比較笨的人怎么學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)

Word版本，下載可自由編輯比較笨的人怎么學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)的語言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，而且是一門博大精深的科學(xué)，更是一種先進的文化，在人類熟悉世界和改造世界的過程中向來發(fā)揮著重要的作用與影響。那么高校怎么學(xué)習(xí)?整理了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，希翼能協(xié)助到您。

比較笨的人怎么學(xué)習(xí)高校數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是什么?

大部分中國人心目中的數(shù)學(xué)，其實按嚴(yán)格的分類，都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。一句話：應(yīng)用數(shù)學(xué)是用數(shù)字和公式描述客觀世界的科學(xué)，討論的是客觀世界的數(shù)量性質(zhì)和運動邏輯;而數(shù)學(xué)(為了區(qū)別，多稱作“純數(shù)學(xué)”或“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”)是含有公式的哲學(xué)，討論的是抽象概念的關(guān)系、運動邏輯和空間的性質(zhì)，具有很強的主觀性和藝術(shù)性。

古人從獵物分配中總結(jié)了算術(shù)，從土地面積丈量中總結(jié)出基礎(chǔ)的平面幾何，能夠說，先有應(yīng)用數(shù)學(xué)后有純數(shù)學(xué)。二者在300年前能夠說不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數(shù)學(xué)家同樣也在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)等領(lǐng)域取得累累碩果。后來，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學(xué)，使得人類第一次脫離生活中直觀的三維空間，思量抽象空間的性質(zhì)，這個大事標(biāo)志著純數(shù)學(xué)開頭獨自門戶。而1900年希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上的講話，能夠說是純數(shù)學(xué)從應(yīng)用數(shù)學(xué)中徹底獨立出來。二戰(zhàn)后經(jīng)濟復(fù)蘇，數(shù)學(xué)家有了資金支持能夠無憂生計，全心全力做討論，數(shù)學(xué)獲得長足進展。

為什么要學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)?

常言道，練武不練功，到老一場空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動舞得起來才有威力?？催^電影《導(dǎo)火線》的筒子，絕對對里面甄子丹的背摔印象深刻。但假如沒有甄子丹的身體素養(yǎng)和協(xié)調(diào)本事，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不行。應(yīng)用數(shù)學(xué)的模型的發(fā)明討論者多數(shù)有很深的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)功底，故學(xué)習(xí)者若無一定的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，理解他們的成績就要花費無數(shù)的時光和精力，而且難以理解透徹和應(yīng)用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業(yè)日新月異，金融界瞬息萬變，相關(guān)的模型和公式也是層出不窮。學(xué)習(xí)者假如不能觸類旁通，一個一個學(xué)是必定學(xué)不完的。

一切高級的數(shù)學(xué)，歸根結(jié)底都是微積分和線性代數(shù)的各種變化，這是哈佛數(shù)學(xué)系主任丘成桐和普林斯頓數(shù)學(xué)系前系主任釋天(EliasStein)常常告誡同學(xué)的話。而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的初級學(xué)科，如數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，就是對最基本的高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)舉行理論上的完美，讓學(xué)習(xí)者不僅僅能學(xué)會現(xiàn)有些套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應(yīng)對各種隨機的狀況，甚至于自創(chuàng)招式。故未來方案學(xué)習(xí)理工科和金融的同學(xué)，除了練好微積分和線性代數(shù)的計算，至少要學(xué)習(xí)一下這兩個領(lǐng)域的證實課程，也就是一年的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。這只是最低要求，物理學(xué)特殊是理論方向的必修群論(屬于抽象代數(shù))，量子力學(xué)要學(xué)希爾伯特空間(屬于實變函數(shù))。

其它，有的較為高端的金融數(shù)學(xué)項目中的隨機模型的課程，已經(jīng)要求初步掌控測度論。詳細(xì)到理工科和金融的名家案例：生物學(xué)家施一公高中數(shù)學(xué)比賽河南省第一名，高校物理和生物雙學(xué)位中修了大量數(shù)學(xué);哈佛高校雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時數(shù)學(xué)水準(zhǔn)不亞于數(shù)學(xué)系畢業(yè)生;文藝復(fù)興基金創(chuàng)始人、30年內(nèi)殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(JamesSimons)本身就是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)出身。

