著名院校結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件

結(jié)構(gòu)力學(xué)第十章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)10.1概述10.2體系振動(dòng)的自由度10.3單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立10.4單自由度體系的自由振動(dòng)10.5單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10.6多自由度體系的自由振動(dòng)10.7主振型的正交性10.8多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§10.1概述1.1動(dòng)荷載及其分類一.動(dòng)荷載的定義

大小、方向和作用點(diǎn)隨時(shí)間變化;在其作用下，結(jié)構(gòu)上的慣性力與外荷比不可忽視的荷載。

自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時(shí)仍視作靜荷載。靜荷只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。二.動(dòng)荷載的分類動(dòng)荷載確定不確定風(fēng)荷載地震荷載其他無法確定變化規(guī)律的荷載周期非周期簡諧荷載非簡諧荷載沖擊荷載突加荷載其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載概述概述概述概率與統(tǒng)計(jì)概述結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)概述1.2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究內(nèi)容和任務(wù)

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第一類問題：反應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識(shí)別輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第三類問題：荷載識(shí)別。輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究內(nèi)容為:一.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究內(nèi)容概述輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第一類問題：反應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算）第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識(shí)別輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第三類問題：荷載識(shí)別。輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）第四類問題：控制問題輸入（動(dòng)力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動(dòng)力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）-----正問題-----反問題-----反問題-----控制問題結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§10.2體系振動(dòng)的自由度度一.自由度的定義確定體系中所有質(zhì)質(zhì)量位置所需的獨(dú)獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，稱作作體系的動(dòng)力自由由度數(shù)。二.自由度的簡化實(shí)際結(jié)構(gòu)都是無無限自由度體系系，這不僅導(dǎo)致致分析困難，而而且從工程角度也沒必要。。常用簡化方法法有：1)集中質(zhì)量法將實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)質(zhì)量看成（按一一定規(guī)則）集中在某些幾何點(diǎn)上上，除這些點(diǎn)之之外物體是無質(zhì)量的。這樣就就將無限自由度度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。概述概述確定體系中所有有質(zhì)量位置所需需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)數(shù)，稱作體系的的動(dòng)力自由度數(shù)數(shù)。概述振動(dòng)自由度數(shù)不一定等于集中質(zhì)量數(shù)概述集中質(zhì)量法自自由度判定定方法增加加剛性約束限制制質(zhì)量全部運(yùn)動(dòng)動(dòng)（對于復(fù)雜體體系）自由度數(shù)=增加約束數(shù)42概述2)廣義坐標(biāo)法——用含參數(shù)的位移移函數(shù)約束位移移形態(tài)---廣義坐標(biāo)---基函數(shù)廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)即即為自由度個(gè)數(shù)基函數(shù)三角函數(shù)或指數(shù)數(shù)函數(shù)概述質(zhì)體剛化減減少自由度——廣義坐標(biāo)法的特特例適用條件體體系質(zhì)量所在在部位剛度相對對很大質(zhì)體剛化后無無限限自由度有限自由度彈性地基上設(shè)備備基礎(chǔ)，基礎(chǔ)剛剛度視作無窮大大概述3)有限元法和靜力問題一樣樣，可通過將實(shí)實(shí)際結(jié)構(gòu)離散化為有限個(gè)個(gè)單元的集合，，將無限自由度問題化為有限限自由度來解決決。結(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)即即為自由度個(gè)數(shù)自由度為1的體系稱作單自自由度體系；自由度大于1的體系稱作多（（有限）自由度度體系;自由度無限多的的體系為無限自自由度體系。注意區(qū)分體系振動(dòng)自由度6不計(jì)桿軸向變形時(shí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§10.3單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立要了解和掌握結(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的的規(guī)律，必須首首先建立描述結(jié)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的（微微分）方程。建建立運(yùn)動(dòng)方程的的方法很多，常常用的有虛功法法、變分法等。。下面介紹建立立在達(dá)朗泊爾原原理基礎(chǔ)上的““動(dòng)靜法”。動(dòng)靜法達(dá)達(dá)朗伯原原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原原理敘述為∶在在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任任一瞬時(shí)，作用用于質(zhì)點(diǎn)上的主主動(dòng)力、約束反反力和虛擬的慣慣性力組成平衡衡力系。F+N+Q=0哈密頓原理能能量泛函函變分建建立運(yùn)動(dòng)方程剛度法力系平衡角度柔度法位移協(xié)調(diào)角度虛功法適宜于剛體系單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立10-3-1剛度法——由隔離體動(dòng)力平平衡條件建立質(zhì)體運(yùn)動(dòng)方方程（1）動(dòng)力荷載FP(t)（2）彈性恢復(fù)力FS=-ky（3）阻尼力

(等效粘滯阻尼)（4）慣性力(達(dá)朗伯原理)動(dòng)力平衡方程為為FI+FD+FS+FP(t)=0運(yùn)動(dòng)方程

二階常系數(shù)線性性微分方程。單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般方程

注意點(diǎn)（1）所有力均是作用用在質(zhì)量上，且且沿質(zhì)量運(yùn)動(dòng)自自由度的方向動(dòng)力荷載未作用用在質(zhì)量上時(shí)怎么辦？化為等效動(dòng)荷載載或用柔度法法單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立結(jié)論圖（c）質(zhì)量位移與圖圖（a）相同，桿件變變形及內(nèi)力與圖圖（a）不同單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立運(yùn)動(dòng)一般方程應(yīng)應(yīng)用注意點(diǎn)（2）一般方程

