2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課2第三章圓錐曲線的方程高頻考題實(shí)戰(zhàn)Word版含解析

2第三章圓錐曲線的方程高頻考題實(shí)戰(zhàn)目錄高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線的定義 1高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 4高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 8高頻考點(diǎn)四：離心率問(wèn)題 11高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的最值問(wèn)題 15高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題 19高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問(wèn)題 23高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問(wèn)題 27高頻考點(diǎn)九：面積問(wèn)題 31高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題 37高頻考點(diǎn)十一：圓錐曲線中的向量問(wèn)題 43高頻考點(diǎn)一：圓錐曲線的定義1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在一個(gè)平面上，設(shè)、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足P到的距離與P到的距離差為，即，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）．A．一條線段 B．一條射線 C．一個(gè)橢圓 D．雙曲線的一支【答案】B【詳解】依題意，、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條射線.如圖所示，在線段的延長(zhǎng)線上.故選：B2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)圓與圓和圓都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．圓C．拋物線 D．雙曲線【答案】A【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為M，半徑為r，圓與圓的圓心分別為和圓，易得圓和圓的半徑分別為1和2，由兩圓外切的充要條件，得，．∴，又，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支．故選：A3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若是雙曲線上一點(diǎn)，則到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為_(kāi)_____.【答案】【詳解】由題意得：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由雙曲線定義知：，則.故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_____．【答案】【詳解】橢圓方程為：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且可得，即又由橢圓的定義：解得：點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．【答案】5【詳解】由題意，知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故的長(zhǎng)度等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，所以,故答案為：56．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，若，則______.【答案】4【詳解】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，.故答案為：4.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則______．【答案】11【詳解】由橢圓定義，，，，故，又，故．故答案為：118．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知定圓，點(diǎn)A是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，若線段PA的中垂線交直線PM于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線；⑥一個(gè)點(diǎn)．其中所有可能的結(jié)果有______個(gè)．【答案】4【詳解】當(dāng)點(diǎn)A在圓M外時(shí)，連接QA，因點(diǎn)Q在線段PA的中垂線上，如圖，則，有，因此點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)M，A為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線；當(dāng)點(diǎn)A在圓M內(nèi)（除圓心M外）時(shí)，連接QA，因點(diǎn)Q在線段PA的中垂線上，如圖，則，有，因此點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)M，A為兩焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；當(dāng)點(diǎn)A與圓心M重合時(shí)，有PM與PA重合，則線段PA的中垂線與PM交點(diǎn)Q是線段PM中點(diǎn)，即，因此點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓；當(dāng)點(diǎn)A在圓M上時(shí)，圓M上點(diǎn)P與A不重合，弦PA的中垂線過(guò)圓心M，即線段PA的中垂線與PM交點(diǎn)Q是點(diǎn)M，因此點(diǎn)Q的軌跡是點(diǎn)M，所以所有可能的結(jié)果有4個(gè).故答案為：4高頻考點(diǎn)二：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則解得故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是________.【答案】【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，依題意，橢圓短半軸，則，所以橢圓的方程為.故答案為：3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)方程①；②．其中表示橢圓的方程是______．【答案】①【詳解】對(duì)于①，方程表示平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡，因?yàn)榕c之間的距離為6，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，所以方程①表示橢圓的方程，對(duì)于②，方程表示平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離之和等于2的點(diǎn)的軌跡，由于與之間的距離為2，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段，所以方程②表示的不是橢圓方程，故答案為：①4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的雙曲線的方程是______.【答案】【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)镻、Q兩點(diǎn)在雙曲線上，所以解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．【答案】(1)(2)（1）由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的定義知，，即．又c＝2，所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)橢圓的方程為（，，且）．因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以代入橢圓的方程得，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2022·新疆·新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末（文））求適合下列條件的圓錐曲線方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓方程.(2)焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線.【答案】(1)；(2).（1）根據(jù)題意可得，橢圓長(zhǎng)軸在x軸上，且，所以，所以橢圓方程為.（2）根據(jù)題意可得，雙曲線實(shí)軸在x軸上，設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)準(zhǔn)線方程是；(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn)；(3)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，.【答案】(1)(2)(3)或（1）準(zhǔn)線方程為，所以?huà)佄锞€方程開(kāi)口向上，且，得，所以?huà)佄锞€方程是；（2）雙曲線方程，左頂點(diǎn)為，所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)為，拋物線的開(kāi)口向左，，，所以?huà)佄锞€方程是；（3）設(shè)拋物線方程，，當(dāng)時(shí)，，，即，解得：或，拋物線方程為或；設(shè)拋物線方程，，當(dāng)時(shí)，，，解得：或，拋物線方程為或；綜上可知，拋物線方程為或.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．