近一點的例子：北大生命科學(xué)學(xué)院05級本科第一名、現(xiàn)斯坦福博士生高小井;06級本科第一名、現(xiàn)哈佛醫(yī)學(xué)院博士生李鑫，高中都有數(shù)學(xué)奧賽經(jīng)受，在高校也向來強化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。MHC生物和化學(xué)雙學(xué)位取得者，目前杜克高校醫(yī)學(xué)院MD同學(xué)王曉雯，高校期間做完了聞名的《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》。本科階段學(xué)好數(shù)學(xué)，是理工社科從業(yè)者一生的財寶。

如何學(xué)好數(shù)學(xué)?

我的數(shù)學(xué)到底有多爛?做過《五年高考三年模擬》的伴侶，都知道高考數(shù)學(xué)北京卷的特征是基礎(chǔ)題特殊基礎(chǔ)，最后一道大題用超綱學(xué)問+新信息+辦法綜合拉開分?jǐn)?shù)檔次。我當(dāng)初?？迹涂偸亲詈笠坏李}得一兩分或者所有放棄。我從小強于記憶而不善也不喜愛?規(guī)律推理，故高中數(shù)學(xué)基本上靠題海練習(xí)、認(rèn)識題型、照搬定式來得分。

來到石溪，我學(xué)數(shù)學(xué)有過十分疼痛的經(jīng)受。其實當(dāng)初規(guī)劃也有失誤，無數(shù)地方失于暴躁冒進，不然，徹低能夠不那么累而且學(xué)得更好。歐美有無數(shù)數(shù)學(xué)天才寫過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)收獲，但鑒于他們起點太高，學(xué)習(xí)節(jié)奏能夠很快，故辦法未必適合大家。我的辦法能夠說是零起點的，目的是協(xié)助像我一樣沒搞過比賽的理科生以及文科生搞定高校的數(shù)學(xué)系要求，以在將來的職業(yè)競爭中，數(shù)學(xué)方面不至于拖累自己甚至率先身邊人。那么如何學(xué)好數(shù)學(xué)?看我細(xì)細(xì)道來：

第一，要具備不卑不亢的心態(tài)

數(shù)學(xué)并非難，只是它的表達體系和思維要求，對于多數(shù)中國同學(xué)比較生疏。要把它當(dāng)作全新的東西來熟悉，就跟學(xué)習(xí)一門新語言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中學(xué)問和AP數(shù)學(xué)等，記住概念即可，思維推導(dǎo)不要沿用。然后嚴(yán)格根據(jù)教師講的思維方式，不厭其煩的推導(dǎo)和證實，漸漸一回生二回熟。幾年前華人數(shù)學(xué)天才陶哲軒給UCLA本科生講HonorAnalysis(榮譽數(shù)學(xué)分析)的時候，上來進度十分慢，前一個月都在證實皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來能夠越學(xué)越快，而且同學(xué)越學(xué)越Hi。拳不離手，曲不離口，學(xué)語言要勤動口和動筆，學(xué)數(shù)學(xué)也要沒事常動腦。

就算文科生一樣能夠?qū)W好數(shù)學(xué)：20世紀(jì)俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派掌門人、莫斯科國立高校數(shù)學(xué)系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。人魏愛華(EdwardWitten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學(xué)，博士申請UWM的經(jīng)濟學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數(shù)學(xué)和物理,23歲考進Princeton，碩轉(zhuǎn)博再同時搞數(shù)學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。

我說過了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)其實是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有道理。另一方面，國內(nèi)就算奧賽摘金奪銀，到也要扎扎實實的學(xué)。由于奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數(shù)是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數(shù)幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數(shù)幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。我們石溪的米糯教授本科大一在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)論文，這是數(shù)學(xué)界最高學(xué)術(shù)期刊，每年中國大陸都很難有一篇文章發(fā)表。

這里特殊要說一下數(shù)學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證實的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，的教學(xué)更為親民：上來先是微積分和不帶證實的線性代數(shù)，內(nèi)容比較容易，作業(yè)和考試無數(shù)中國同學(xué)能夠依賴高中基礎(chǔ)秒殺之。但不少人練習(xí)不夠，無數(shù)學(xué)問沒搞透，辦法技巧也不夠嫻熟。然后到了其次段，數(shù)分和高代一開，無數(shù)人欲哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有須要的。然后其次段就要細(xì)讀書，多問教師。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能學(xué)好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。

