高考數(shù)學(xué)易錯點整理361(例題+評析+鞏固)2

專題五解析幾何（一）對解析幾何的學(xué)科地位認(rèn)識模糊，面對“知識交匯點”命題應(yīng)用意識不強解析幾何命題具有較強的“融合性”，不少看似不是解析幾何問題的命題，實際上蘊含著解析幾何的思想方法.如：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選考題，也是解幾題；線性規(guī)劃試題，內(nèi)涵本質(zhì)就是解幾題；平面向量問題、立幾中空間坐標(biāo)系下的坐標(biāo)法、向量法，本質(zhì)上也是解析幾何.還有融合在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等試題中進(jìn)行考查的許多試題，或體現(xiàn)解幾知識在解決非解幾題中的應(yīng)用，或體現(xiàn)為解幾思想方法在其它分支中的滲透.【例1】（2020·福建高三期末）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．【解析】由題,,因為是偶函數(shù)且為關(guān)于的多項式,故其奇次項的系數(shù).故,.又,,曲線在點處的切線方程為,即.選：C【小結(jié)】本題主要考查根據(jù)奇偶性求參數(shù)值以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的方法.首先求導(dǎo)得,根據(jù)是偶函數(shù)求解,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在點處的切線方程即可.【例2】（2020·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三）已知，滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值之差等于（）A．15 B． C．5 D．【解析】根據(jù)題意,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義知,向上平移直線經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)有最小值,向下平移直線經(jīng)過點C時,目標(biāo)函數(shù)有最大值,聯(lián)立方程,解得,即點A為，聯(lián)立方程,解得,即點C為,所以目標(biāo)函數(shù),所以目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值之差等于.故選:A【例3】【四川省2018屆沖刺演練（一）】設(shè)x，y滿足約束條件y≤ax+y≥12x?y≤0，若z=x+y的最大值為6，則A.23B.2C.4D.【解析】作出x，y滿足約束條件&y≤a&x+y≥1&2x?y≤0表示的平面區(qū)域，由&y=a&2x?y=0解得A（a2，a），直線z=x+y，經(jīng)過交點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值6，可得a2+a=6，解得a=4．則yx+a【小結(jié)】【例2】雖歸屬不等式中的線性規(guī)劃問題，但本質(zhì)上是直線方程的內(nèi)容.主要錯誤是誤判取得最優(yōu)解的條件.究其原因主要為：一是追求教學(xué)的所謂“短、平、快”，把線性規(guī)劃試題的解題步驟簡單地總結(jié)為“畫線、定域、求交點，代入、求值、選最值”，倘若面對【例3】，學(xué)生往往束手無策；二是沒有將其納入直線方程系統(tǒng)中進(jìn)行教學(xué)，忽視直線知識的運用，使學(xué)生未能充分運用直線方程系數(shù)的幾何意義進(jìn)行最優(yōu)解的分析.【例4】（2020·四川瀘縣五中高三）已知函數(shù)fx=（1）當(dāng)m=1時，解不等式fx（2）若不等式fx<3?x對任意x∈0,1【解析】（1）當(dāng)m=1時，fx=x?1+2x?1，所以fx=（2）由題意，fx<3?x對任意的x∈0,1恒成立，即x?m<3?x?2x?1對任意的x∈所以函數(shù)y=x?m的圖象應(yīng)該恒在gx的下方，數(shù)形結(jié)合可得【小結(jié)】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．（二）讀題、審題、析題過程中的作圖意識不強，解題過程中識圖、用圖能力有待提高強化作圖意識，有時只要把握住圖形的主要特征畫出示意圖形、有時科學(xué)規(guī)范地畫出比較準(zhǔn)確的圖形是研究幾何問題的基礎(chǔ)，作圖的過程是讀題、審題理解題意與探究解題思路的過程．【例5】（2020·天津高三期末）已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()A．2 B．6 C．4 D．12【解析】設(shè)另一焦點為，由題在BC邊上，所以的周長，故選：C【小結(jié)】此題考查橢圓的幾何意義，橢圓上的點到兩焦點距離之和為定值，求解中要多觀察圖形的幾何特征，將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，簡化計算.再由根據(jù)橢圓定義，橢圓上的點到兩焦點距離之和為長軸長即可得解.【例6】【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；【解析】圓的方程可化為的圓心為，半徑為4；動點C，D落在圓上，滿足；（點在圓上，根據(jù)圓的定義有）等腰三角形中，；；由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：（）．（根據(jù)定義知點的軌跡是橢圓）【小結(jié)】由于作圖潦草、沒有使用尺規(guī)作圖、不夠精確，導(dǎo)致難以發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵的幾何特征信息．識圖、用圖能力差，沒有從圖形中發(fā)現(xiàn)，以及．究其原因在于課堂教學(xué)作圖環(huán)節(jié)缺失，教師多用手工繪制草圖、缺乏對圖形中幾何特征與數(shù)量關(guān)系的細(xì)致量化分析．建議教師注意使用尺規(guī)規(guī)范作圖，示范指導(dǎo)如何結(jié)合作圖過程讀題、理解題意，如何將試題信息匯集于圖，如何用圖思考、發(fā)現(xiàn)問題解決的方法，并要求學(xué)生當(dāng)堂作圖練習(xí)．要向?qū)W生強調(diào)全國卷盡量不給圖的特點，所給的練習(xí)，不給圖形，要求學(xué)生通過審題自己作圖，結(jié)合圖形從整體角度理解題意尋找解題思路．（三）解析幾何的本質(zhì)意識和利用圓錐曲線定義研究問題的意識不強解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題.由于試題本身就是幾何問題，研究問題的方法當(dāng)然可以在幾何方法和代數(shù)方法中合理地選擇.例如：定義是數(shù)學(xué)問題研究的起點，圓錐曲線的定義蘊含了豐富的幾何內(nèi)涵，對問題的理解與思考具有深刻的意義，所以運用定義中蘊含的幾何特征進(jìn)行解題，經(jīng)常是有效的解題思路．【例7】（2020·陜西高三月考）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，準(zhǔn)線交軸于，若最小，則（）A．4 B．8 C． D．【解析】據(jù)題意，不妨設(shè)點在第一象限，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.由題意可得.因為，所以，若最小，則最小，即最小，由題知當(dāng)與拋物線相切時，最小.設(shè)直線的方程為，則.與聯(lián)立，得消去得，由，得，所以，點坐標(biāo)為，所以，此時四邊形是正方形，軸，所以.故選：D【小結(jié)】1.拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化.2.研究圓錐曲線問題時，注意養(yǎng)成優(yōu)先站在“觀察發(fā)現(xiàn)動點運動變化過程中不變的幾何關(guān)系”的角度探究問題的意識；養(yǎng)成“定義”的應(yīng)用意識，注意利用圓錐曲線的定義與幾何圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，選擇簡便的方法實現(xiàn)幾何條件與數(shù)量關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化．（四）幾何條件與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化欠靈活解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問題．2017年起，選考部分刪除《平面幾何選講》，并不意味著消弱這方面的要求，而是完全可以在三角、解幾、立幾、向量等試題中實現(xiàn)對平幾的考查功能.在解幾試題中，對題目所給的幾何條件何時代數(shù)化、如何代數(shù)化（坐標(biāo)化）很值得研究，充分運用幾何直觀、使用幾何推理，可以有效減少運算的繁雜程度．【例8】【2018年全國卷Ⅲ理】直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓x?22+y2?，??6B.4【解析】∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，∴A?2,0,B(0,?2),則AB=22，∵點P在圓（x?2）2+y2=2上，∴【小結(jié)】本題呈現(xiàn)多的是“數(shù)量關(guān)系”，但結(jié)合幾何圖形可推斷知道，此三角形的“底邊長”確定，面積的最大（小）值取決于三角形的“高”，故需求得圓心到直線的距離.【例9】（2020·浙江高三期末）已知雙曲線：的右焦點關(guān)于直線的對稱點在直線上，則該雙曲線的離心率為______.【解析】如圖：，由已知點到漸近線的距離，由對稱性可得，由題得，所以，即，整理得，故【小結(jié)】本題考查雙曲線的離心率的求解，關(guān)鍵是要根據(jù)題目條件找到之間的等量關(guān)系.本題需先求出點到漸近線的距離，在利用，得，代入數(shù)據(jù)整理計算即可得雙曲線的離心率.但凡兩直線上的交點或者動點問題，代數(shù)上多結(jié)合幾何條件或設(shè)點或列方程，進(jìn)而用方程思想求解問題，而求離心率，多是從幾何圖形中抽象相關(guān)性質(zhì)并轉(zhuǎn)化為有關(guān)的等量關(guān)系或是方程（組）．建議必須依題構(gòu)圖，結(jié)合曲線的性質(zhì)從題意與圖形中抽象出關(guān)鍵的幾何特征，并以簡潔的代數(shù)形式加以呈現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)化為待求目標(biāo)關(guān)系式進(jìn)行變形演算．（五）缺乏對算法、算理、算式的分析，靈活地選擇算法以簡化運算的意識有待加強【例10】（2020·重慶一中高三期末）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則的最大值為A．2 B．3 C．