注意點(diǎn)（2）質(zhì)量的位移y是指由靜平衡位位置起算的動(dòng)位位移。常量力僅使體系系產(chǎn)生靜位移和和靜內(nèi)力，對體體系的動(dòng)位移和和動(dòng)內(nèi)力無影響響。單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立10-3-2柔度法——按照位移協(xié)調(diào)原原理導(dǎo)出體系的的運(yùn)動(dòng)方程y(t)=δ[FI+FD+FP(t)]代入上式注意：動(dòng)動(dòng)荷載不作用在在質(zhì)體上時(shí)相應(yīng)的柔度系數(shù)數(shù)應(yīng)該為δ1212單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立B截面的轉(zhuǎn)角是由動(dòng)力荷載FP(t)和慣性力矩MI共同引起的。注注意到FP(t)并非沿轉(zhuǎn)角方向作用于質(zhì)量量上，可將表示為運(yùn)動(dòng)方程與剛度法結(jié)果相相同單自由度體系運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程的建立立10-3-3虛功法——由動(dòng)平衡位置的的虛功方程得運(yùn)運(yùn)動(dòng)方程適宜用于剛體系系構(gòu)件剛剛體唯一變變形虛功為零例10-3試用虛功法建立立圖10-18a所示體系的運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程。設(shè)橫桿桿為無限剛性且且質(zhì)量可忽略，，橫桿上有兩處處各為m的集中質(zhì)量。B支座為彈性支承承，其剛度系數(shù)數(shù)為k；橫桿F端裝有阻尼器，，阻尼系數(shù)為c。單自由度體系虛功方程運(yùn)動(dòng)方程嘗試用剛度法寫出運(yùn)動(dòng)方程？？結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§10.4單自由度體系的的自由振動(dòng)單自由度體系運(yùn)動(dòng)一般方程自由振動(dòng)FP(t)=00振動(dòng)起因質(zhì)體初位移y0或初速度v0單自由度體系的的自由振動(dòng)重要性反映體系動(dòng)力特特性——影響強(qiáng)迫振動(dòng)的的動(dòng)力響應(yīng)類型無阻尼自由振動(dòng)動(dòng)有阻尼自自由振動(dòng)單自由度體系的的自由振動(dòng)10-4-1無阻尼自由振動(dòng)動(dòng)FP(t)=0=0運(yùn)動(dòng)方程令常系數(shù)齊次線性性微分方程y(t)=C1cosωt+C2sinωt方程通解初始條件v(t)=y(t)=-ωC1sinωt+ωC2cosωt速度位移響應(yīng)動(dòng)位移構(gòu)成由變化頻率相同同的兩部分組成成：y0引起的，并以y0為幅值按余弦規(guī)律的振動(dòng)v0引起，并以

為幅值按正弦規(guī)律的振動(dòng)相位差為單自由度體系的的自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)動(dòng)的y-t曲線動(dòng)位移表達(dá)式或表達(dá)為振幅初始相位角角速度為ω單自由度體系的的自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)動(dòng)的計(jì)算公式動(dòng)位移自振周期單位s振動(dòng)頻率（工程頻率）單位s-1Hz自振頻率（圓頻率）W=mgΔst=Wδ結(jié)論（1）自振頻率為為體系固有屬性性與激振因因素?zé)o關(guān)稱稱固有頻率（2）剛度k愈大或質(zhì)量m愈小自振振頻率愈高剛度k愈小或質(zhì)量m愈大自自振頻率愈低單自由度體系的的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)單自由度彈彈簧串聯(lián)（（受力相同，，變形相加）串聯(lián)彈簧剛度柔度單自由度體系的的自由振動(dòng)單自由度體系的的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)單自由度彈彈簧并聯(lián)（變變形相同，受力力相加）并聯(lián)彈簧剛度柔度單自由度體系的的自由振動(dòng)體系特點(diǎn)?單自由度超超靜定采用方法?剛度法k比δ易求得如何求k?結(jié)合應(yīng)用彎矩分分配法單自由度體系的的自由振動(dòng)10-4-2有阻尼自由振動(dòng)動(dòng)基本特點(diǎn)能量耗散振振幅漸小直至零零運(yùn)動(dòng)方程常系數(shù)齊次線性性方程特征方程特征根動(dòng)位移解ξ<1即低阻尼的情況況ksi有阻尼自由振動(dòng)動(dòng)的圓頻率引入初始條件或單自由度體系的的自由振動(dòng)或主要特點(diǎn)（1）y含簡諧振動(dòng)因子ωdTd為常數(shù)振幅

隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律減小衰減振動(dòng)（2）一般結(jié)構(gòu)0.01<ξ<0.1，（3）對數(shù)遞減率在經(jīng)過n次波動(dòng)后有實(shí)驗(yàn)應(yīng)用！單自由度體系的的自由振動(dòng)常系數(shù)齊次線性性方程特征根運(yùn)動(dòng)方程即臨界阻尼的情況臨界阻尼系數(shù)（（ξ=1）阻尼比單自由度度體系的的自由振振動(dòng)常系數(shù)齊齊次線性性方程特征根運(yùn)動(dòng)方程程過阻尼特征方程程的根是是兩個(gè)負(fù)負(fù)實(shí)數(shù)不含有簡簡諧振動(dòng)動(dòng)的因子子不發(fā)生振振動(dòng)單自由度度體系的的自由振振動(dòng)解：結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)§10.5單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力力學(xué)目的的研究強(qiáng)迫迫振動(dòng)的的規(guī)律強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)方程特點(diǎn)非齊次線線性微分分方程通解齊次方程程的通解解+非齊次方方程的特特解（即自由由振動(dòng)解解）強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)分類無阻尼或有阻尼或單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)10-5-1無阻尼強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)1.簡諧荷載載設(shè)特解為為通解C1和C2可由初始始條件確確定全解簡諧荷載載作用下下的動(dòng)力力系數(shù)μ運(yùn)動(dòng)方程程穩(wěn)態(tài)解解yst——?jiǎng)恿奢d載幅值F作為靜力力荷載作作用于體體系時(shí)所所引起的的靜位移移動(dòng)力系數(shù)數(shù)μ取決于