其次，保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時光

要是天才并且喜愛?數(shù)學(xué)，那你自然會給數(shù)學(xué)大量時光。假如是為了未來勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數(shù)學(xué)，要記住大一大二對于打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是最珍貴的。所以，建議天天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然后把大塊時光分配給數(shù)學(xué)的看書做題細(xì)琢磨。

我目前主要是修各種數(shù)學(xué)課和一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的概率論，天天時光大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的歇息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人興趣1小時(抄抄四書五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時光1小時，剩下11小時是聽課和課下學(xué)習(xí)。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上向來思量，也相當(dāng)于終于學(xué)習(xí)10小時。

誰說數(shù)學(xué)天才天天悠哉游哉?那么最衰老的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-PierreSerre)夠天才了吧?他自述道：習(xí)慣帶著數(shù)學(xué)題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(SirMichaelAtiyah，英國皇家學(xué)會會長，敕封爵士)并列20世紀(jì)世界第一的數(shù)學(xué)家)。數(shù)學(xué)多好算好?別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，學(xué)問和辦法不超綱的題目要難不住你(by“現(xiàn)代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領(lǐng)域下一階段的書要能自通30%(by菲爾茲獎得主CurtisMcMullen的導(dǎo)師DennisSullivan，石溪數(shù)學(xué)四大導(dǎo)師之蘇立文)。校園傳的什么天天學(xué)習(xí)八小時那是給別的學(xué)科的。天天八小時想學(xué)好數(shù)學(xué)?做夢!

第三，學(xué)會科學(xué)的思維辦法

(1)數(shù)學(xué)思維的三個方面

任何數(shù)學(xué)的定義、定理說透了也就三部分：

第一是它本身的文字和(或)符號、公式內(nèi)容;

其次是它在數(shù)學(xué)學(xué)問體系中的位置，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的規(guī)律關(guān)系，包括由什么能夠推出來該定義或定理，它又能夠(與另外定理一起)推出些什么;

第三是它所涉及的范疇有什么詳細(xì)實例(比如循環(huán)群就有旋轉(zhuǎn)圖形、整數(shù)加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數(shù)學(xué)中或數(shù)學(xué)外(典型的如幾何和物理)取得應(yīng)用。

這就分離是數(shù)學(xué)對象的本體論、辦法論和目的論?？履哒f：“確實同學(xué)對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：

1、算法本事，也就是對復(fù)雜式子作高超的變形，以解決標(biāo)準(zhǔn)辦法解決不了的問題的本事。

2、幾何直觀的本事，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表述出來，并舉行思量的本事。

3、一步一步舉行規(guī)律推理的本事。

這些對應(yīng)的就是掌控數(shù)學(xué)概念的三方面需要什么本事。提升算法本事最好多做題，幾何直觀除了做題還要日常多留意，多聯(lián)系生活實際;規(guī)律推理這個往往是中國同學(xué)的弱項，究竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維線形(規(guī)律鏈的內(nèi)在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故規(guī)律推理要特殊練習(xí)。練習(xí)規(guī)律推理的辦法關(guān)鍵在定理的證實，下面會詳述。

(2)如何課前預(yù)習(xí)

一開頭微積分能夠多做一點，而數(shù)分和高代等帶證實的預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容即可。先回顧上堂課所學(xué)學(xué)問，再看新章節(jié)內(nèi)容：先略讀本章節(jié)，看清有幾個定義(Definition)，幾個定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例子(Example)和解釋(Remark)。假如把數(shù)學(xué)比作一門語言，定義就是名詞，定理和引理是句子，而例子和解釋相當(dāng)于古文經(jīng)典中的注和疏。定義一定要自己品嘗，比較長的拆開句子成分漸漸看，不可就抄。日本第一個菲爾茲獎小平邦彥高校時抄過整本VandeWarden的代數(shù)，咱們抄書不丟人。定義要么是全新的，這個不急著理解，往后看看;要么是基于以前內(nèi)容的，這個不妨回顧一下相關(guān)內(nèi)容再繼續(xù)看。