6 D．8【解析】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2，∴的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6.【例11】（2020·云南昆明一中高三期末）已知是雙曲線右支上的一點，分別是圓和上的點，則的最大值是___________.【解析】雙曲線,是雙曲線右支上的一點所以雙曲線的兩個焦點分別為,,則這兩點剛好是兩圓和的圓心,則兩個圓的半徑分別為，所以由幾何性質(zhì)可知同理所以最大值即所以的最大值為.故答案為:【小結(jié)】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的應(yīng)用,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點與圓距離的最值問題.本題應(yīng)根據(jù)雙曲線方程可知,雙曲線的兩個焦點剛好是兩個圓的圓心.若取最大值,則只需即可.由雙曲線定義及點與圓的位置關(guān)系即可求解.建議不能只是談思路方法，應(yīng)通過課堂師生共同演算的體驗，增加實踐經(jīng)驗，進(jìn)行算法算理的指導(dǎo)．在涉及求有關(guān)過一點的兩條斜率不同的直線的交點坐標(biāo)或弦長問題時，往往只需計算其中的一類交點坐標(biāo)或弦長，另一類只需等價代換結(jié)果中的參數(shù)即可．【例12】（2020·湖南長沙一中高三月考）已知橢圓的離心率為，與軸交于點，，過軸上一點引軸的垂線，交橢圓于點，，當(dāng)與橢圓右焦點重合時，．（1）求橢圓的方程；關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，獲取更多干貨?。?）設(shè)直線與直線交于點，是否存在定點和，使為定值．若存在，求、點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題知：，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)點坐標(biāo)為，，，不妨設(shè)，．則，，三點共線，，①；同理：，②；得：，又在橢圓上，，代入整理得：．即點的軌跡為雙曲線，取、為該雙曲線的左、右焦點．即，．此時為定值，故為，．【小結(jié)】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的定值問題．本題解法是求出動點的軌跡方程，由軌跡方程確定圖形為雙曲線，由雙曲線定義可得結(jié)論．在第（1）中是橢圓的通徑，由此已知條件可表示為的兩個等式，結(jié)合可求得，得橢圓方程；在第（2）中設(shè)點坐標(biāo)為，，，不妨設(shè)，．在直線可得的關(guān)系，同理由在直線又得一關(guān)系式，消去可得點軌跡方程，軌跡是雙曲線，由雙曲線定義可作答．（六）缺乏參數(shù)的選擇與解題過程中的優(yōu)化意識【例13】（2020·湖南高三期末）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為；（1）求橢圓的方程；（2）過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點（點在第二象限），是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，若，求證：直線的斜率為定值.【解析】（1）由題意可得：且又得：，，，橢圓的方程為（2）證明：由（1）可得：直線：，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消可得設(shè)，，則，則，即化簡可得，或當(dāng)時，直線的方程為則直線經(jīng)過點，不滿足題意，，即直線的斜率為定值【小結(jié)】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解、橢圓中的定值問題的求解.對于定值問題，關(guān)鍵是能夠通過已知條件建立起與參數(shù)有關(guān)的等量關(guān)系式，通過整理化簡將關(guān)系式變?yōu)楹愕仁?，或通過消元得到所求定值.【方法策略】（一）立足概念，返璞歸真-----重視挖掘圖形的幾何特征，善于運用圓錐曲線的定義數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，把定量的計算與定性的分析（圖形的幾何性質(zhì)）有機結(jié)合，可簡化計算量．圓錐曲線的定義是根本，利用定義解題是高考的一個重要命題點．圓錐曲線的定義反映了它們的圖形特點，是畫圖的依據(jù)和基礎(chǔ)，也是問題研究的基礎(chǔ)，正確利用定義可以使問題的解決更加靈活．已知圓錐曲線上的點以及焦點，應(yīng)考慮使用圓錐曲線的定義．【例14】【2015重慶理21】如圖所示，橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，且．（1）若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若，求橢圓的離心率．【解析】（1）由橢圓的定義，故．設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，因此，即，從而．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖所示，連接，由橢圓的定義，，，從而由，有．又由，，知，因此，，得．從而．由，知，因此．【小結(jié)】1．定義是事物本質(zhì)屬性的概括和反映，圓錐曲線許多性質(zhì)都是由定義派生出來的．對某些圓錐曲線問題，采用“回歸定義”的策略，把定量的計算和定性的分析有機地結(jié)合起來，則往往能獲得題目所固有的本質(zhì)屬性，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運算、靈活解題的目的．2．求圓錐曲線方程常用的方法有直接法、定義法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等．用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，要“先定型，后計算”．所謂“定型”，是指確定類型，也就是確定橢圓、雙曲線的焦點所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸，拋物線的焦點是在x軸的正半軸、負(fù)半軸，還是y軸的正半軸、負(fù)半軸，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；“計算”就是指運用方程思想、利用待定系數(shù)法求出方程中的a2、b2、p的值（基本量法），最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．求解離心率的時候，應(yīng)該尋求三角形中的邊角之間的關(guān)系，從而建立a、c的齊次方程（求值）或者齊次不等式（求范圍）．（二）利用圖形，巧妙轉(zhuǎn)化------實現(xiàn)幾何條件代數(shù)化．解析幾何就是用代數(shù)方法來研究幾何問題，即：幾何問題→代數(shù)問題→代數(shù)結(jié)論→幾何結(jié)論．所以，它的兩大任務(wù)是：（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，（2）研究代數(shù)問題，得出代數(shù)結(jié)論．怎樣將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題？（1）要主動去理解幾何對象的本質(zhì)特征；（2）善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來；（3）恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式，這點是關(guān)鍵：一要研究具體的幾何對象具有什么樣的幾何特征（如果幾何特征不清楚，就不可能準(zhǔn)確將其代數(shù)化），這就要在審題上下功夫；二是選擇最簡潔的代數(shù)形式（方便后續(xù)的代數(shù)研究），這需要大局觀；（4）注意等價轉(zhuǎn)化．【例15】（2020·新疆高三月考）已知拋物線C：的焦點F，點是拋物線上一點，以M為圓心的圓與直線交于A、B兩點（A在B的上方），若，則拋物線C的方程為（）A． B． C． D．【解析】拋物線C：，其焦點，準(zhǔn)線方程，因為點是拋物線上一點，所以所在直線，設(shè)于，則，因為，所以，即整理得，所以將點代入到拋物線方程，得，，解得，所以拋物線方程為，故選：C.【小結(jié)】本題考查拋物線的定義，直線與圓的位置關(guān)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.首先應(yīng)該根據(jù)拋物線的定義，表示出，再表示出，利用，得到和之間的關(guān)系，將點坐標(biāo)，代入到拋物線中，從而解出的值，得到答案.（三）巧用平幾，事半功倍------關(guān)注平面幾何知識方法與性質(zhì)在問題轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，關(guān)注幾何圖形（特別是三角形）相關(guān)方法在運算中的應(yīng)用．解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量．?dāng)?shù)學(xué)試題中很多圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解．提高學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力——實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化，陌生問題熟悉化．例如：①沒有圖形，不妨畫個圖形，以便直觀思考；②“設(shè)—列—驗”是求軌跡的通法；③消元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)（方程），判別式，韋達(dá)定理，中點，弦長公式等要把握好；④多感悟“設(shè)—列—解”，“設(shè)”：設(shè)什么？坐標(biāo)、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量關(guān)系，“解”：解就是轉(zhuǎn)化、化簡、變形，向目標(biāo)靠攏；⑤緊扣題意，聯(lián)系圖形，數(shù)形結(jié)合；⑥一旦與自己熟悉的問題接軌立即入位．關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，獲取更多干貨！【例16】（2020·吉林高三月考）拋物線的焦點為，點、、在上，且的重心為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題意知，拋物線的焦點為，設(shè)點、、，由重心的坐標(biāo)公式得，，，設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由韋達(dá)定理得，，所以，，故，，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，得，則，得，則.