現(xiàn)代理論與方法概述新op-lect12a時(shí)間最優(yōu)控制

時(shí)間最優(yōu)控制,即快速控制，&其中，負(fù)載為單位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x為繞某慣性主軸的角位移，u為噴氣反推力形成的力矩，實(shí)際工程中u顯然受約 1 2 u1x1(0)x10,x1(tf)0,

1x10x 0x x2(0)x20x2(tf)0t0Jt t0H(x,u,t)Lx,u,tfx,u,t11x2u(t)

當(dāng)2(t 當(dāng)(t) 或utsgn2H λ 21 21 x(t)

xt

1t

x2(t)x20x(x 1 2)1x2 其相軌跡為兩族拋物線，如下圖所示。0

,

)/x1

1x2222

x2 {(x,x)/

1x2 x

x,x/x1xx

2 x,x/x1xx

2U=-U=-x2R-U=+1U=-x1R+0U=+1--122x--122x21s1s例：5&2xx2即&&5&2xx2 &5&2xx 解&2xx2

&x

x&

x

&2x

xx即0.5x&2xx20.5x&2x

x該系統(tǒng)的相平面圖如下圖所示。由圖可知，該系統(tǒng)在有些初始狀態(tài)下是穩(wěn)定的，收斂于原點(diǎn)，而在有些初始狀態(tài)下是不穩(wěn)&x

1

1x1

0x 2 ux1(0)x1(tf)

2 x2(0)x20x2(tf)0t0Jt t0H(x,u)11x22x1H 1H1 22(t)Asin(t0式中，A>0,A和0為與1, 的u(t)sgn2sgn[Asin(t0dx1

(x)2x2 111122

{(x,x)/(x1)2

2 x2 x x2{(x,x) x x2

2

x2jUj U

x/x2j12x2 x x/x2j12x2 0 +1sx21sx1-線+--上面求出的開關(guān)曲線工程實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，可用如下兩圖的非線性環(huán)節(jié)代替之，這樣得到次優(yōu)控制系統(tǒng)。其中后者實(shí)現(xiàn)起來更容易，但過渡22011-0在工程控制中，經(jīng)常需考慮消耗的能量最小，形成考慮消耗的快速控制問題。以宇宙航行器的姿態(tài)控制為例，數(shù)

&其中，x為繞某慣性主軸的角位移，u為 1 2 ux1(0)x1(tf)

1x10x 0x x2(0)x20x2(tf)00Jt0

(

這里 系數(shù)ρ＞0，ρ=0時(shí)表示不 H(x,u,)u1x2H1 1 21 21 1 當(dāng)2(t 當(dāng)(t)2ut 當(dāng)1(t2

當(dāng)2(t當(dāng)2(t由于末值狀態(tài)為零,并存在死區(qū)，開關(guān)

,

)/x1

1x2222

x2

1,

)/

2x 2x

x2

x2 {(x,

)/x

x2

x2 2

202

,

)/x1

x2

x2R{(x,x)/x1 x

x4 x

R{(x,x)/x1 x

x4 x

R{(x,x)/x1 x

x4 x

R{(x,x)/x1 x

x4 x

1130

4-1-1-

++41

-

s21sx221s由于干擾，開關(guān)在原點(diǎn)附近頻繁動(dòng)作，造成的損耗。為了克服該缺點(diǎn)，通常在原點(diǎn)附近設(shè)置不靈敏區(qū)，如下圖所示。工程上通常將其進(jìn)一步簡化如下面第二張圖所示，000uus1s1-Ax[(k1)T]G(T)x(kT)H(T)u(kT如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，控制量不受限意狀態(tài)轉(zhuǎn)移到規(guī)定的狀態(tài)（廣義原點(diǎn)）x(nT)Gn(TGnk1(T)H(T)u(kT)kLLLx1[(k1)T] 1eTx1(kT) 0 x[(k1)T 0

T 1

u(kT 1eT

TG

H

1 x(T)G(T)x(0)H(Tx(2T)G(T)x(T)H(T)u(TG2(T)x(0)G(T)H(T)u(0)H(T)u(T 進(jìn)而 x(T)G1(T)H(T)u(Txx1(0)G1(T)H(T)u(0)G2(T)H(T)ux T

TeTe2T

u(0)

x(T

TeT

TeT

T

e2T

x(T

eT

T