的值μ取絕對值單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)簡諧荷載載作用下下無阻尼尼穩(wěn)態(tài)振振動(dòng)的特特點(diǎn)（1）振動(dòng)頻頻率同荷荷載頻率率速度、加加速度及及內(nèi)力同同時(shí)達(dá)到到幅值當(dāng)θ<ωμ>0y與干擾力力同向當(dāng)θ>ωμ<0y與干擾力力反向（2）θ《ωμ1相當(dāng)于靜靜力作用用（2）θ》ωμ0動(dòng)位移趨趨于零θωμ∞發(fā)生共振振（3）時(shí)(共振前區(qū))增大ω可減少振幅剛性方案案柔性方案案時(shí)(共振后區(qū))減小ω可減少振幅單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)工程中應(yīng)避免單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)解：簡簡支梁的的自振頻頻率簡諧荷載載的頻率率動(dòng)力系數(shù)數(shù)取絕對值值強(qiáng)度滿足足剛度滿足足單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)例10-8相關(guān)概念念的討論論1、加大梁梁的截面面尺寸是是否否一定能能減小應(yīng)應(yīng)力和撓撓度？不是！=60.73/44.89>1處于共振振后區(qū)設(shè)取128b工字梁I=7480cm4>4570cm4W=534cm3>381cm3則導(dǎo)致梁的的最大應(yīng)應(yīng)力和撓撓度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過允允許值動(dòng)力系數(shù)數(shù)過大也也容易引引發(fā)鋼梁梁的疲勞破壞壞2、θ>ωθ由零加大大經(jīng)θ=ω時(shí)是否會(huì)會(huì)引起梁梁的破壞壞？一般不會(huì)會(huì)！只要θ加速較快快共振現(xiàn)象象的形成成有一個(gè)個(gè)能量積積聚過程程單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)特點(diǎn)動(dòng)動(dòng)荷載載未作用用于質(zhì)體體上對策需需另建建立運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程（（不能能套用一一般方程程）方法采采用柔柔度法（1）求質(zhì)體體的動(dòng)位位移幅值值運(yùn)動(dòng)方程程只需將視作動(dòng)力荷載當(dāng)時(shí)單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)（2）求A支座處截截面動(dòng)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角幅值值按疊加原原理表示示為總結(jié)：單單自由度度體系強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)當(dāng)動(dòng)力力荷載不不作用在在質(zhì)量上上時(shí)μ≠μθ不能采用用統(tǒng)一的的動(dòng)力系系數(shù)單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)對于一般般的周期期荷載FP(t)，總可以按按傅立葉葉級數(shù)展展開為單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)一般動(dòng)力力荷載作用下的的動(dòng)力響響應(yīng)基本思路路視為一系系列瞬時(shí)時(shí)沖量連連續(xù)作用用下相應(yīng)應(yīng)的總和和杜哈梅(Duhamel)積分全解單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)(1)突加荷載載——應(yīng)用杜哈哈梅積分分式中以其靜平平衡位置置為中心心做簡諧諧振動(dòng)后果：繩繩子斷了了！單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)(2)突加短時(shí)時(shí)荷載第一階段段(0≤t≤t1)：與突加加荷載相相同第二階段段(t≥t1)：質(zhì)量是以以t=t1時(shí)刻的位位移和速速度為初初位移和和初速度度作自由由振動(dòng)或按照疊加加原理：看作是是突加荷荷載FP0和t=t1時(shí)刻開始始作用的的反向突突加荷載載-FP0當(dāng)時(shí)ymax在第一階階段當(dāng)時(shí)ymax在第二階階段單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)(3)三角形沖沖擊荷載載——應(yīng)用杜哈哈梅積分分作用時(shí)間間較短，，荷載值值較大或單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)位移響應(yīng)應(yīng)譜速度響應(yīng)應(yīng)譜和加加速度響響應(yīng)譜單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)支承動(dòng)力力作用下下的位移移響應(yīng)地震作用用起伏道路路對車輛輛作用設(shè)備基礎(chǔ)礎(chǔ)受振動(dòng)動(dòng)特點(diǎn):質(zhì)量m的總總位位移為yg(t)+y(t)。絕對位移移支承位移移相對位移移慣性力彈性恢復(fù)復(fù)力和阻阻尼力仍仍是由其其相對位位移和相相對速度度決定的的運(yùn)動(dòng)方程程：支承運(yùn)動(dòng)對于體系的動(dòng)力作用就相當(dāng)于在質(zhì)量上施加一動(dòng)力荷載單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)解：運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程：：穩(wěn)態(tài)振動(dòng)動(dòng)總位移體系自振振頻率質(zhì)體位移移動(dòng)力系系數(shù)μ梁自由端端的振幅幅單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)結(jié)構(gòu)柔ω《θμ的絕對值值將遠(yuǎn)小小于1質(zhì)量的振振幅遠(yuǎn)小小于支座座運(yùn)動(dòng)的的振幅應(yīng)用隔振措施施汽車彈簧簧/地鐵彈簧簧工作臺(tái)底底腳彈簧簧結(jié)構(gòu)的內(nèi)內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)數(shù)μ’特點(diǎn)與μ不相同μ’取決于相相對位移移質(zhì)量m的相對位位移與支支座位移移的方向向相反，，其幅值值放大為為支座位位移幅值值的1.39倍單自由度度體系的的強(qiáng)迫振振動(dòng)10-5-2有阻尼強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程程或通解是由相應(yīng)齊次次方程的通解與非非齊次方程的特解解之和構(gòu)成特解則仍可表示為為杜哈梅積分的形形式設(shè)僅由初速度v0所引起的有阻尼振振動(dòng)可表示為在時(shí)刻的瞬時(shí)沖量所引起的微分位移響應(yīng)為單自由度體系的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)初位移y0和初速度v0總位移響應(yīng)為齊次解（自由振動(dòng)）特解阻尼存在上式中由初始條件件所引起的自由振振動(dòng)部分將隨時(shí)間間很快地衰減乃至至消失一般沖擊荷載因作作用時(shí)間短，所以以結(jié)構(gòu)在很短的時(shí)時(shí)間內(nèi)即達(dá)到最大大響應(yīng)。此時(shí)阻尼尼引起的能量耗散散作用不明顯，所所以在計(jì)算最大響響應(yīng)值時(shí)可以忽略略阻尼的影響。單自由度體系的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)突加荷載作用下有有阻尼位移響應(yīng)杜哈梅積分位移響應(yīng)質(zhì)量m的動(dòng)位移是由荷載載引起的靜位移和和以靜平衡位置為為中心的含有簡諧諧因子的衰減振動(dòng)動(dòng)兩部分組成當(dāng)動(dòng)位移達(dá)到最大值動(dòng)力系數(shù)單自由度體系的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)簡諧荷載作用下有有阻尼位移響應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程特解為一般解C1和C2可由初始條件確定定因阻尼作用而衰減減穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中動(dòng)力系數(shù)結(jié)論：動(dòng)力系數(shù)數(shù)μ不僅與頻率比θ/ω有關(guān)，而且還與阻阻尼比ξ有關(guān)單自由度體系的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)簡諧荷載作用下有有阻尼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的的主要特點(diǎn)動(dòng)力系數(shù)(1)μ隨阻尼比ξ的增大而迅速減小小值趨近1時(shí)，μ峰值因阻