不在直線上，則，此時，，則.因此，的取值范圍是.故選：A.【小結(jié)】本題考查了拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標(biāo)的計算．首先根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用、求出表示出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的方程，求出的取值范圍，再結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論．（四）強化目標(biāo)意識，尋求點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，剖析變量內(nèi)在的幾何意義，通過整體代換的思想，簡化運算過程，實現(xiàn)設(shè)而不求，簡潔明了、準(zhǔn)確解題．運算繁雜是解析幾何最突出的特點．首先，解題中要指導(dǎo)學(xué)生克服只重視思路、輕視動手運算的缺點．運算能力差是學(xué)生普遍存在的問題，不僅在解析幾何問題中要加強訓(xùn)練，在其它板塊中也要加強訓(xùn)練，只有把提高學(xué)生的運算能力貫徹于教學(xué)的過程之中，才能收到較好的效果．其次，要培養(yǎng)學(xué)生運算的求簡意識，尤其是“設(shè)而不求”，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識化難為易、化繁為簡的作用．譬如圓錐曲線中的定點、定值問題，解決的基本思想從變量中尋求不變，即先用變量表示所求的量或點的坐標(biāo)，再通過推理計算，導(dǎo)出這些量或點的坐標(biāo)和變量無關(guān)．其基本策略：定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的．另外，對于某些定點問題的證明，可以先通過特殊情形探求定點坐標(biāo)，然后對一般情況進(jìn)行證明，這種方法在填空題中更為實用．【例17】【2018年理北京卷】已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，QM=λQO，QN=μ【解析】（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由y2=4xy=kx+1得k2x2+(2k?4)x+1=0．依題意Δ=(2k?4)2?4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知x1+x2=?2k?4k2，x1x2=1k2．直線PA的方程為y–2=y?2=y1?2x1?1(x?1)．令x【小結(jié)】1.本題（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=?2k?4k2，x1x2=1k2．再由QM=λQO2.定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).（五）方程思想處理求值，函數(shù)思想求解范圍和最值．【例18】（2020·浙江高三期末）已知拋物線：過點，為其焦點，過且不垂直于軸的直線交拋物線于，兩點，動點滿足的垂心為原點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：動點在定直線上，并求的最小值.【解析】（1）由題意，將點代入，即，解得，所以，拋物線的方程為.（2）解析1：（巧設(shè)直線）證明：設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，則有，可設(shè)：，即，同理：，解得，即動點在定直線：上.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.其中，分別為點和點到直線的距離.關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，獲取更多干貨！（2）解析2：（利用向量以及同構(gòu)式）證明：設(shè)：，，，聯(lián)立，可得，則有.，，又為的垂心，從而，代入化簡得：，同理：，從而可知，，是方程的兩根，所以，所以動點在定直線：上.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.其中，分別為點和點到直線的距離.【小結(jié)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力.在第（2）中應(yīng)設(shè)設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，表示出，運用基本不等式即可得到結(jié)論.2.對于最值、定值問題的處理，常采用①幾何法：利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法：建立目標(biāo)函數(shù)，再求函數(shù)的最值，確定某幾何量的值域或取值范圍，一般需要建立起方程或不等式，或利用圓錐曲線的有界性來求解．二、典型問題剖析圓的問題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線性質(zhì)（焦點、離心率、準(zhǔn)線、漸近線）；綜合性問題主要是位置關(guān)系、范圍、面積、定點、定值等.（一）離心率問題【例19】（2020·南昌市新建區(qū)第二中學(xué)高三（理））已知雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過右支上一點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若的最小值為，則雙曲線的離心率為______.【解析】由雙曲線定義知，，則，∴，所以，過作雙曲線一條漸近線的垂線垂足為，交右支于點，此時最小，且最小值為，易求焦點到漸近線的距離為，即，所以，即，，可求離心率.【小結(jié)】本題考查了雙曲線的定義以及雙曲線的幾何性質(zhì).首先利用雙曲線的定義，從而可得，利用點到直線的距離公式可得，由題意可得，進(jìn)而求出離心率.（二）定點問題----確定方程證明直線過定點的基本思想是使用一個參數(shù)表示直線方程，根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x，y的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點就是直線所過的定點；如果直線系是使用雙參數(shù)表達(dá)的，要根據(jù)其它已知條件建立兩個參數(shù)之間的關(guān)系，把雙參數(shù)直線系方程化為單參數(shù)直線系方程.【例20】（2020·云南高三）已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，是上的動點.（1）當(dāng)時，求直線的方程；（2）過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，直線與的另一個交點為，證明：直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，由得，解得：，所以.所以，所以直線的方程為：或.（2）設(shè)，則，直線的方程為：.聯(lián)立得：，解得.①當(dāng)時，直線的方程為，②當(dāng)時，直線方程為：，化簡得：，關(guān)注公眾號《品數(shù)學(xué)》，獲取更多干貨！綜上①②，可知直線恒過點.【小結(jié)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點問題，鍛煉了學(xué)生計算能力．第（1）中應(yīng)設(shè)點，利用求出，進(jìn)而可求出，利用點的坐標(biāo)求出，用斜截式可寫出直線方程；在第（2）中設(shè)，則，聯(lián)立直線與拋物線，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線的方程，可得其所過的定點．（三）定值問題----巧妙消參定值問題就是證明一個量與其中的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動點的坐標(biāo)等，這類問題的一般解法是使用變化的量表達(dá)求證目標(biāo)，通過運算求證目標(biāo)的取值與變化的量無關(guān).當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時，在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決.【例21】（2020·上海高三）已知雙曲線：的焦距為，直線（）與交于兩個不同的點、，且時直線與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.（1）求雙曲線的方程；（2）若坐標(biāo)原點在以線段為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)、分別是的左、右兩頂點，線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，求證：線段在軸上的射影長為定值.【解析】（1）當(dāng)直線與的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得，，又焦距為，則，解得，，則所求雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，由，得，則，，且，又坐標(biāo)原點在以線段為直徑的圓內(nèi)，則，即，即，即，則，即，則或，即實數(shù)的取值范圍.（3）線段在軸上的射影長是.設(shè)，由（1）得點，又點是線段的中點，則點，直線的斜率為，直線的斜率為，又，則直線的方程為，即，又直線的方程為，聯(lián)立方程，消去化簡整理，得，又，代入消去，得，即，則，即點的橫坐標(biāo)為，則.故線段在軸上的射影長為定值.（四）求最值、解范圍問題——構(gòu)造函數(shù)【例22】（2020·福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知在橢圓上，為右焦點，軸，為橢圓上的四個動點，且，交于原點.（1）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系；（2設(shè)，滿足，判斷的值是否為定值，若是，請求出此定值，并求出四邊形面積的最大值，否則說明理由.【解析】（1）直線，將直線方程化簡變形可得，因為，令，解得，所以直線過定點，而由在橢圓上，可知直線與橢圓相切或相交.（2）在橢圓上，軸，由橢圓性質(zhì)可得，則解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為，，為橢圓上的四個動點且，交于原點.所以，，當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足，因而直線的斜率一定存在.當(dāng)直線斜率存在且為0時，不滿足，所以直線的斜率一定存在且不為0.設(shè)直線的方程為.