2022屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求得集合A,B，然后利用集合的交集運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：B.2．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由題意得，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選A.3．已知，為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)變形為，再分情況討論，判斷充分，必要條件.【詳解】結(jié)論，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上：．故選：C4．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導(dǎo)公式可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的定義求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，全書(shū)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，其中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何?”其意思為：“今有5人分5錢(qián)，各人所得錢(qián)數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和與后3人所得之和相等，問(wèn)各得多少錢(qián)?”則第2人比第4人多得錢(qián)數(shù)為（

）A．錢(qián) B．錢(qián) C．錢(qián) D．錢(qián)【答案】D【分析】設(shè)從前到后的5個(gè)人所得錢(qián)數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則有，，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果【詳解】設(shè)從前到后的5個(gè)人所得錢(qián)數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則有，，故解得則，故選：D.6．在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)M，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，且輸入x的值為1，然后輸出n的值為N，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)程序框圖求出可能的情況，再利用幾何概型求解即可.【詳解】由題意知：.且這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)的結(jié)果依次為：.最后輸出3.所以在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)M，則的概率為，故選：C.7．設(shè)，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)榍遥?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.8．以下四個(gè)命題：①梯形一定是平面圖形；②一點(diǎn)和一條直線可確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面；④如果平面外有兩點(diǎn)A，B，它們到平面的距離都是a，則直線平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系，依次判斷即可得答案.【詳解】解：對(duì)于①，梯形一定是平面圖形，是真命題；對(duì)于②，當(dāng)這一點(diǎn)在這一條直線上時(shí)，不能確定一個(gè)平面，是假命題；對(duì)于③，兩兩相交，且交于一點(diǎn)的三條直線不一定能確定一個(gè)平面，是假命題；對(duì)于④，如果平面外有兩點(diǎn)A，B位于平面兩側(cè)時(shí)，不滿足，是假命題．故正確的命題個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：B9．已知，則的值為A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,將正切轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù),通分后,再由正弦的二倍角公式即可求解.【詳解】函數(shù)因?yàn)閯t由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及正弦二倍角公式化簡(jiǎn)可得則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,正弦二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10．已知，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得的大小.【詳解】由題，．令，則，因?yàn)?，所以，所以為上的單調(diào)增函數(shù)，又，因?yàn)?，?故選：C．11．在數(shù)列中且.則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差中項(xiàng)法可知數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】由知，數(shù)列是等差數(shù)列，則其公差因此所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等差中項(xiàng)法判斷出數(shù)列是等差數(shù)列是解題關(guān)鍵.12．設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性的定義，可判斷的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性，結(jié)合題意，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.【詳解】由題意得：所以為奇函數(shù)，又，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，所以所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得故選二、填空題13．已知向量(-3，3)，（m，1），且⊥(2)，則＝_____.【答案】﹣11【分析】求出，根據(jù)⊥(2)，得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：由(-3，3)，（m，1），得，因?yàn)椤?2)，所以，即，解得.故答案為：.14．折扇最早出現(xiàn)于公元五世紀(jì)的中國(guó)南北朝時(shí)代，《南齊書(shū)》上說(shuō)：“褚淵以腰扇障日．”，據(jù)《通鑒注》上的解釋?zhuān)把取奔凑凵龋话闱闆r下，折扇可以看作從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，扇形所在的圓的半徑為r，當(dāng)l與r的比值約為2.4時(shí)，折扇看上去的形狀比較美觀.若一把折扇所在扇形的半徑為30cm，在保證美觀的前提下，此折扇所在扇形的面積是_______．【答案】1080【分析】首先求出弧長(zhǎng)，再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，，所以，所以；故答案為：15．已知三棱錐P-ABC中，是面積為的等邊三角形，，則當(dāng)點(diǎn)C到平面PAB的距離最大時(shí)，三棱錐P-ABC外接球的表面積為_(kāi)______．【答案】【分析】首先確定當(dāng)平面平面PAB時(shí)，三棱錐P-ABC的體積達(dá)到最大；然后作出球的球心求出半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】當(dāng)平面平面PAB時(shí)，三棱錐P-ABC的體積達(dá)到最大；記點(diǎn)D，E分別為，的外心，并過(guò)兩個(gè)三角形的外心作三角形所在平面的垂線，兩垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為三棱錐P-ABC外接球的球心，AO即為球的半徑；因?yàn)椹o故；在中，，則，由正弦定理可，故，記AB的中點(diǎn)為F，則，故，故外接球的表面積．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中球的外接內(nèi)切問(wèn)題、正弦定理解三角形，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.16．已知雙曲線的一條漸近線與曲線相切，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，由切線過(guò)原點(diǎn)求得的值，可得出切線的斜率，進(jìn)而得出，由此可得出雙曲線的離心率為.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線方程為，由于該切線過(guò)原點(diǎn)，則，解得.所以，切線的斜率為，所以，該雙曲線的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，同時(shí)也考查了函數(shù)圖象的切線過(guò)點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別為，設(shè)為的面積，滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【分析】（1）由三角形的面積公式，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求的值，結(jié)合的范圍可求的值．