尼作用的下降最為顯著（2）時(shí)(3)有阻尼時(shí)質(zhì)量的動(dòng)動(dòng)位移比動(dòng)力荷載載滯后一個(gè)相位角角單自由度體系的強(qiáng)強(qiáng)迫振動(dòng)簡諧荷載作用下有有阻尼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的的相位角穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)（θ《ω）y(t)和Fp(t)趨于同向體系因振動(dòng)速度慢慢，慣性力和阻尼尼力均不明顯動(dòng)力荷載主要由恢恢復(fù)力平衡，與靜靜力作用時(shí)的情況況相似當(dāng)（θ》ω）y(t)和Fp(t)趨于反向由式(10-45)可知μ→0體系的動(dòng)位移趨向向于零動(dòng)力荷載主要由慣慣性力平衡，體系的動(dòng)內(nèi)力趨趨向于零當(dāng)即（θ≈ω）動(dòng)位移慣性力與恢復(fù)力平平衡動(dòng)力荷載與阻尼力力平衡結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)§10.6多自由度體系的自自由振動(dòng)因結(jié)構(gòu)特征必須簡簡化為多自由度體體系多層房屋不等高排架為滿足計(jì)算精度要要求需簡化為多自自由度體系煙囪高聳構(gòu)筑物建立運(yùn)動(dòng)方程的基本方法柔度法按照位移協(xié)調(diào)原理理剛度法按照質(zhì)體平衡條件件多自由度體系的自自由振動(dòng)10-6-1柔度法基本思路質(zhì)體動(dòng)位移由兩慣慣性力引起δij為體系的柔度系數(shù)數(shù)設(shè)特解兩質(zhì)量的位移雖隨隨時(shí)間變化，但二者之間的比值值即位移模態(tài)保持持不變振型特解代入運(yùn)動(dòng)方程程關(guān)于振幅A1和A2的齊次線性代數(shù)方方程組振型方程或特征向向量方程多自由度體系的自自由振動(dòng)非零解條件頻率方程或特征方方程小基頻大第二頻率其對應(yīng)的振型稱為為第一振型或基本本振型多自由度體系的自自由振動(dòng)柔度法多自由度體體系振型分析振型方程自振頻率小大振型分析方法將ω1、ω2帶入振型方程特點(diǎn)方程組線性相關(guān)只能求得振幅比值第一振型多自由度體系的自自由振動(dòng)質(zhì)量m1、m2的振動(dòng)方程分別為為一個(gè)特解第二振型質(zhì)量m1、m2的振動(dòng)方程分別為為另一個(gè)特解多自由度體系的自自由振動(dòng)振動(dòng)方程方程通解——特解的線性組合未知常數(shù)A11、A12（或A21、A22）和α1、α2的確定兩質(zhì)量的初位移和和初速度共四個(gè)初初始條件確定振動(dòng)特性(1)自振頻率=自由度數(shù)(2)自振頻率振型——體系固有的動(dòng)力特特性，與外界因素素?zé)o關(guān)(3)振動(dòng)是兩種頻率下下簡諧振動(dòng)的疊加加其和非簡諧振振動(dòng)（一般情況））只有在質(zhì)量的初位位移和初速度與某某個(gè)主振型相一致致的前提下，體系系才會(huì)按該主振型型作簡諧振動(dòng)多自由度體系的自自由振動(dòng)例10-11圖10-40a所示體系有集中質(zhì)質(zhì)量m1＝m、m2＝2m，試求其自振頻率率和振型。解體系具有兩個(gè)振動(dòng)動(dòng)自由度柔度系數(shù)代入式（10-48），得振型方程為為乘令可得頻率方程多自由度體系的自自由振動(dòng)展開，得自振頻率求振型多自由度體系的自自由振動(dòng)例10-12試求圖10-42a所示集中質(zhì)量對稱稱布置的對稱剛架架的自振頻率和振振型。解該體系是超靜定的的，兩個(gè)集中質(zhì)量量可分別沿垂直于于桿件方向運(yùn)動(dòng)。。柔度系數(shù)振型方程其中頻率方程多自由度體系的自自由振動(dòng)自振頻率代入振型方程求振型結(jié)論（1）結(jié)構(gòu)質(zhì)量對對稱振型必對稱或反對對稱（2）可取半邊結(jié)構(gòu)構(gòu)計(jì)算振動(dòng)頻率WHY？較低頻率下的振型型對應(yīng)體系的應(yīng)變變能相對較小多自由度體系的自自由振動(dòng)例.求圖示體系的頻率率、振型解:令例.求圖示體系的頻率、振型解:令例.求圖示體系的頻率、振型解:令多自由度體系的自自由振動(dòng)一般多自由度體系系(柔度法)基本原理與解決兩個(gè)自由度度體系自由振動(dòng)問問題相同運(yùn)動(dòng)方程δij為柔度系數(shù)多自由度體系的自自由振動(dòng)矩陣形式表達(dá)或δ和M分別為體系的柔度度矩陣和質(zhì)量矩陣陣設(shè)方程（10-53）特解形式為多自由度體系的自自由振動(dòng)振型方程或?qū)憺橐唤M齊次線性代數(shù)數(shù)方程，其取得非非零解的必要和充充分條件是系數(shù)行行列式等于零頻率方程（特征方程）或?qū)憺殛P(guān)于1/ω2的n次代數(shù)方程。由此此可解得n個(gè)正實(shí)根，并進(jìn)而而求得n個(gè)自振頻率多自由度體系的自自由振動(dòng)全部自振頻率ω1，ω2，…，ωn應(yīng)按照由小到大的的順序排列，稱為為頻率譜或頻率向量。其中最小的頻率率稱為第一頻率或基本頻率。振型方程特點(diǎn)：線性相關(guān)僅n-1個(gè)獨(dú)立方程得各質(zhì)量動(dòng)位移（（振幅）之間的一一組比值主振型向量（振型向量）令A(yù)1i=1標(biāo)準(zhǔn)化主振型另一種標(biāo)準(zhǔn)化的做法是規(guī)定主振型滿足條件多自由度體系的自自由振動(dòng)方程特解方程通解n個(gè)特解的線性組合合——一般不再是簡諧振振動(dòng)多自由度體系的自自由振動(dòng)例10-13圖10-46a所示簡支梁的等分分點(diǎn)上有三個(gè)相同同的集中質(zhì)量m，試求體系的自振振頻率和振型。解該體系有三個(gè)振動(dòng)動(dòng)自由度。柔度矩陣質(zhì)量矩陣振型方程其中頻率方程自振頻率多自由度體系的自自由振動(dòng)例10-13圖10-46a所示簡支梁的等分分點(diǎn)上有三個(gè)相同同的集中質(zhì)量m，試求體系的自振振頻率和振型。振型方程其中同理振型圖對稱對稱反對稱對于較低頻率所對對應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)，，體系的應(yīng)變能相相對較小多自由度體系的自自由振動(dòng)【例】試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及主振型。各桿EI為常數(shù)，彈性支座的剛度系數(shù)。解(1)計(jì)算柔度系數(shù)δij應(yīng)考慮彈性支座變變形對位移的影響響。圖多自由度體系的自自由振動(dòng)圖圖(1)計(jì)算柔度系數(shù)δij多自由度體系的自自由振動(dòng)(2)求自振頻率ωi將m1=m2=m及已求得的δij代入(3)求主振型ρi多自由度體系的的自由振動(dòng)(4)作振型曲線第一主振型