則，化簡可得，所以，因為，所以，則，整理可得，解得.由題意可知的位置等價，所以不妨設(shè)，則，則，即為定值.直線的方程為.即則點到直線的距離為因為，代入可得則由弦長公式可得所以當(dāng)時取等號.而時滿足.所以，此時故四邊形面積的最大值的最大值為4【小結(jié)】本題考查了直線過定點的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，韋達(dá)定理在求弦長公式中的應(yīng)用，橢圓中的四邊形面積問題綜合應(yīng)用，屬于難題.在第（2）中先根據(jù)條件，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.討論直線的斜率情況可知當(dāng)斜率不存在或斜率為0時不滿足.進(jìn)而設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理及等式，化簡即可求得的值，確定為定值；由點到直線距離公式求得，利用弦長公式求得，即可用表示出，由二次函數(shù)性質(zhì)求得的最大值，并根據(jù)即可求得的最大值.【例23】【浙江省衢州市五校聯(lián)盟2019屆高三上學(xué)期聯(lián)考】如圖，過拋物線y2=2px（p>0）上一點P1,1，作兩條直線分別交拋物線于點A，（1）證明：直線AB的斜率為定值，并求出該定值；（2）若直線AB在y軸上的截距b∈0,【解析】（1）由拋物線y2=2px（p>0）過點P設(shè)A(x1,y1)因為y12=x1通分整理得y1設(shè)直線AB的斜率為kAB，由y12兩式相減可化為y得kAB=y2?由于y1+y（2）設(shè)直線AB的方程為y=?12x+因為b∈0,1，所以Δ=所以AB=又點P到直線AB的距離為d=|3令f(x)=則由f'當(dāng)x∈(16,1]時，f'x<0，所以fx單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,1【小結(jié)】最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法：幾何法是根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何知識加以解決的（如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等）；代數(shù)法是建立求解目標(biāo)關(guān)于某個（或兩個）變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值（普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等）解決的.（五）探索性問題——肯定結(jié)論【例24】（2020·山東棗莊八中高三月考）如圖，點T為圓上一動點，過點T分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BA延長至點P，使得，點P的軌跡記為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若點A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點，試問在曲線C上是否存在點Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線l方程；若不存在，說明理由．【解析】（1）設(shè),則,由題意知,所以為中點,由中點坐標(biāo)公式得,即,又點在圓上,故滿足,則,所以曲線C為（2）由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,則,,因為,所以,即①聯(lián)立方程,消去得:,設(shè),,則,因為為平行四邊形,所以為,即,因為點在曲線上,故,整理得②將①代入②,得,該方程無解,故這樣的直線不存在.【例25】【安徽省合肥市2019屆高三第一次檢測】設(shè)橢圓C:?x2a2+y2b2=1(a>b>0(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)設(shè)圓O上任意一點P處的切線交橢圓C于點M，N，試判斷【答案】（1）x2【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的離心率為22知，b=c，?a=易求得A2，0，∴點2，解得a2=6b2=3(Ⅱ)當(dāng)過點P且與圓O相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為x=2，由(Ⅰ)知，OM=?2，當(dāng)過點P且與圓O相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為y=kx+∴mk2+聯(lián)立直線和橢圓的方程得x2∴1+2k∵OM=∴OM?==1+k2綜上所述，圓O上任意一點P處的切線交橢圓C于點M，N，都有在RtΔOMN中，由ΔOMP與ΔNOP相似得，OP2【小結(jié)】1.探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.,（1）當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論.（2）當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑.2.探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.一般步驟為：（1）假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點等)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；（2）列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）若方程（組）有實數(shù)解，則曲線（或直線、點等）存在，否則不存在.【鞏固提升】一、單選題1．（2020·海南華僑中學(xué)高三期末）已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．【解析】因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.2．（2020·南昌市新建區(qū)第二中學(xué)高三）已知圓：，直線：與軸，軸分別交于，兩點.設(shè)圓上任意一點到直線的距離為，若取最大值時，的面積（）A． B．8 C．6 D．【解析】直線：過定點，圓：的圓心，半徑，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，∵，∴，即直線方程為，則，，，到直線的距離為，則到直線的最大距離，此時的面積，故選：B.3．（2020·福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y≤0x?y≤0x2+y2≤r2(rA．－1B．－52+17C．【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，由題意，知14πr2=π，解得r=2．因為目標(biāo)函數(shù)z=x+y+1x+3=1+y?2x+3表示區(qū)域內(nèi)上的點與點P(?3,2)連線的斜率加上1，由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點與點P的連線與圓相切時斜率最小．設(shè)切線方程為y?2=k(x+3)，即二、填空題4．（2020·四川省瀘縣第二中學(xué)高三月考）橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，點是橢圓和拋物線的一個公共點，點滿足，則的離心率為__________．【解析】如圖，由拋物線E：y2=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），又Q（0，1）且QF⊥QP，∴QP所在直線斜率為1，則QP所在直線方程為y=x+1，聯(lián)立，解得P（1，2），則2a==，∴a=，則e=．故答案為．5．（2020·山東高三期末）已知P為雙曲線C：右支上一點，，分別為C的左、右焦點，且線段，分別為C的實軸與虛軸.若，，成等比數(shù)列，則______.【解析】，，，，，成等比數(shù)列，，解得，6．（2020·四川高三期末）已知拋物線的焦點為F，定點．若射線FA與拋物線C相交于點M（點M在F、A中間），與拋物線C的準(zhǔn)線交于點N，則________.【解析】如圖所示，因為拋物線方程為，所以焦點,準(zhǔn)線方程為因為定點，所以直線FA的斜率，過作于點，在中，，所以,所以,因為,所以三、解答題7．（2020·廣西高三）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為（0,1）（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l1：y＝﹣1相交于點Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意，，所以p＝2，∴拋物線C的方程為：x2＝4y；（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），由直線y＝kx+m與拋物線C只有一個公共點，可得，解得m＝﹣k2，代入到（*）式得x＝2k，∴P（2k,k2），當(dāng)y＝﹣1時，代入到y(tǒng)＝kx﹣k2，得Q（），∴以PQ為直徑的圓的方程為：，整理得：，若圓恒過定點，則，解得，∴存在點N（0,1），使得以PQ為直徑的圓恒過點N．8．（2020·山西高三月考）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．【解析】（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為．令x=0，得點M的縱坐標(biāo)為．同理得點N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．9．（2020·南京師范大學(xué)附屬揚子中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓（）的離心率為，橢圓上一點到橢圓兩焦點距離之和為，如圖，為坐標(biāo)原點，平行與的直線l交橢圓于不同的兩點、．（1）求橢圓方程；（2）當(dāng)在第一象限時，直線，交x軸于，，若PE＝PF，求點的坐標(biāo)．【解析】（1）因為橢圓上一點到橢圓兩焦點距離之和為，所以，即，又橢圓的離心率為，所以，所以，，所以橢圓方程為.（2）設(shè)點，所以即，則，設(shè)直線：，聯(lián)立，整理得，所以因為PE＝PF，所以，，所以，化簡得，把代入上式，化簡得，因為，所以，因此點的坐標(biāo)為.10．（2020·江蘇高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:(>>0)的右焦點為F(1，0)，且過點(1，)，過點F且不與軸重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且滿足.