【答案】(1)或(2)或（1）當(dāng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)，將點(diǎn)代入，得，即所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)，將點(diǎn)代入，得，即所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）令，得；令，得所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為或．當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．高頻考點(diǎn)三：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題1．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A．為銳角三角形 B．為鈍角三角形C．為直角三角形 D．，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形【答案】A【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以為銳角，所以為銳角三角形.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，則，因?yàn)?，且，所以，，由題，因?yàn)?，則，所以為最小角，故，所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是?，過(guò)的弦AB與其右支交于A?B兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可得，則的周長(zhǎng)為.故選：C．4．（多選）（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，則（）A．的周長(zhǎng)為4B．的周長(zhǎng)為8C．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1D．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為3【答案】BC【詳解】由題意，橢圓，可得，則，則的周長(zhǎng)為，又由橢圓的幾何性質(zhì)，可得橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為.故選：BC5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：橢圓，所以，即、，直線過(guò)左焦點(diǎn)，所以，，，所以；故答案為：6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，M是橢圓上一點(diǎn)，且，N是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】4【詳解】依題意作上圖，因?yàn)镹是的中點(diǎn)，所以O(shè)N是邊的中位線，即，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，，；故答案為：4.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線上一點(diǎn)，若，則______．【答案】0【詳解】由題意得，，聯(lián)立，因此，則．故答案為：0.高頻考點(diǎn)四：離心率問(wèn)題1．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（）A．或 B． C． D．或【答案】A【詳解】是2和8的等比中項(xiàng)，或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示橢圓，，離心率為，當(dāng)時(shí)，方程為，表示雙曲線，，離心率為，故選：A2．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題可知，即，所以橢圓的離心率.故選：A.3．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，解得：，，因?yàn)?，所以，即，亦即，所以．故選：A．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．5．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知圓與x軸的交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線l：上的任意一點(diǎn)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，不妨令，，則，P是直線l上的點(diǎn)，P到A，B兩點(diǎn)距離之和的最小值為B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與A的距離．設(shè)，可得，解得，所以，則，此時(shí)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，所以a的最小值為，橢圓的離心率的最大值為，所以橢圓C的離心率e的取值范圍為．故選：B6．（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與雙曲線右支交兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意可知，過(guò)的直線斜率存在，中點(diǎn)為，又又在中，由余弦定理整理得：且，所以是等腰直角三角形.設(shè)，則，在中，由勾股定理得：由雙曲線定義可知：由雙曲線定義可知：且整理得：在中，，，由余弦定理可得：代入計(jì)算得：離心率e＝故選：A.7．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，若過(guò)點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率取值范圍為（）A． B． C． D．以上選項(xiàng)均不正確【答案】D【詳解】設(shè)切線方程是，由得，顯然時(shí)，所得直線不是雙曲線的切線，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實(shí)根，所以，，則（為雙曲線的半焦距），，即，代入方程，得，此時(shí)，綜上，的范圍是．故選：D．高頻考點(diǎn)五：圓錐曲線中的最值問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點(diǎn)，在中可得：①，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，在中可得：②，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A．28 B．16 C．12 D．9【答案】B【詳解】由橢圓可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為，故選：B.3．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．7 D．8【答案】A【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知，∴∴.故選：A4．（多選）（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．的最小值為1 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】AC【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，作出圖象，對(duì)選項(xiàng)A：由拋物線的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：注意到F是定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可知：的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)CD：過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由拋物線定義可知，故，的最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，故最小值為4，從而選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.5．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：1的短軸長(zhǎng)為焦距為、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【詳解】根據(jù)條件可得故則根據(jù)橢圓定義可知方法一當(dāng)即在橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，取到等號(hào)，的最小值為.方法二設(shè)則令，，又．的最小值為故答案為：16．（2022·湖北·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)N作直線OM的垂線與x軸交于點(diǎn)P，則___________.【答案】3【詳解】依題意，設(shè)，由，得N為的中點(diǎn)且，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，由拋物線的定義易知，故.故答案為：37．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為_(kāi)_____；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】