第二主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)【例12-24】試求圖示等截面面梁的自振頻率率和主振型。質(zhì)質(zhì)量m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。

圖

圖

圖

圖解:(1)求柔度系數(shù)δij多自由度體系的的自由振動(dòng)(2)求自振頻率ωi多自由度體系的的自由振動(dòng)(3)求主振型ρi第一主振型第二主振型(4)作振型曲線第一主振型（反對稱）第二主振型（對稱）

多自由度體系的的自由振動(dòng)如果結(jié)構(gòu)和質(zhì)量量布置都是對稱稱的，體系的振振型必定是對稱稱或反對稱的,可以利用對稱性性，取半邊結(jié)構(gòu)構(gòu)計(jì)算體系的第第一頻率,第二頻率。這這樣，就將兩個(gè)個(gè)自由度體系的的計(jì)算問題，簡簡化為按兩個(gè)單單自由度體系分分別進(jìn)行計(jì)算。。反對稱半邊結(jié)構(gòu)對稱半邊結(jié)構(gòu)第一主振型（反對稱)

第二主振型（對稱）多自由度體系的的自由振動(dòng)【例】試計(jì)算圖示剛架架的自振頻率和和主振型。解：取集中質(zhì)量m處豎向位移y和剛性桿CD繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角q作為獨(dú)立的幾何何位移。由于本題是由線位移移和角位移耦合合組成的振動(dòng)，，因此，不能簡簡單地利用前面面按柔度法推出出的公式計(jì)算自自振頻率和主振振型，而應(yīng)從考慮結(jié)構(gòu)整整體平衡，建立立運(yùn)動(dòng)方程入手手。多自由度體系的的自由振動(dòng)某一瞬時(shí)t，剛架上作用的的慣性力如圖所所示。由分布質(zhì)量所產(chǎn)產(chǎn)生的慣性力對對C點(diǎn)的合力矩為(1)計(jì)算柔度系數(shù)δij

圖圖慣性力多自由度體系的的自由振動(dòng)建立運(yùn)動(dòng)方程:慣性力將及各柔度系數(shù)δij代入式(a)，經(jīng)整理后，得(a)與運(yùn)動(dòng)方程對比比可知：m1=m，多自由度體系的的自由振動(dòng)(3)求自振頻率ωi(4)求主振型ρi多自由度體系的的自由振動(dòng)(5)作振型曲線