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求直線AB的方程.【解析】(1)由題意可知，=1，且又因為，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)若直線AB的斜率不存在，則易得，，∴，得P(，0)，顯然點P不在橢圓上，舍去；因此設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，整理得，∴，則由，得將P點坐示代入橢圓C的方程，得(*)；將代入等式(*)得，∴因此所求直線AB的方程為.11．（2020·湖南瀏陽一中高三月考）已知橢圓經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為3．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點．【解析】（1）由題意知，，，，解得，，．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）顯然直線，的斜率存在．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，解得，，所以，．由，垂直，可得直線的方程為．用替換前式中的k，可得，．則，，所以，故直線MN恒過定點．12．（2019·福建仙游一中高三月考）已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.【解析】（1）因為橢圓的離心率,所以,即.因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因為直線的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.由消去,得,所以設(shè),則.所以.所以.①因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點綜上可知,以為直徑的圓過定點.13．（2020·安徽六安一中高三月考（理））已知是橢圓的左、右焦點，離心率為，是平面內(nèi)兩點，滿足，線段的中點在橢圓上，周長為12.（1）求橢圓的方程；（2）若與圓相切的直線與橢圓交于，求（其中為坐標(biāo)原點）的取值范圍.【解析】（1）連接，，，是線段的中點，是線段的中點，由橢圓的定義知，，周長為，由離心率為知，，解得，，橢圓的方程為.()（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，代入橢圓方程解得，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切知，，，將直線方程代入橢圓的方程整理得，，設(shè)，則，，，，，，，，，綜上所述，的取值范圍為.14．（2020·黑龍江哈九中高三期末）已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標(biāo)原點，是等腰直角三角形，且周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求面積的最大值.【解析】（1）在中，，，則，因為是等腰直角三角形，且周長為，所以，，，得，，因此橢圓的方程為.（2）由（1）知，，則直線的斜率，因為直線與垂直，所以可設(shè)直線的方程為，代入，得，則，解得，所以.設(shè)，，則，，.又點到直線的距離，所以，.令，則，令，則或，令，則或.因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因為，，，所以當(dāng)時，取得最大值，，所以，因此面積的最大值是.15．（2020·福建高三期末）已知拋物線的焦點為，在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程及的值；（2）若過點的直線與相交于兩點，為的中點，是坐標(biāo)原點，且，求直線的方程.【解析】（1），拋物線的方程為：將代入得（2）設(shè)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去得，，得且，，，，即，是的中點，，，整理得，解得，直線的方程為：或16．（2020·重慶南開中學(xué)高三期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點為，為拋物線上異于原點的任意一點，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為1時，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點作的垂線與圓的一個交點為，交拋物線于，（點在點，之間），記的面積為，求的最小值.【解析】（1）當(dāng)直線的斜率為1時，可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，解得，即，，即，拋物線的方程為；（2）由（1）可得，設(shè)，，，，且，由題意可得，即，又，即，整理可得，又，則，即，又的斜率存在且不為0，，聯(lián)立拋物線方程可得，可得，，則，由，可得，即，可得，則，可令，，顯然在遞增，且，當(dāng)時，，時，，可得在遞減，在遞增，可得時，取得最小值23．即求的最小值為23．

專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（一）選擇題解法欠靈活，缺乏運用特殊值法、排除法等解題意識選擇題的考查是由選擇題的特殊性決定的，從已知研究未知的角度來看，部分問題只能從較少的信息來判斷，無法完全嚴(yán)格地推理，所以選擇題考查選擇能力，而不是完全推理論證的能力，因此特值法看似投機取巧，實則應(yīng)當(dāng)是解決選擇題必要的手段，區(qū)別于大題完整演繹推理的過程，從命題角度來看，一道題既可以作為選擇題，又可以作為大題，則沒有體現(xiàn)選擇題的考查功效，讓不同層次學(xué)生作答是高考想要得到的目的，算理比較熟的同學(xué)應(yīng)當(dāng)快速得出結(jié)果，而不能完整推理出來的學(xué)生也可以憑借任意與存在的關(guān)系加以排除和選擇．【例1】（2020·海南高三）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【解析】當(dāng)時，，排除，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，排除選項.故選：A.【例2】（2020·福建省平和第一中學(xué)高三期末）函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B．C． D．【解析】，定義域為，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除A、C，又因為且接近時，，且，所以，選擇B【小結(jié)】函數(shù)圖象的辨識可以從以下方面入手：1.從函數(shù)定義域，值域判斷；2.從函數(shù)的單調(diào)性，判斷變化趨勢；3.從函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的對稱性；4.從函數(shù)的周期性判斷；5.從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象（二）解答含參問題的基本策略選擇不當(dāng)含參問題是研究新的函數(shù)模型經(jīng)常遇到的問題，也是考查學(xué)生分類討論與分清參變量關(guān)系的重要手段，含參問題的破解基本點應(yīng)該是對任意的成立，即恒成立，所以可以采取特值先求出符合的參數(shù)值或范圍，在嚴(yán)格論證其充分性，而對于小題考查函數(shù)的零點問題，則需要考慮數(shù)形結(jié)合的思想，嚴(yán)格地零點定理應(yīng)當(dāng)是大題考查的重點，需要論證明確．【例3】（2020·云南昆明一中高三）已知函數(shù)，若是的一個極小值點，且，則（）A． B． C． D．【解析】由，得，又，則，若，則，此時，是的一個極大值點，舍去；若，則，此時，是的一個極小值點，滿足題意，故，選C.【例4】（2020·安徽六安一中高三期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當(dāng)時，，令當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當(dāng)時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【小結(jié)】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力.此類題根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題.在研究帶有參數(shù)的新函數(shù)，從必要條件轉(zhuǎn)化為充分條件是重要的方法，可以采取數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，而當(dāng)發(fā)現(xiàn)特值法沒有簡便運算步驟的話，則本題出題者希望的是整體推理的過程．（三）函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用欠靈活高中階段函數(shù)的性質(zhì)圍繞著單調(diào)性，奇偶性（對稱性），周期性展開，周期性的背景是三角函數(shù)，當(dāng)涉及到求函數(shù)值或函數(shù)不等式問題，都可以抽象為函數(shù)性質(zhì)的考查，基本順序是先討論對稱性，再討論單調(diào)性，最終利用性質(zhì)求解是關(guān)鍵．【例5】（2020·湖南高三月考）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（）A． B．0 C．2 D．2020【解析】因為奇函數(shù)滿足,即.故周期為4.故,因為.故原式.令,則.令,則.又奇函數(shù)故.故.故選：B【例6】（2020·天津靜海一中高三期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則．【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．【小結(jié)】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。ㄋ模?dǎo)數(shù)解答題的失誤，暴露考生分析問題解決問題、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的綜合能力較弱主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與圖象、曲線相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【例7】（2020·廣西高三月考）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)，且，使得函數(shù)在區(qū)間的值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，函數(shù)的增區(qū)間為②當(dāng)時，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）①當(dāng)時，得舍去；②當(dāng)時，得符合題意；③當(dāng)時，由，不合題意；必有，可得，令，故函數(shù)單調(diào)遞增，又由，故當(dāng)時，，不存在這樣的；④當(dāng)時，，得舍去；綜上所述：滿足條件的值為.