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【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，連接，，，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，即的最小值為13，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，則直線為，將代入橢圓得，此時(shí)；若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，綜上所述，的最大值為，故答案為：2．（2022·陜西·定邊縣第四中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（0，-2）和F2（0，2），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及|AB|.【答案】(1)(2)中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長(zhǎng)（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為和，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，.所以.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，AB線段的中點(diǎn)為，由得，所以，所以，，所以弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.3．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).（1）設(shè)，則，兩式相減可得，，而，則有，又直線斜率，因此所以直線的斜率.（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，，，，因四邊形為平行四邊形，即，則點(diǎn)，而，即，又點(diǎn)P在橢圓上，則，化簡(jiǎn)得，滿(mǎn)足，于是得，，，則，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，得點(diǎn)或，若點(diǎn)，點(diǎn)M，N必在直線上，由得，則，若點(diǎn)，同理可得，綜上，的取值范圍為．4．（2022·全國(guó)·高二期末）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).【答案】（1）；（2）8.【詳解】（1）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，，所以，，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）聯(lián)立方程，消整理可得，設(shè)，，則，，所以5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線（為常數(shù)，）的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率為，求.【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)闄E圓的右焦為，所以，所以，即，所以?huà)佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)解：由（1）可知，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，設(shè)，所以,所以.6．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.高頻考點(diǎn)七：中點(diǎn)弦問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知、為橢圓上兩點(diǎn)，為弦中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若兩點(diǎn)連線斜率為2，則兩點(diǎn)連線斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】?jī)牲c(diǎn)連線斜率為2，設(shè)直線方程，，聯(lián)立得，，則，，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，弦中點(diǎn)，所以?xún)牲c(diǎn)連線斜率為.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高二）已知P，Q為曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，所以．此時(shí)直線方程為，，代入雙曲線方程有：，整理得，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，又，是中點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．故選：C．3．（2022·上海市行知中學(xué)高二期中）已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為_(kāi)_____.【答案】##【詳解】由題意，設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以.又.于是，即所求直線的斜率為.故答案為：.4．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則線段AB的長(zhǎng)度為_(kāi)______．【答案】【詳解】解：依題意顯然直線的斜率存在，設(shè)直線為，，，由，消去整理得當(dāng)時(shí)，顯然不成立．當(dāng)時(shí)，，又得，解得，當(dāng)時(shí)直線，又焦點(diǎn)滿(mǎn)足直線．所以，又，．故答案為：5．（2022·云南·高二期末）已知橢圓，直線經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為1，求面積的最大值.【答案】(1)(2)最大值為1(1)因?yàn)橹本€與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為（0，1），所以，，，故橢圓C的方程為.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)，的面積為.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，.因?yàn)?，所以AB的中點(diǎn)為.因?yàn)椋?因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB的距離，，所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由解得，，也滿(mǎn)足，所以.綜上所述，面積的最大值為1.6．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線，在軸的上方交雙曲線于點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于A、兩點(diǎn)，若A、中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線的方程.【答案】(1)(2)(1)在直角三角形中,因?yàn)樗杂?解得.由雙曲線的定義可知：，∴,所以雙曲線C的方程是.(2)由題可知，直線的斜率存在，設(shè)：，，∵A、B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴聯(lián)立l與C，，整理得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以且，解得且，，化簡(jiǎn)為，解得或（舍），所以的方程為：7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程；(3)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．【答案】(1)(2)x＝2或(3)（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)，所以?huà)佄锞€的焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，所以?huà)佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，直線方程為由得，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，所以直線方程為綜上，過(guò)點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程為和；（3）設(shè)點(diǎn)，直線斜率為點(diǎn)在拋物線上，所以所以，即，所以直線方程為經(jīng)檢驗(yàn)，直線符合題意.高頻考點(diǎn)八：軌跡方程問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓，點(diǎn)，動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)F，且與圓E內(nèi)切于點(diǎn)M，則動(dòng)圓P的圓心P的軌跡方程為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：圓的方程為，圓心為，半徑．設(shè)動(dòng)圓圓心為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，，的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，其中，得，而，，故所求軌跡方程為．故答案為：2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則點(diǎn)P的軌跡是______．【答案】拋物線【詳解】由得，等式左邊表示點(diǎn)和點(diǎn)的距離，等式的右邊表示點(diǎn)到直線的距離.整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等，其軌跡為拋物線.故答案為：拋物線3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．【答案】【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得，，，半徑，，半徑，當(dāng)⊙M與外切時(shí)，有，①當(dāng)⊙M與內(nèi)切時(shí)，有，②將①②兩式的兩邊分別相加，得，由橢圓的定義知，M的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則有a＝6，c＝3，．從而所求橢圓方程為．4．（2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.