第一主振型

第二主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)【例】試求圖示剛架的的自振頻率和主主振型。已知各各桿EI＝常數(shù)。解：本剛架具有三個(gè)個(gè)自由度(1)求柔度系數(shù)

圖

圖

圖多自由度體系的的自由振動(dòng)(2)求自振頻率體系的柔度矩陣陣和質(zhì)量矩陣為為頻率方程并解得故自振頻率為多自由度體系的的自由振動(dòng)(3)求主振型并繪振振型圖將li(i=1,2,3)分別代入振型方方程并令Y3i＝1，即可求得各階階各振型為:1)第一主振型2)第二主振型3)第三主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)主振型圖第一主振型

第二主振型

第三主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)【例】求圖示剛架的自自振頻率和振型型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MN·m2，EI2=3EI1。五個(gè)自由度的體系

正對稱自由振動(dòng)反對稱自由振動(dòng)多自由度體系的的自由振動(dòng)解：此剛架具有有五個(gè)自由度。。利用對稱性，，分解為有兩個(gè)個(gè)自由度的正對對稱自由振動(dòng)和和有三個(gè)自由度度的反對稱自由由振動(dòng)分別進(jìn)行行計(jì)算，其結(jié)果果列于下面線框框內(nèi)。從小到大重新排列正對稱自由振動(dòng)動(dòng)反對稱自由振動(dòng)動(dòng)多自由度體系的的自由振動(dòng)主振型圖圖第一主振型

第二主振型第三主振型

第四主振型第五主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)10-6-2剛度法——根據(jù)隔離體平衡衡條件導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程FS1和FS2分別為體系作用用于質(zhì)量m1和m2上的彈性力kij為體系的剛度系系數(shù)根據(jù)達(dá)朗伯原理理可列出動(dòng)力平平衡方程(慣性力+彈性力）多自由度體系的的自由振動(dòng)假設(shè)運(yùn)動(dòng)方程的特解形式式仍為振型方程頻率方程可求得體系的自自振頻率ω1和ω2。分別代入振型型方程即可求得得相應(yīng)的振型，，其結(jié)果與采用用柔度法時(shí)相同同多自由度體系的的自由振動(dòng)例10-14試用剛度法求圖圖10-49a所示剛架的自振振頻率和振型。。設(shè)橫梁為無限限剛性，柱子的的線剛度如圖，，體系的質(zhì)量全全部集中在橫梁梁上。解該體系兩橫梁處處各有一個(gè)水平平方向自由度，，其位移分別記記為y1和y2剛度系數(shù)振型方程頻率方程自振頻率多自由度體系的的自由振動(dòng)振型方程多自由度體系的的自由振動(dòng)一般多自由度體體系的剛度法運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的的自由振動(dòng)多自由度體系剛剛度法自振頻率率運(yùn)動(dòng)方程（矩陣形式）或特解形式代入方程消去去振型方程或頻率方程自振頻率主振型多自由度體系的的自由振動(dòng)多自由度體系剛剛度陣K與柔度陣δ的關(guān)系將δ-1左乘比較K-δ關(guān)系特解形式(相同）振型方程頻率方程自振頻率(相同）由小到大排列多自由度體系的的自由振動(dòng)例10-15試用剛度法求圖圖10-52a所示三層剛架的的自振頻率和振振型。設(shè)橫梁為為無限剛性，體體系的質(zhì)量全部部集中在各橫梁梁上，各層間側(cè)側(cè)移剛度k1＝k2＝k3＝k。解：剛度矩陣質(zhì)量矩陣振型方程頻率方程多自由度體系的的自由振動(dòng)例10-15試用剛度法求圖圖10-52a所示三層剛架的的自振頻率和振振型。設(shè)橫梁為為無限剛性，體體系的質(zhì)量全部部集中在各橫梁梁上，各層間側(cè)側(cè)移剛度k1＝k2＝k3＝k。多自由度體系的的自由振動(dòng)例10-15試用剛度法求圖圖10-52a所示三層剛架的的自振頻率和振振型。設(shè)橫梁為為無限剛性，體體系的質(zhì)量全部部集中在各橫梁梁上，各層間側(cè)側(cè)移剛度k1＝k2＝k3＝k?！纠繄D示框架，其橫橫梁為無限剛性性。設(shè)質(zhì)量集中中在樓層上，試試計(jì)算其自振頻頻率和主振型。。解：本例兩層框框架為兩個(gè)自由由度體系，用剛度法計(jì)算較為方便。。(1)求剛度系數(shù)kij(2)求自振頻率ωi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得(3)求主振型（振型型常數(shù)ρi）第一主振型第二主振型(4)作振型曲線，如如圖所示。第一主振型