【小結(jié)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)值域求參數(shù)，分類討論是常用的數(shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.在第（1）中首先求導(dǎo)，再討論和兩種情況，計算得到答案.在第（2）問中討論，，，四種情況，分別計算得到答案.【方法策略】（一）掌握選擇題解題“六法”，突出“特殊值法”解題的能力培養(yǎng)對“特殊值法”還要掌握選值的技巧，當(dāng)一次取值不能達(dá)到目標(biāo)時，可以考慮多次取值、混合選取，看能否達(dá)到目標(biāo)．特殊值法可以讓一般問題特殊化，抽象問題具體化，從而大大減少計算量．在復(fù)習(xí)過程中，可以精選不同類型，有意識地強化“特殊值法”的解題能力.【例8】（2020·遼寧高三期末）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱的是（）A． B．C． D．【解析】設(shè)為所求函數(shù)圖象上任意一點，則由已知可得點關(guān)于點的對稱點必在函數(shù)的圖象上，所以,即,故選:D.（二）函數(shù)與方程的思想重在轉(zhuǎn)化，增強轉(zhuǎn)化與化歸的意識多年來，全國卷都注重考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的運算、圖象和性質(zhì)的應(yīng)用.對函數(shù)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)要回歸課本，深化函數(shù)基本概念的理解、熟練掌握有關(guān)公式及基本圖象性質(zhì)．盡管好多題目的呈現(xiàn)方式是分段函數(shù)，但其基本構(gòu)成離不開基本初等函數(shù).【例9】（2020·四川石室中學(xué)高三期末）已知函數(shù)，方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】令，故，令，解得，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且在處，取得最小值.根據(jù)與圖像之間的關(guān)系，即可繪制函數(shù)的圖像如下：令，結(jié)合圖像，根據(jù)題意若要滿足有四個根，只需方程的兩根與滿足：其中一個根，另一個根或.①當(dāng)方程的一個根，另一個根，將代入，可得矛盾，故此種情況不可能發(fā)生；②當(dāng)方程的一個根，另一個根，要滿足題意，只需即可即，解得.故選：B.【例10】【2018年天津卷文】已知a∈R，函數(shù)fx=x2+2x+a?2，x≤0，?x2+2x?2a，x>0．若對任意x∈［–3，+∞），【解析】分類討論：①當(dāng)x>0時，fx≤x即：?x2+2x?2a≤x，整理可得：a≥?12x2+12x，由恒成立的條件可知：a≥?12x2結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=?3或x=0時，?x2?3x+2綜合①②可得a的取值范圍是18【小結(jié)】對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數(shù)值符號四個方面分析．（三）以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想將抽象邏輯思維與直觀形象思維有效地結(jié)合起來，使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，利于發(fā)現(xiàn)解題策略，優(yōu)化解題過程．給出具體函數(shù)，我們要抽象出解題需要的函數(shù)的性質(zhì)，給出抽象函數(shù)，我們能夠找到具體模型與之對應(yīng)，或者作示意圖．【例11】（2020·云南高三）已知函數(shù)，若，則實數(shù)取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】畫出函數(shù)圖像知：函數(shù)單調(diào)遞增，，故，解得.故選：.（四）重視函數(shù)導(dǎo)數(shù)的工具作用以三角函數(shù)為背景考查導(dǎo)數(shù)、不等式，注重知識的交匯，體現(xiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的工具作用．【例12】【2018年全國卷Ⅰ卷理16】已知函數(shù)，則的最小值為．【解析】方法一：，令，則，或，所以當(dāng)，為減函數(shù)，在增函數(shù)，所以方法二：,所以,當(dāng)時,成立，所以的最小值是.方法三：，令，則函數(shù)化為，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．【小結(jié)】本題以三角函數(shù)為背景，看似與三角函數(shù)問題，但用三角函數(shù)的知識求解就遇到困難，要求學(xué)生靈活運用其他知識解決，求函數(shù)最值常見的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法；（3）數(shù)形結(jié)合；（4）換元法等等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．類似的高考命題近幾年屢見不鮮.（五）加強函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題的答題策略教學(xué)2018年全國卷Ⅰ21題函數(shù)為的比較容易研究的對數(shù)型函數(shù)問題，在導(dǎo)函數(shù)極值點問題上，涉及到“設(shè)而不求”，轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系，考查問題以函數(shù)導(dǎo)數(shù)為載體，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想；2018年全國Ⅱ卷21題與2018年全國Ⅲ卷21題都出現(xiàn)了和等相對不容易研究的指對數(shù)函數(shù)型問題，對于第二問都作了一步關(guān)鍵的等價變形，原因是通常與多項式函數(shù)或者分式函數(shù)相加減比較容易研究，通常與多項式函數(shù)或者分式函數(shù)相乘除比較好處理，這給我們的復(fù)習(xí)迎考提供了指導(dǎo)方向．【例13】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的值域；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【解析】（1）因為，所以，∵，∴，∴，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為；的最小值為，所以函數(shù)的值域為．（2）原不等式可化為…（*），因為恒成立，故（*）式可化為．令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，故，所以；當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以當(dāng)，即時，函數(shù)成立；當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得綜上，．（3）令，則．由，故存在，使得，即．所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故當(dāng)時，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，故函數(shù)，因為，所以，故，即．【小結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.【概述】復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)對函數(shù)部分高考的高頻考點問題——單調(diào)性、最值、切線、零點問題、恒成立問題、不等式證明、含量詞的命題等，尤其是三角函數(shù)型函數(shù)，含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)開展專題復(fù)習(xí)，以提升學(xué)生對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的認(rèn)識．二、典型問題剖析導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對函數(shù)問題的命題空間，從最近幾年全國（省市）高考數(shù)學(xué)試題來看，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查可以說是全方位的.從考查要求來講，它不僅有對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，更有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.具體而言，試題往往融函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識于一體，通過演繹證明，運算推理等理性思維，解決單調(diào)性、極值、最值、切線、方程的根、函數(shù)零點、參數(shù)的范圍等問題，這類題難度大，綜合性強．解題中需要用到函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，利用“設(shè)而不求”、“先猜后證”、“放縮法(如，，，等)”、“構(gòu)造法”等手段，解決恒成立求參、函數(shù)零點、不等式證明、帶量詞的命題等熱點問題．（一）導(dǎo)數(shù)的幾何意義對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，要關(guān)注三類問題，即求切線問題、已知切線求參數(shù)問題、切線的應(yīng)用問題等.這三類問題往往結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖象、直線方程、點到直線的距離等.（二）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的考查，要關(guān)注三類問題，即求函數(shù)單調(diào)性區(qū)間、含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論、根據(jù)單調(diào)性逆向求參數(shù)問題等.這三類問題有時會以小題的形式出現(xiàn)，較多的應(yīng)是解答題的某一問.【例14】（2020·河南高三期末）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【解析】（1）.