碰到定理就要注重，課本的證實不要先看，自己理解定理內(nèi)容后，把定理當(dāng)作習(xí)題徒手證一遍，寫下來，再與課本原文比較，查找二者的不同：自己的證實是不是漏某條件或者把某需要說明的當(dāng)做明顯了(初學(xué)者常犯錯誤)，是不是有多余的語句，是不是有地方用錯了。凡是不同處，都要重點思量，這樣長進就快了。假如實在想不起來，就看看書本怎么證的。對于自己的不足，要整理到上述公式、規(guī)律或幾何三個大類中，并提示自己注重(如國內(nèi)分析教材從羅爾定理證實拉格朗日中值定理，無數(shù)人不會把普通的函數(shù)構(gòu)造成符合羅爾定理條件的函數(shù)，這個就牽涉到公式變形本事和規(guī)律本事)。

引理也是這么證。別小看引理，朗蘭茲猜測中的基本引理之一，吳寶珠證出來就是一個菲爾茲獎。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少兩個例子，一個是典型的，一個是退化的極限狀況(byHalmos，《我要做數(shù)學(xué)家》和《希爾伯特空間習(xí)題集》的，芝加哥高校鼎盛時期和陳省身等共事的數(shù)學(xué)家)。例如高中解析幾何的雙曲線，分母的a^2,b^2固然大于零，能夠找出來一個例子。假如其中一項等于零，就退化成兩條直線，這就是退化的極限狀況。不要小看退化，這正是跟以前學(xué)問的聯(lián)系。自己想了例子，其實潛意識中，解釋的內(nèi)容已經(jīng)過了一遍。然后不必太早做習(xí)題，再回顧一下囫圇思維過程有沒有需要看課本提醒的地方，有沒有自己能看懂但是跟以往慣性思維相悖的地方，有沒有驟然頓悟的地方。這都要登記來，上課等教師講到這里時要分外留心。

(3)聽課

的數(shù)學(xué)教授基本還是寫黑板，而且不會太快。上課公式一寫幾黑板的那是應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，噼噼啪啪打幻燈的在石溪一定不是數(shù)學(xué)或物理教授。所以，有時光記筆記。但不必全記住，把預(yù)習(xí)的成績調(diào)動起來，教師講的時候跟自己腦中的備份隨時印證并修正。就一個建議，教授不停嘴，同學(xué)不動筆。真正聽好了，上課一字不寫又何妨?課下徹低能夠輕松補全并注上自己的收獲見解。

(4)課下

先整理筆記，一定有自己的見解，全抄教師的對于學(xué)應(yīng)數(shù)是實用的，對于學(xué)數(shù)學(xué)則是鋪張時光。數(shù)學(xué)界的師生關(guān)系往往很融洽，但思維上肯定是批評繼承和引發(fā)繼承，學(xué)我者昌，似我者亡。然后是定義再品嘗一下，定理和引理自己再證一遍，比較教師的證實、課本的證實和自己當(dāng)時的證實，這次不僅要能說出哪個好，還要能說出為什么好。

然后是做題了。除了開頭的微積分要刷書，帶證實的課，課本做好作業(yè)題就夠了，由于教師選的可能不是經(jīng)典教材(經(jīng)典的往往比較難，無數(shù)同學(xué)受不了)。但每個題要做精，做完一題回顧自己的思路歷程，并對其中的公式變形、規(guī)律推理和幾何直觀舉行歸類。實在做不出來，畫個記號，改天再看，兩天都做不出來才能夠看解答。對于解答中自己想不到的，要特殊標(biāo)注，經(jīng)常回顧。然后就是選一本這一門課比較經(jīng)典的書，根據(jù)上文預(yù)習(xí)和做題的路子走一遍。經(jīng)典教材的學(xué)問點和思路要自己總結(jié)，每過一兩章節(jié)，找一張大的紙畫下來本章定理的規(guī)律體系圖。經(jīng)典教材的題目最好都做，做不出來，OfficeHour坐穿椅子去。

(5)心理狀態(tài)