記點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的方程；【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，（1）由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且則可得，，所以，所以的方程為5．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；【答案】(1)(1)解：由題意得，，圓的半徑為4，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)M，∴，∴，又，∴的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸，焦距，故短半軸，∴曲線C的方程為；6．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓M：上動(dòng)點(diǎn)Q，若，線段QN的中垂線與直線QM交點(diǎn)為P．(1)求交點(diǎn)P的軌跡C的方程；【答案】(1)（1）由題知，所以由雙曲線定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，其中，得曲線C的方程7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定點(diǎn)F（3，0）和動(dòng)點(diǎn)P（x，y），H為PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足.求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】【詳解】如圖，取連接，，，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，，，所以點(diǎn)的軌跡方程為：.8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程；【答案】(1)(1)解：由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：；高頻考點(diǎn)九：面積問(wèn)題1．（2022·重慶一中高一期末）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，且滿(mǎn)足，則的面積為_(kāi)__________.【答案】1【詳解】由題意可得，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以的面積為，故答案為：12．（2022·全國(guó)·高二期中）已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若中有一個(gè)角的大小為，則的面積為_(kāi)_____．【答案】或##或【詳解】由橢圓方程知：，，則；若，則；若，設(shè)，則，由余弦定理得：，解得：，；同理可得：當(dāng)時(shí)，.綜上所述：的面積為或.故答案為：或.3．（2022·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交橢圓C于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)分別記和的面積為和，求的最大值．【答案】(1)(2)（1）設(shè)，則，的面積為，解得，在中，，由余弦定理，即，所以，則，橢圓C的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，所以，所以，同理可求得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.4．（2022·廣東·信宜市第二中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，焦距為，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)(1)解：由，得，又，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：由，得，又由，得，可得：，即，則的面積.5．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，且點(diǎn)在C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程．【答案】(1)；(2)或.(1)∵短軸長(zhǎng)為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由(1)知，∵當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線l的方程為：或.6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距為，設(shè)該雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，以點(diǎn)A，B和虛軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．(1)當(dāng)S最大時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)A的直線l1與右支交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B的直線l2與左支交于點(diǎn)D，設(shè)直線的斜率分別為，且，設(shè)，的面積分別為，，的值．【答案】(1)(2)(1)設(shè)雙曲線虛軸頂點(diǎn)分別為C，D，由題意知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”，∴S最大時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)∵，而，∴，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴直線方程為，此時(shí)，∴．7．（2022·江西·二模（理））設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且滿(mǎn)足．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的兩直線的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于P．Q兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)依題意，點(diǎn)是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3，所以，所以?huà)佄锞€方程為(2)由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得將t用代換，可得，由，可得，化簡(jiǎn)可得，兩邊平方得，所以，解得，又由且，可得或，可知所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是高頻考點(diǎn)十：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題1．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，問(wèn)直線AD是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，定點(diǎn)（1）由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時(shí)直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y＝0，也過(guò)點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過(guò)點(diǎn)（1，0）．2．（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為，點(diǎn)M為橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)（1）解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）解：由（1）知，，所以，即，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此時(shí)，不合題意，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，所以直線的方程為．3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知拋物線：，直線，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)兩條直線與拋物線相切時(shí)，兩切點(diǎn)間的距離為4．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，分別與拋物線依次交于點(diǎn)E，F(xiàn)和G，H，直線EH，F(xiàn)G相交于點(diǎn)．若直線，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)是定點(diǎn)，坐標(biāo)為.（1）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為：，由消去y，得，，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，，∵，∴，所以，解得，∴切點(diǎn)為，又∵兩切點(diǎn)間的距離為4，∴，即，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，：，則，，聯(lián)立，消去得，則，，∵直線，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴直線也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴交點(diǎn)在軸上，∴直線的方程為，令，得，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為定點(diǎn)．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，且，直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，直線AM與BN交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在定直線上