①當(dāng)時，單調(diào)遞增；②當(dāng)時，單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（三）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的考查，要關(guān)注三類問題，即已知函數(shù)求極值、根據(jù)函數(shù)極值(點)逆向求參數(shù)、函數(shù)的極值(點)性質(zhì)的考查等.其中已知函數(shù)求極值可能以小題的形式考查，其余主要是解答題的某一問.【例15】（2020·南京師范大學(xué)附屬揚子中學(xué)高三期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在處的切線方程；（2）令，已知函數(shù)有兩個極值點，且，①求實數(shù)的取值范圍；②若存在，使不等式對任意（取值范圍內(nèi)的值）恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，，時，，，在處的切線方程為，化簡整理可得.（2）①對函數(shù)求導(dǎo)可得，，令可得，，解得實數(shù)的取值范圍為.②由，解得，而在上遞增，在上遞減，在上遞增，，，在單調(diào)遞增，在上，，，使不等式，對恒成立，等價于不等式恒成立，即不等式對任意的恒成立.令，則，當(dāng)時，，在上遞減，即，不合題意.當(dāng)時，，若，即時，則在上遞減，，時，不能恒成立；若，即時，則在上遞增，恒成立，實數(shù)的取值范圍【小結(jié)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，研究不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，如函數(shù)有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程有兩個不等實根，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值，對學(xué)生的推理論證能力、運算求解能力要求較高，難度較大，屬于困難題.【例16】（2020·甘肅高三期末）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）若有兩個極值點，證明：.【解析】（1）.①當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)只有一個極大值點，無極小值點.②當(dāng)時，，令，得.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.即函數(shù)有一個極大值點，有一個極小值點.③當(dāng)時，，此時恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點.綜上所述，當(dāng)時，有且僅有一個極大值點，即只有1個極值點；當(dāng)時，有一個極大值點和一個極小值點，即有2個極值點；當(dāng)時，沒有極值點.（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個極值點，且為方程的兩根，即，所以.令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.【小結(jié)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查邏輯思維能力和運算能力.在第（2）問中由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個極值點，且為方程的兩根，，求出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.（四）函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）綜合問題——分類討論思想利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值（最值）問題時，常用到分類討論思想，其分類討論點一般步驟是：【例17】【2018年文北京卷】設(shè)函數(shù)f(x)=[ax（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若f(x)在x=1處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因為f(x)=[ax2?(3a+1)x+3a+2]f'(2)=(2a?1)e2，由題設(shè)知f'（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f'若a>1，則當(dāng)x∈(1a,1)時，f'(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0.若a≤1，則當(dāng)x∈(0,1)時，ax?1≤x?1<0，所以f'(x)>0.所以1綜上可知，a的取值范圍是(1,+∞).方法二：f'（1）當(dāng)a=0時，令f'(x)=0得x=1.f'x(?∞,1)1(1,+∞)f+0?f(x)↗極大值↘∴f(x)在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)無極值，不合題意.②當(dāng)x1>x2，即0<a<1時，x(?∞,1)1(1,1(f+0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)x1<x2，即a>1時，x(?∞,1(1(1,+∞)f+0?0+f(x)↗極大值↘極小值↗∴f(x)在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當(dāng)a<0時，令f'(x)=0得x1=1x(?∞,1(1(1,+∞)f?0+0?f(x)↘極小值↗極大值↘∴f(x)在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為(1,+∞).（五）論函數(shù)零點的個數(shù)、已知方程根求參數(shù)問題或研究函數(shù)零點的性質(zhì)——數(shù)形結(jié)合思想研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).【例18】（2020·海南高三）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，則，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由（1）易知，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【小結(jié)】（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，由（1）的結(jié)論對分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求出結(jié)論.【例19】（2020·安徽高三期末）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底.（1）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的范圍；（2）若為的極值點，求證：.【解析】（1）由知，.由函數(shù)有兩個極值點知，方程有兩不等實數(shù)根，則，解得.（2）因為，要證，結(jié)合，只需證即可.由（1）知，，且.令，，則只需證：，.令，，則，設(shè)，則，故在內(nèi)單調(diào)遞減，又，.由零點存在定理知，存在，使得，且時，；時，.又，，故，.因此，即在內(nèi)單調(diào)遞增，又，故，.綜上所述，原結(jié)論成立.【小結(jié)】本題考查由函數(shù)極值點的個數(shù)，求參數(shù)的范圍問題，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，屬導(dǎo)數(shù)綜合性困難題.（1）將有兩個極值點的問題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)有兩個根的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根的問題，進(jìn)而求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求證的最大值小于0的問題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.（六）不等式的證明問題——函數(shù)與方程思想利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，多數(shù)利用函數(shù)與方程思想結(jié)合不等式構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)來完成，其一般思路是：【例20】【2017課標(biāo)3，理21】已知函數(shù).（1）若，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，求m的最小值.【解析】(七)不等式恒成立、存在性問題——轉(zhuǎn)化與化歸思想利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立、存在性問題時，常用到轉(zhuǎn)化與化歸思想，其一般思路是：【例21】（2020·江西高三）已知函數(shù)，（）.（Ⅰ）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)，若，若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）【解析】（Ⅰ）由題意得：定義域為，則①當(dāng)時，恒成立在上單調(diào)遞增又有唯一零點，即滿足題意②當(dāng)時當(dāng)時，；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增⑴當(dāng)，即時，，有唯一零點，滿足題意⑵當(dāng)，即時，又，且，使得，不符合題意⑶當(dāng)，即時，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，即又，使得，不符合題意綜上所述：的取值范圍為：（Ⅱ）由題意得：，則，當(dāng)時，由得：恒成立在上單調(diào)遞增，即滿足題意②當(dāng)時，恒成立在上單調(diào)遞增又，，使得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，則不符合題意綜上所述：的取值范圍為：【小結(jié)】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍、恒成立問題的求解、零點存在性定理的應(yīng)用等知識；本題解題的關(guān)鍵是在無法確定零點所在位置時，能夠靈活應(yīng)用零點存在定理找到不滿足題意的點，從而使問題得以解決.【鞏固提升】一、單選題1．