第二主振型

用柔度法可建立n個(gè)自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程如下(1)寫成矩陣形式——位移向量其中——加速度向量——柔度矩陣——質(zhì)量矩陣單位矩陣運(yùn)動(dòng)方程(1)設(shè)，其中是振幅向量。則代入(1)，消除后，有即(2)振型方程因?yàn)?，所以頻率方程（或特征方程）頻率方程是關(guān)于的n次代數(shù)方程，由此可求的n個(gè)的正實(shí)根，即為結(jié)構(gòu)的n個(gè)自振頻率，通常由小到大排列，稱為頻率譜。將求得的回代入(2)，由于系數(shù)行列式等于零，n個(gè)方程是相關(guān)的，只能由其中的n-1個(gè)方程解得各自由度動(dòng)位移之間的比值?？梢?，體系按某一頻率振動(dòng)的形狀是不變的，稱之為振型。振型向量振型向量標(biāo)準(zhǔn)化方法一：令某自由度位移為1，例振型向量標(biāo)準(zhǔn)化方法二：令上述自振頻率和和振型的計(jì)算步步驟和方法同樣樣適用于剛度法法。動(dòng)力平衡方程振型方程頻率方程多自由度體系的的自由振動(dòng)10-6-3多自由度體系的的彈性耦合和慣慣性耦合彈性耦合柔度矩陣δ和剛度矩陣K其非對角元素不不等于零或不全全為零其非對角矩陣彈性耦合某自由度方向上上的力會(huì)引起其其它自由度方向向上的位移；或者某自自由度方方向上的的位移會(huì)會(huì)引起其其它自由由度方向向上的彈彈性力對角矩陣陣不存在彈彈性耦合合運(yùn)動(dòng)方程程方程特點(diǎn)點(diǎn)不相耦聯(lián)聯(lián)相當(dāng)于兩兩個(gè)獨(dú)立立的自由由度問題題多自由度度體系的的自由振振動(dòng)多自由度度體系的的慣性耦耦合（1）在集中質(zhì)質(zhì)量的體體系中，，M為對角矩矩陣，這這表明某某一自由由度方向向上的加加速度僅僅引起該該自由度度本身方方向上的的慣性力力慣性耦合合某一自由由度方向向上的加加速度會(huì)會(huì)引起其其它自由由度方向向的慣性性力質(zhì)量矩陣陣M的副元素素不全為為零非非對角角矩陣兩個(gè)自由由度慣性力+慣性力矩矩假設(shè)上述述微分方方程的特特解為多自由度度體系的的自由振振動(dòng)振型方程程自振頻率率有彈性性耦合合；無無慣慣性耦耦合多自由由度體體系的的自由由振動(dòng)動(dòng)選擇B點(diǎn)處的的豎向向位移移yB和轉(zhuǎn)角角θB作為位位移坐坐標(biāo)VS不變的的：慣慣性力力改變的的：柔柔度系系數(shù)注意到到：多自由由度體體系的的自由由振動(dòng)動(dòng)有彈性性耦合合；有有慣性性耦合合結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)力學(xué)學(xué)§10.7主振型型的正正交性性相當(dāng)于于兩個(gè)個(gè)不同同的動(dòng)動(dòng)力平平衡狀狀態(tài)功的互互等定定理W1=W2因i振型慣慣性力力在j振型位位移上上做的的功j振型慣慣性力力在i振型位位移上上做的的功矩陣形形式或第一正正交性性（（以質(zhì)質(zhì)量為為權(quán)））主振型型的正正交性性主振型型關(guān)于于剛度度矩陣陣的正正交性性第一正正交性性振型方方程頻率ωj將左乘=0第二正正交性性（（以剛剛度為為權(quán)））第一主主振型型正交交性的的物理理意義義某一主主振型型的慣性力力不會(huì)在在其它它主振振型上上作功功第二主主振型型正交交性的的物理理意義義某一主主振型型的彈性力力不會(huì)在在其它它主振振型上上作功功質(zhì)體振振動(dòng)的的能量量不會(huì)會(huì)從一一種振振型轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到另另一種種振型型主振型型的正正交性性例10-16試驗(yàn)算算例10-15所得主主振型型的正正交性性。驗(yàn)算第第一正正交性性結(jié)構(gòu)動(dòng)動(dòng)力學(xué)學(xué)§10.8多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)10-8-1簡諧荷荷載作作用下下的無無阻尼尼強(qiáng)迫迫振動(dòng)動(dòng)柔度法法受到若若干個(gè)個(gè)同步步的簡簡諧荷荷載F1sinθt，…，F(xiàn)ksinθt的作用用，其其作用用位置置任意位移方方程δij為體系系的柔柔度系系數(shù)；；FIj為作用用于各各質(zhì)量量上的的慣性性力ΔiP表示簡簡諧荷荷載的的幅值值在質(zhì)質(zhì)量mi處引起起的靜靜位移移多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方方程矩陣形形式為簡諧荷載幅值引起的靜位移向量運(yùn)動(dòng)微微分方方程的的通解解：齊次方方程的的通解解+非齊次次方程程的特特解取特解解的形形式為為:位移幅幅值方方程多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)式中I為單位位矩陣陣；A為振幅幅向量量注意：：動(dòng)荷荷載不不一定定作用用在質(zhì)質(zhì)量上上解此方方程即即可求求得各各質(zhì)體體在純純受迫迫振動(dòng)動(dòng)中的的動(dòng)位位移幅幅值慣性力力幅值值慣性力力振動(dòng)特特點(diǎn)（1）θ=ωi→系數(shù)行行列式式等于于零→A→∞共振（2）質(zhì)量量的動(dòng)動(dòng)位移移和慣慣性力力與干干擾力力同時(shí)時(shí)達(dá)到到幅值值可同時(shí)時(shí)作用用于體體系上上，按按照靜靜力方方法計(jì)計(jì)算體體系的的內(nèi)力力幅值值多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)位移幅幅值方方程或若以θ