（2）由正弦定理得可得，，則或，然后再分別求出角，從而計(jì)算三角形的面積.【詳解】解：（1）由余弦定理得：，的面積，由得，即，又，所以.（2）由正弦定理得，即，所以，，則或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18．某果園的果農(nóng)現(xiàn)從該果園的蜜柚樹(shù)上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量（單位：g）分別在，，，，，中，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)已知按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在，的蜜柚中抽取了5個(gè)，現(xiàn)從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚的質(zhì)量均小于2000g的概率．(2)以各組數(shù)據(jù)的中間值為代表，以頻率代表概率，已知該果園有5000個(gè)蜜柚等待出售，某電商提出了兩種收購(gòu)方案：方案一：所有蜜柚均以30元/kg收購(gòu)；方案二：低于2250g的蜜柚以60元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于2250g的以80元/個(gè)收購(gòu)．請(qǐng)你任選擇一種方案計(jì)算收益．【答案】(1)(2)選方案一，收益為元；選方案二，收益為元．【分析】（1）求出按照分層隨機(jī)抽樣的方法，質(zhì)量在中應(yīng)抽?。▊€(gè)），質(zhì)量在中應(yīng)抽取（個(gè)），再運(yùn)用列舉法和古典概率公式可求得所求的概率；（2）若選方案一:由頻率分布直方圖知蜜柚質(zhì)量在各段的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，求得各質(zhì)量段的蜜柚個(gè)數(shù)，由此可求得收益.若選方案二:由頻率分布直方圖知蜜柚質(zhì)量在各段的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，求得各質(zhì)量段的蜜柚個(gè)數(shù)，由此可求得收益.【詳解】（1）解：質(zhì)量在和中的頻率分別是和．按照分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5個(gè)蜜柚，則質(zhì)量在中應(yīng)抽?。▊€(gè)），質(zhì)量在中應(yīng)抽?。▊€(gè)），設(shè)按分層隨機(jī)抽樣抽取的5個(gè)蜜柚中質(zhì)量在中的2個(gè)蜜柚分別為，，質(zhì)量在中的3個(gè)蜜柚分別為，．，則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的可能情況有，，，，，，，，，，共10種．抽取的2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2000g的可能情況只有，所以所求概率為．（2）解：若選方案一:由頻率分布直方圖知蜜柚質(zhì)量在各段的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，所以各質(zhì)量段的蜜柚個(gè)數(shù)依次為500，，2000，1000，250，則收益為（元）．若選方案二:由頻率分布直方圖知蜜柚質(zhì)量在各段的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，所以各質(zhì)量段的蜜柚個(gè)數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，則收益為（元）.19．如圖，已知四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，平面，，分別是，的中點(diǎn)．為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為．(1)證明：；(2)求異面直線與所成的角的余弦值；(3)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)【分析】(1)要證明，可證明平面，由已知易得，只要證明即可，由于四邊形菱形，故可轉(zhuǎn)化為證明，由此即可證明；(2)由與平面所成最大角的正切值為，可求出，然后為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與所在向量的夾角的余弦值，從而求解；(3)將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化成三棱錐，然后利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）由四邊形菱形，，可得為正三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，因此．因?yàn)槠矫?，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．?）設(shè)為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角．在中，所以當(dāng)最短時(shí)，最大，即當(dāng)時(shí)，最大．此時(shí)因此．又所以所以以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則則，，，∴異面直線與所成的角的余弦值；（3）連接，由題意可知：，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以，又，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，也即所以20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，半焦距為1，以線段為直徑的圓恰好過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的射線與分別與橢圓位于軸上方的部分交于，兩點(diǎn)，求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出，之間的等量關(guān)系，再結(jié)合，，間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及已知即可得出，的關(guān)系，進(jìn)而即可得到直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）以線段為直徑的圓恰好過(guò)橢圓的上下頂點(diǎn)，.，，，橢圓的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得.設(shè)點(diǎn)，，則，.，且由題意知和必存在，.又，，即，整理得，得，即，解得，的方程為.，即，，解得.，位于橢圓軸上方，，此時(shí)直線過(guò)軸上的定點(diǎn).21．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.求導(dǎo)后分離參數(shù)得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求得最小值，根據(jù)不等式恒成立的意義得到所求范圍；（2）由，為兩個(gè)極值點(diǎn)不妨設(shè)，聯(lián)立極值點(diǎn)的條件，并結(jié)合要證不等式，消去a，將要證不等式轉(zhuǎn)化為只含有，的不等式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為只含有的不等式，作換元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證明即可.【詳解】（1）是上是增函數(shù)，，，設(shè)則，令解得，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，；（2）依題意可得：，，是極值點(diǎn)，∴，兩式相減可得：，所證不等式等價(jià)于：，不妨設(shè)，兩邊同除以可得：，令，所證不等式只需證明：，設(shè)，，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，成立，即，可得：，在單調(diào)遞減，，原不等式成立即.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l和曲線C的普通方程；(2)直線l和曲線C相交兩點(diǎn)，若，且，求直線的方程.【答案】(1)直線l的普通方程為；曲線C的普通方程是(2)【分析】（1）消去參數(shù)得得，根據(jù)，將極坐標(biāo)方程化為普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合直線參數(shù)方程的幾何意義得，進(jìn)而得，故直線l的方程是【詳解】（1）解：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），消去參數(shù)得，，令，，可得曲線C的普通方程是．（2）解：將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，整理得關(guān)于的方程，顯然，設(shè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，所以，由直線參數(shù)方程的幾何意義得：，，所以，化簡(jiǎn)得，，，所以，直線l的方程是23．設(shè)函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1