（2020·天水市第一中學(xué)高三期末）函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【解析】由題意知，函數(shù)，滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以B選項錯誤；又因為，所以C選項錯誤；又因為，所以D選項錯誤，故選A.2．（2020·湖北高三期末）已知函數(shù)在R上都存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)x都有.當(dāng)時，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),因為對于任意的實數(shù)x都有,故,即,故為偶函數(shù).又當(dāng)時,即,故當(dāng)時,單調(diào)遞增.綜上所述,為偶函數(shù),當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減.又,即,即.故,即,解得.故選：B3．（2020·山東高三期末）已知函數(shù)滿足，，且與的圖像交點為，，…，，則的值為()A．20 B．24 C．36 D．40【解析】由于滿足，當(dāng)時，，所以關(guān)于中心對稱.由于，所以關(guān)于中心對稱.故和都關(guān)于中心對稱.所以與的圖像交點，，…，，兩兩關(guān)于對稱.所以.故選：D.4．（2020·廣西高三）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．C． D．【解析】令，即，又因為，所以，即，所以，即，因為函數(shù)有兩個零點，則有兩個零點，即與有兩個交點，所以，即或，顯然的解集為，無解，故選：D5．（2020·南昌市新建區(qū)第二中學(xué)高三）已知函數(shù)，若不等式僅有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】由，則由.可得，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，且，則有兩個整數(shù)解為1，2，所以，且，解得，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，且，則整數(shù)解有無數(shù)個，不滿足題意.故選：C.6．（2020·廣東高三期末）函數(shù)在上有且只有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．或【解析】由得：，由題意在上只有一解，在上只有一解，設(shè)（），，，時，，遞減，時，，遞增，，，，因此在上只有一解，即與的圖象只有一個交點，如圖，則．故選：B.二、填空題7．（2020·甘肅高三期末）函數(shù)的圖象在處的切線方程是，則___________.【解析】函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為，則，由于切點在直線上，則，因此，.故答案為：.8．（2020·江蘇海安高級中學(xué)高三）已知函數(shù)f（x），若f（t）≥f（），則實數(shù)t的取值范圍是_____．【解析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式作出其圖象，如圖所示．①當(dāng)x時，f（x）是增函數(shù)，若，則，解得：t≥1；②當(dāng)x時，，若，則，解得：；綜上①②所述，實數(shù)t的取值范圍是故答案為：．三、解答題9．（2020·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校高三期末）設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時，證明在是增函數(shù)；（2）若，求a的取值范圍.【解析】（1）由題意得.當(dāng)時，.令，則.當(dāng)時，，所以在為增函數(shù).因此時，，所以當(dāng)時，，則在是增函數(shù).（2）由.由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?故，從而當(dāng)，即時，對，.于是對.滿足題意，由得，從而當(dāng)時，.故當(dāng)時，.于是當(dāng)時，.不滿足，綜上，a的取值范圍是10．（2020·山西大同一中高三期末）設(shè)函數(shù)為常數(shù)(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明.【解析】（1）由得導(dǎo)函數(shù)，其中.當(dāng)時，恒成立，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，恒成立，故在上是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，由得，則存在，使得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上是不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.綜上，的取值范圍是.（2）由（1）知當(dāng)時，，即，故.令，則，當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，從而，即.11．（2020·山西高三期末）已知函數(shù)，，（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）如果函數(shù)有兩個極值點、，求證：.（參考數(shù)據(jù)：，，，為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（1），，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，因此單調(diào)遞減，當(dāng)時，，因此單調(diào)遞增，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）有兩個極值點，，，則有兩個不同的零點，，相加有①，相減有，可以得到，代入①得，即，不妨設(shè)，則，又令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以所以，又，所以，即，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，又，，，因此.12．（2020·福建高三期末）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點；（2）當(dāng)時，當(dāng)函數(shù)恰有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為所以，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)無極值點；當(dāng)時，令，解得.由，解得；由，解得.故函數(shù)有極大值點，無極小值點.綜上，當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)有極大值點，無極小值點.（2）當(dāng)時，，所以，設(shè)，則①當(dāng)即時，，所以在單調(diào)遞減，所以不可能有三個不同的零點；②當(dāng)即時，有兩個零點，，所以又因為開口向下，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.因為，又，所以，令則.所以在單調(diào)遞增，所以，即.由零點存在性定理知，在區(qū)間上有唯一的一個零點.又，所以.所以，所以在區(qū)間上有唯一的一個零點，故當(dāng)時，存在三個不同的零點.故實數(shù)的取值范圍是.13．（2020·福建高三期末）已知.（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若存在，使得成立，求的取值范圍.【解析】.（1）當(dāng)時，，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）存在，使得成立，等價于不等式在有解.設(shè)，則，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù).又，，故所以當(dāng)時，，所以，即的取值范圍為.14．（2020·湖南長沙一中高三期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在內(nèi)有極值，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【解析】（1）定義域為，設(shè)當(dāng)時，，此時，從而恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，又所以此時，從而恒成立，故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，設(shè)有兩個不同的實根，共中，令，則，令，得或；令，得或，故函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）要使在上有極值，由（1）知，①則有一變號零點在區(qū)間上，不妨設(shè)，又因為，∴，又，∴只需，即，∴，②聯(lián)立①②可得：.從而與均為正數(shù).要比較與的大小，同取自然底數(shù)的對數(shù)，即比較與的大小，再轉(zhuǎn)化為比較與的大小.構(gòu)造函數(shù)，則，再設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞減，此時，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.15．（2020·福建高三）已知函數(shù)有兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）記的極值點為，求證：.【解析】（1）因為，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，若，則；若，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，因為有兩個零點，所以必須，則，所以，解得，又因為時，；時，，所以當(dāng)時，在和各有一個零點，符合題意，綜上，；（2）由（1）知，且，因為的兩個零點為，所以，所以，解得，令所以，令函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，因為，又因為，所以，所以，即，要證，只需，即證，即證，即證，令，再令，即證，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，原題得證．【點睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查推理能力與運算能力，屬于難題．

16．（2020·廣東高三期末）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個極值點，，且，證明.【解析】（1）當(dāng)