無數(shù)人開頭覺得數(shù)學(xué)難，然后生怕基礎(chǔ)打得不牢，一個定理看半天，看似很仔細(xì)很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且簡單跟不上進度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊急，手抓得太緊，反而發(fā)不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時能夠發(fā)力的彈簧狀，擊球時蹬地轉(zhuǎn)體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌眨眼趕緊最后一次加速，這才干打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防備的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊急和感動，有點小期盼，隨時能調(diào)動已有學(xué)問，并能夠多角度觀看新學(xué)問，思維能發(fā)散也能快速收回并集中攻關(guān)。

這種感覺一旦找到，妙不行言。不過重難點也要適當(dāng)文火慢燉：假如教材中有令自己感到太難的思量，頭一天理解了要標(biāo)記，其次天要試著不看書回憶。曾任Princeton和UniversityofWisconsinMadison教授，現(xiàn)坐鎮(zhèn)石溪的微分幾何大家陳秀雄先生在《初遇尤金卡拉比》中寫道，當(dāng)年導(dǎo)師卡拉比告知過他：假如你不能在腦海中重復(fù)囫圇論證過程，那么它就沒有成為你的一部分。

第四，打造良好的身體素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是勞心的工作，假如身體素養(yǎng)不夠，氣血不足，將直接影響思維質(zhì)量。數(shù)學(xué)牛人幾乎沒有不愛運動的：柯莫高70歲仍冬泳，注重，是莫斯科的冬天!陶哲軒騎山地車，高探蝶養(yǎng)牛(囧)，陳秀雄賣萌(我堅持認(rèn)為他是自然萌)。要想學(xué)好數(shù)學(xué)，摸爬滾打至少要喜愛?一項。這里給男生推舉練習(xí)腹?。菏紫冗@個能夠每天練，作為讀書的調(diào)劑(上肢和下肢假如負(fù)重，要隔天練才不會受傷);第二腹肌訓(xùn)練能提升軀干供血，這樣在各種環(huán)境(沙發(fā)，椅子，樹上，火車或飛機上)看書都不易浮現(xiàn)頭暈或胸悶;最后固然是能吸引妹子。天天推舉訓(xùn)練量：腹肌撕裂者(AbsRipper)或八分鐘腹肌(8MinAbs)教程一套(網(wǎng)上有)，協(xié)作腿部負(fù)重(沙袋就好);負(fù)重仰臥起坐50次每組x5組(開頭能夠20次每組x10組)，負(fù)重懸垂舉腿10-30每組x5組，負(fù)重俯臥挺身10-20次每組x5組。這對綜合防身也實用：常言到手是兩扇門，全靠腿打人。同樣是低位置的迅速踢腿，小腿發(fā)力叫下段踢，腰胯發(fā)力叫碎骨，惟獨用上腹部和背部的力氣，才是令人聞風(fēng)喪膽的“武神強踢”。

最后祝大家都能以高效率學(xué)好數(shù)學(xué)，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程。各路高人歡迎拍磚。

幾個本科課程的經(jīng)典教材：

基礎(chǔ)微積分：Stewart，Thomas，吉米多維奇選一個就能夠。吉米能夠晚一些，學(xué)數(shù)學(xué)分析時做。

基礎(chǔ)線性代數(shù)：GilbertStrang的IntroductiontoLinearAlgebra,MITOCW上有教學(xué)視頻，親手講，十分十分適合入門。

高等代數(shù)(帶證實的線代)：Friedberg的LinearAlgebra。不要用那個LinearAlgebraDoneRight，太粗糙。

抽象代數(shù)：小丫挺(MichaelArtin)的Algebra，國內(nèi)張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》很好，究竟是小丫挺的父親丫挺先生(EmilArtin)的博士生，土豆網(wǎng)上有授課視頻。學(xué)有余力的看Dummit

Foote的Algebra，再牛的挑戰(zhàn)郎射日(SergeLang)的Algebra。

數(shù)學(xué)分析：基礎(chǔ)普通的，陶哲軒的AnalysisI,II很好?；A(chǔ)很好的用蘇聯(lián)卓里奇(VladimirZorich)的MathematicalAnalysisI,II，這是清華基礎(chǔ)科學(xué)班大一數(shù)分教材。課外想自虐的用Rudin的PrinciplesofMathematicalAnalysis，即BabyRudin。

