河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C.2 D.32.已知，，則（）A. B.C. D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C.-2 D.24.已知為第四象限角，則值為（）A. B. C. D.5.已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A. B. C.或3 D.或6.在正四棱錐P-ABCD中，，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線AP與DE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.若正數(shù)x，y，z滿足，則（）A. B. C. D.8.已知圓C1：和圓，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，過(guò)P作的兩條切線，連接兩個(gè)切點(diǎn)的線段稱為圓的切點(diǎn)弦，則在圓內(nèi)不與切點(diǎn)弦相交的區(qū)域的面積為（）A B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知m，n是空間中兩條不同的直線，，β是兩個(gè)不同的平面，Q是空間中的一個(gè)點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10.已知雙曲線E，則（）A.，E的漸近線方程為 B.，E的離心率為C.，E的離心率為 D.，E的虛軸長(zhǎng)為211.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為B.若實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的最小值是3C.若實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的最大值是4D.若實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的最小值是112.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)，其中ai，若在A各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)（）A. B.C.X的數(shù)學(xué)期望 D.X的方差三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校機(jī)器人興趣小組有男生3名，女生2名，現(xiàn)從中隨機(jī)選出3名參加一個(gè)機(jī)器人大賽，則選出3名學(xué)生中既有男生又有女生的選法有___________種14.已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________，的最小值為_(kāi)__________．15.湖北省中藥材研發(fā)中心整合省農(nóng)業(yè)科技創(chuàng)新中心、省創(chuàng)新聯(lián)盟相關(guān)資源和力量，為全省中藥材產(chǎn)業(yè)鏈延鏈、補(bǔ)鏈、強(qiáng)鏈提供科技支撐，某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量x（單位：g與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足，檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分甲的含量x的平均值為5g，標(biāo)準(zhǔn)差為g，則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效y的平均值為_(kāi)__________藥物單位．16.在三棱錐P-ABC中，，點(diǎn)M，N分別是PB，BC的中點(diǎn)，且，則平面AMN截三棱錐P-ABC的外接球所得截面的面積是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，17.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，（1）求角A的大?。海?）若，求△ABC的面積．18.在數(shù)列，中，，為各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為9.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.19.北方某市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績(jī)不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績(jī)，如下表成績(jī)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)55152510（1）從參加接訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率，（2）用分層抽樣的方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，△PAD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為CD的中點(diǎn)，．（1）證明：EF//平面PAB；（2）求平面AEF與平面PCD夾角的余弦值．21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)，且C2的準(zhǔn)線與交于M．（1）求的方程；（2）如圖，過(guò)作直線l交于A，B，交于C，D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB，△F1CD的面積分別是，，且，求直線l的方程．22.已知函數(shù)（1）若，求f(x)在（，0）上的極值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍高三數(shù)學(xué)一、1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.【答案】CD10.【答案】AC11.【答案】BD12.【答案】ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.【答案】914.【答案】①.12②.##0.515.【答案】16.【答案】四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，17.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，（1）求角A的大小：（2）若，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而根據(jù)輔助角公式可得，即可求解.（2）根據(jù)正弦定理邊角互化得，由余弦定理可得，，進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，得由正弦定理可得，即得，又，所以，所以，所以【小問(wèn)2詳解】由，得，又，由余弦定理可得解得，，所以.18.在數(shù)列，中，，為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，且其前三項(xiàng)和為9.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列的前三項(xiàng)和為，所以，或舍去，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榍叭?xiàng)和為9，所以有，所以，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由（1）可知：，所以，，，得，，所以.19.北方某市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績(jī)不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績(jī)，如下表成績(jī)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)55152510（1）從參加接訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率，（2）用分層抽樣的方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比可得[70，80）和[80，90）抽取的學(xué)生人數(shù)，由超幾何分布即可求解概率，進(jìn)而得分布列.【小問(wèn)1詳解】設(shè)該名學(xué)生考核成績(jī)優(yōu)秀為事件A，由已知50名同學(xué)的成績(jī)中，優(yōu)秀的有35名同學(xué)，所以，可以可估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀概率為．【小問(wèn)2詳解】由已知，用分層抽樣方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，則考核成績(jī)?cè)赱70，80）的學(xué)生應(yīng)抽取3人，考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生應(yīng)抽取5人．由題意可得X的所有可能取值為1，2，3，4，所以所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P所以即所求數(shù)學(xué)期望為．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，△PAD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為CD的中點(diǎn)，．（1）證明：EF//平面PAB；（2）求平面AEF與平面PCD夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)N，連接NE，過(guò)F作且與AP交于點(diǎn)M，連接MN，由證EF平面PAB即可；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法求面面角余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】取AB的中點(diǎn)N，連接NE，過(guò)F作且與AP交于點(diǎn)M，連接MN．∵E為CD的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，，∴.∵，∴.∴，∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴.∵M(jìn)N平面PAB，EF平面PAB，∴EF平面PAB.【小問(wèn)2詳解】由為等腰直角三角形，4，平面PAD⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PCD的法向量為，由，有，取，得，所以平面PCD的一個(gè)法向量為．設(shè)平面AEF的法向量為，由，有，取，得，所以平面AEF的一個(gè)法向量為所以，所以平面AEF與平面PCD夾角的余弦值為．21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)，且C2的準(zhǔn)線與交于M．（1）求的方程；（2）如圖，過(guò)作直線l交于A，B，交于C，D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB，△F1CD的面積分別是，，且，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線可得橢圓的焦點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)橢圓的對(duì)稱可知在橢圓上，代入即可求解，（2）根據(jù)面積關(guān)系轉(zhuǎn)化成|，進(jìn)而聯(lián)立直線與曲線的方程，由弦長(zhǎng)公式以及焦點(diǎn)弦公式即可表示，代入|即可求解直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程是，所以，由題意可知點(diǎn)在橢圓上，故所以解得，所以的方程是【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镺為，中點(diǎn)，所以O(shè)到直線l的距離為到l距離的一半，又1，所以|．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，易得不符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，由兩點(diǎn)間距離公式可得，所以，聯(lián)立方程組可得，則所以因?yàn)?，解得，所以直線l的方程是或22.已知函數(shù)（1）若，求f(x)在（，0）上的極值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）極大值是，無(wú)極小值（2）【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)求單調(diào)性,最后導(dǎo)數(shù)為零時(shí)求極值即可;(2)根據(jù)單調(diào)性求最值,把在上恒成立轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0,分情況討論求解可得.【小問(wèn)1詳解】若x，則，令，，則，令則,

所