等。下面只討論在插值節(jié)點上函數(shù)值和函數(shù)的一階導數(shù)值都給定的情形。

設在n+1個不同點的插值節(jié)點上，給定。要求一個次數(shù)不超過2n+1的多項式H2n+1(x),試的滿足插值條件同樣Hermite插值多項式可以用類似于求Lagrange插值多項式的方法給出，這種插值多項式是唯一存在的。

先求出插值基函數(shù)每個基函數(shù)為2n+1次多項式，并且滿足如下條件一般的Hermite插值多項式第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作17利用構造多項式這是一個次數(shù)不超過2n+1的多項式。其中l(wèi)i(x)為Lagrange插值基函數(shù)，由條件得由此得（）第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作18同理可得

下面討論唯一性問題，設還有一個次數(shù)不超過2n+1的多項式Gn+1(x)滿足相同的插值條件。令，則有因為R(x)是一個次數(shù)不超過2n+1的多項式，最多有2n+1個零點，但現(xiàn)在它有n+1個二重根，即有2n+2個零點，所以，必有R(x)=0,即H2n+1(x)=G2n+1(x)。第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作19同樣仿照Lagrange插值余項的證明方法，可得下面的余項定理定理設為[a,b]上相異節(jié)點，,并且f(2n+2)(x)在(a,b)內存在，Hn+1(x)是滿足前面插值條件的插值多項式，則對任何x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日華長生制作20帶不完全導數(shù)的埃爾米特插值多項式舉例例建立埃爾米特插值多項式使之滿足如下插值條件：解二次牛頓插值多項式