復(fù)分析：經(jīng)典的多數(shù)用Rudin的RealandComplexAnalysis，不過有點小難。

實分析：這個不必看本科生特地的實分析，討論生的能夠直接上，究竟本科分析扎實的話，測度論能夠直接看。上一條中Rudin的就好，其它有個RealAnalysis:ModernTechniquesandTheirApplicationsbyFolland寫的不錯。至于釋天的三卷分析，相當(dāng)難，慎用。

微分方程：常微分方程無數(shù)人推舉Arnold的，不過偏難。偏微分一定要問教師，究竟涉及的范疇太廣了。

拓?fù)鋵W(xué)：Munkres的不解釋。假如多元微積分很好，能夠用Milnor的那本小冊子(TopologyfromtheDifferentiableViewpoint)看看微分拓?fù)洹?/p>

補充

本文的每條回復(fù)我都細(xì)看過，無論臧否，皆是動力。不過有一些內(nèi)容，需要略作補充說明(補充說明原來另發(fā)日志，后發(fā)覺整合進入原文越發(fā)直觀。原文除錯別字外一字不易，便于大家比較)：

1、這篇文章是協(xié)助我這樣基礎(chǔ)不好的人學(xué)數(shù)學(xué)的，而絕非勸人做數(shù)學(xué)的。我提到的學(xué)習(xí)辦法無非看書聽課做題，這些只能夠供本科和碩士階段學(xué)數(shù)學(xué)用。讀論文，查資料，聽研討班才是做數(shù)學(xué)的純數(shù)學(xué)博士生的天天工作。做數(shù)學(xué)需要無數(shù)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)工具，如李群論、表示論、算子代數(shù)等等，而這些我的文章中一個都沒有推舉。假如要做數(shù)學(xué)，我列的書單全做透還是談不上入門的，一定要多聽教授指點。

2、我需要重申這篇文章的讀者定位：首先是需要應(yīng)用數(shù)學(xué)的理工科和社科學(xué)生，以及想學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)但中學(xué)期間沒有受過系統(tǒng)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)系學(xué)生(奧賽能夠近似看作系統(tǒng)的思維訓(xùn)練而非數(shù)學(xué)訓(xùn)練，下文詳述)。學(xué)習(xí)支配也需要明確一下：建議通過大一大二專業(yè)課不是特殊重的時光(這是的狀況，國內(nèi)有的專業(yè)大一大二課程較重)，盡可能通過選課或旁聽的條件來掌控相當(dāng)于國內(nèi)數(shù)學(xué)系大一的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)。國內(nèi)這是四門課(各兩學(xué)期)，則是微積分兩門，基礎(chǔ)線形代數(shù)一門，高等代數(shù)一門，數(shù)學(xué)分析一到兩門，故為五到六門，但實際工作量并不比國內(nèi)的四門更多。這個工作量對于大多數(shù)比較努力的學(xué)生應(yīng)當(dāng)不難達成。至于抽象代數(shù)、實分析和復(fù)分析等并非對全部理工科和社科均必須，請按照詳細(xì)狀況按需學(xué)習(xí)。

3、一些詳細(xì)的數(shù)學(xué)內(nèi)容：首先是線性代數(shù)和高等代數(shù)的區(qū)分：我固然知道這兩個學(xué)術(shù)領(lǐng)域范疇有差別，而不僅僅是難度和對證實的要求不同。但這里談的是課程名稱。的IntroductiontoLinearAlgebra的確是數(shù)學(xué)系第一門代數(shù)類課程，接著是LinearAlgebra。普通沒有對應(yīng)于“高等代數(shù)”的“HigherAlgebra”或“AdvancedAlgebra”的課程名稱。這兩門學(xué)完，課程進度上等同于國內(nèi)學(xué)完一年高等代數(shù)，下面能夠?qū)W抽象代數(shù)了。然后是Gelfand讀完EGA，我當(dāng)初的確看到過一則消息這樣寫的，未加考證就直接用了，是我的失誤，在此致歉。其實Gelfand比Grothendieck要年長不少，他15歲的時候Grothendieck還在童年。