2乘以上式各項(xiàng)并注意到慣性力力幅值值方程程多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)簡諧荷荷載作作用下下的無無阻尼尼強(qiáng)迫迫振動(dòng)動(dòng)——?jiǎng)偠确ǚㄔ谫|(zhì)量上上作用有有動(dòng)力力荷載載FP1(t)，F(xiàn)P2(t)，…，F(xiàn)Pn(t)運(yùn)動(dòng)方方程（質(zhì)體體平衡衡方程程）當(dāng)動(dòng)力力荷載載為同同步簡簡諧荷荷載時(shí)時(shí)取特解解的形形式為為:多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)注意:當(dāng)有簡簡諧集集中荷荷載未未作用用于質(zhì)質(zhì)量上上時(shí)，，可假假設(shè)該該處的的質(zhì)量量為零零后再再套用用上式式；當(dāng)有簡簡諧分分布荷荷載作作用時(shí)時(shí)則需需先化化為作作用于于質(zhì)量量處的的等效效動(dòng)力力荷載載，或或者是是采用用柔度度法求求解。。多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)解：：柔度度系數(shù)數(shù)易求求，且且動(dòng)力力荷載載未作作用在在質(zhì)量量上慣性力力幅值值方程程（10-68a）慣性力力幅值值動(dòng)位移移幅值值多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)慣性力力幅值值動(dòng)位移移幅值值如何求求動(dòng)內(nèi)內(nèi)力？？利用動(dòng)動(dòng)內(nèi)力力還是是動(dòng)位位移求求?可以將將慣性性力和和動(dòng)荷荷載幅幅值同同時(shí)作作用多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)結(jié)構(gòu)特特點(diǎn)：：（（1）超靜靜定剛度法法（2）豎向結(jié)結(jié)構(gòu)剛剛度突突變剛度系系數(shù)振幅方方程靜止5倍，動(dòng)動(dòng)彎矩矩/剪力很很大結(jié)論（1）剛度度突變變頂頂層層動(dòng)力力響應(yīng)應(yīng)突增增——應(yīng)避免免（2）鞭梢梢效應(yīng)應(yīng)明顯顯——應(yīng)采取取措施施（3）小塔塔樓對對二層層橫梁梁有消消振作作用——可利用用多自由由度體體系的的受迫迫振動(dòng)動(dòng)例14-6圖a為一等等截面面剛架架，已已知m1=1kN，m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分分鐘振振動(dòng)300次，l=4m，EI=5××103kN··m2。試作作剛架架的最最大動(dòng)動(dòng)力彎彎矩圖圖。解：此此對稱稱剛架架承受受反對對稱荷荷載，，可取取圖b所示半剛架架計(jì)算。三個(gè)自由度度：m1的水平位移m2的水平位移m3的豎向位移多自由度體系的受受迫振動(dòng)—m1的最大慣性力—m2沿水平、豎向最大慣性力則有(1)多自由度體系的受受迫振動(dòng)求系數(shù)和自由項(xiàng)，，作相應(yīng)彎矩圖如如圖c~f。由圖乘法得多自由度體系的受受迫振動(dòng)集中質(zhì)量的數(shù)值為為振動(dòng)荷載的頻率為為代入式(1)得解得由疊加法最大動(dòng)力彎矩圖如如圖g。多自由度體系的受受迫振動(dòng)多自由度體系的受受迫振動(dòng)10-8-2振型分解法運(yùn)動(dòng)方程柔度法剛度法特點(diǎn)方程互相耦聯(lián)原因δK（或M）非對角矩陣振型分解目的使微分方程解耦單自由度體系振型分解方法采用正則坐標(biāo)以主振型為基底主振型矩陣權(quán)系數(shù)理論依據(jù)主振型關(guān)于質(zhì)量矩矩陣和剛度矩陣的的正交性多自由度體系的受受迫振動(dòng)正則坐標(biāo)方程——單自由度體系運(yùn)動(dòng)動(dòng)方程剛度法建立有阻尼尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程（（幾何坐標(biāo)方程））C稱為阻尼矩陣阻尼系數(shù)雷利阻尼得到以正則坐標(biāo)η表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的受受迫振動(dòng)用A(i)T左乘上式得同理：運(yùn)動(dòng)方程多自由度體系的受受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（正則則坐標(biāo)）式中廣義剛度廣義動(dòng)力荷載。廣義粘滯阻尼系數(shù)廣義質(zhì)量這n個(gè)方程之間是相互互獨(dú)立、無耦聯(lián)關(guān)關(guān)系的與單自由度方程形形式相同！多自由度體系的受受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（正則則坐標(biāo)）或?qū)憺槭街蟹匠烫亟猓ǚ€(wěn)態(tài)解）式中無阻尼時(shí)幾何坐標(biāo)解多自由度體系的受受迫振動(dòng)的確定考慮到實(shí)驗(yàn)定出ξ1、ξ2a,bξ3、ξ4多自由度體系的受受迫振動(dòng)振型分解法求動(dòng)力力響應(yīng)的步驟(1)求出體系的各自振振頻率和振型。當(dāng)當(dāng)有阻尼時(shí)先測得得ξ1和ξ2，再確定常數(shù)a、b，再確定其它各振振型的阻尼比(2）計(jì)算各廣義質(zhì)質(zhì)量和廣義荷載(3）求解以各正則坐坐標(biāo)表達(dá)的振動(dòng)微微分方程得η（t）(4）計(jì)算幾何坐標(biāo)y=Aη注意：由于這一方方法是基于疊加原原理的，因而不適適用于求解非線性性振動(dòng)體系。多自由度體系的受受迫振動(dòng)解：支承動(dòng)力作用下的的位移響應(yīng)計(jì)算，，其效果相當(dāng)于在在質(zhì)量上施加動(dòng)力力荷載根據(jù)例10-15多自由度體系的受受迫振動(dòng)多自由度體系的受受迫振動(dòng)同理結(jié)論：低振型對響響應(yīng)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于于高振型可僅計(jì)入前幾個(gè)振振型對響應(yīng)的貢獻(xiàn)獻(xiàn)例圖示結(jié)構(gòu)在各層橫橫梁處受有水平方方向的突加荷載作作用，試求各層柱柱頂位移?？紤]阻阻尼，ξ1=ξ2=0.05。解：（1）計(jì)算自振頻率和和振型（2）計(jì)算廣義質(zhì)量和和廣義荷載多自由度體系的受受迫振動(dòng)（3）計(jì)算阻尼比ξ（4）正則坐標(biāo)表示的的振動(dòng)微分方程為為多自由度體系的受受迫振動(dòng)可求得正則坐標(biāo)（（略），由此計(jì)算得各層柱柱頂位移為：多自由度體系的受受迫振動(dòng)多自由度體系的受