4、關(guān)于教材的推舉：有人說我推舉的都太難，請去讀Stewart的微積分和陶哲軒的Analysis半小時，然后是否還是堅持此觀點。Rudin的書主要是思路跳動性大，講完一個學(xué)問點馬上就要靈便運用，而且默認(rèn)讀者的微積分和集合論有很好的基礎(chǔ)，故不適合作為第一本分析教材。而卓里奇是學(xué)問量大并且對思維考察事無巨細(xì)，需要常常查資料或有教師帶。假如這些都感到難，陶哲軒應(yīng)該是最好的第一本分析教材之一，在解答的具體度和思路的嚴(yán)謹(jǐn)性上都堪稱一絕。至于國內(nèi)的教材的問題，主要不在定義上的錯誤，而在思路上的舍近求遠和表達上的佶屈聱牙。并非國內(nèi)的數(shù)學(xué)教材都不好，只是每個領(lǐng)域各有長短。

4、關(guān)于奧賽：奧數(shù)比起高考的數(shù)學(xué)，難度和深度上高無數(shù)，對熬煉思維有益處。但奧賽和科研路子還是不一樣，假如是純搞奧數(shù)，到討論階段未必有大成就。陶哲軒的狀況是學(xué)校時學(xué)完了澳洲的高中數(shù)學(xué)，學(xué)校高班級就在家附近的高校聽數(shù)學(xué)課，然后12歲起隨手去參與奧賽。故想做數(shù)學(xué)家，比較簡單達成的路子是童子功加上正統(tǒng)高校數(shù)學(xué)教學(xué)為主，奧賽成果如何并無打算性意義。

5、關(guān)于翻譯：無論做數(shù)學(xué)還是只學(xué)數(shù)學(xué)，都很辛勞。故消遣萬歲。翻譯假如能博人一笑，不僅便于記憶，還能為大腦增氧。至于Grothendieck和Atiyah的封號來源：前者的自傳《心得與播種》中用很大篇幅探討東方哲學(xué)中的陰陽辯證關(guān)系，加上他提出無數(shù)代數(shù)幾何的新概念，故得來“造化陰陽”的雅號;后者艾抵涯和辛格(I.M.Singer)提出的Atiyah-SingerIndexTheorem，對分析、拓?fù)洹⑽⒎謳缀蔚阮I(lǐng)域都產(chǎn)生了深遠影響。加上艾抵涯自己帶出來Donaldson一個菲爾茲獎得主，又力挺物理學(xué)家魏愛華(EdwardWitten)獲菲爾茲獎，并且喜愛?協(xié)助數(shù)學(xué)上比較后進的國家(擔(dān)任中國和巴西的最高數(shù)學(xué)刊物的顧問等等)，故送他雅號“迷津慈航”。

6、關(guān)于健身。用DNF的技能只是比方，究竟這幾招很有漸進性。熬煉腹肌不僅男生能夠練習(xí)，女生練也不錯。健身房里時時有女生做腹肌撕裂者。一次小學(xué)主健身房人太多，改去一個宿舍樓的健身房，碰到一個身段修長堪比超模的白人女生，腳夾20磅啞鈴做負(fù)重懸垂舉腿，一組20個。女生假如不安長肌肉，只要不吃蛋白質(zhì)粉，并且使用每組能做20次以上的較輕分量即可。

高校數(shù)學(xué)高效復(fù)習(xí)法

第一輪：(預(yù)估時光2個月)

這一輪的目的：認(rèn)識大綱的學(xué)問框架，摸清對應(yīng)的考試題型。

把整本書過認(rèn)仔細(xì)真過一遍，學(xué)問點必需理解清晰，相關(guān)練習(xí)題都必需自己一步一步推算。碰到解決不了的問題，馬上請教學(xué)生和教師，不要不懂裝懂，自己騙自己。

第一遍仔細(xì)地啃完整本書，后面幾輪的復(fù)習(xí)就會順暢無數(shù)。

時光上，建議一周攻克一個部分，內(nèi)容較多的章節(jié)多分配些時光，總之靈便支配復(fù)習(xí)時光。

其次輪：(預(yù)估時光1個月)

這一輪的目的在于：掃清自己存在學(xué)問上的盲點。

開頭復(fù)習(xí)其次遍指導(dǎo)書。經(jīng)過第一遍的仔細(xì)復(fù)習(xí)，你應(yīng)當(dāng)比較認(rèn)識學(xué)問點、考點以及常規(guī)考題的套路了。

這一輪復(fù)習(xí)，重點在于查漏補缺，把自己不懂得學(xué)問點和題型