系統(tǒng)預(yù)測馬爾可夫預(yù)測講義

系統(tǒng)預(yù)測馬爾可夫預(yù)測講義2(Markov)預(yù)測不需要大量的歷史資料，而只需要對近期狀況作詳細分析。可用于產(chǎn)品的市場占有率預(yù)測、期望報酬預(yù)測、人力資源預(yù)測，分析系統(tǒng)的長期平衡條件，為決策提供有意義的參考3馬爾可夫(A.A.Markov)俄國數(shù)學(xué)家又譯：馬爾科夫、馬爾柯夫20世紀初，研究中發(fā)現(xiàn)自然界一類事物的變化過程僅與近期狀態(tài)有關(guān)，與事物的過去狀態(tài)無關(guān)41、基本概念狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)換若對研究對象考慮一系列隨機試驗，其中每次試驗的結(jié)果如果出現(xiàn)在有限個兩兩互斥的事件集E={E1,E2,…,En}中，且僅出現(xiàn)其中一個，則稱事件Ei∈E為系統(tǒng)的狀態(tài)。若事件Ei出現(xiàn)，則稱系統(tǒng)處在狀態(tài)Ei。狀態(tài)是研究對象隨機試驗樣本空間的一個劃分，系統(tǒng)可能在不同狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換。一、Markov預(yù)測原理5說明：為了與P167狀態(tài)的標記一致，前面的說法可改為：若事件Ei出現(xiàn)，則稱系統(tǒng)處在狀態(tài)Si。許多教材是用E6一、Markov預(yù)測原理1、基本概念Markov過程現(xiàn)實中有這樣一類隨機過程，在系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，系統(tǒng)將來的狀態(tài)只與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)。這種性質(zhì)叫做無后效性，符合這種性質(zhì)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，叫作馬爾可夫過程。7一、Markov預(yù)測原理過程在時刻tm所處的狀態(tài)為已知時，過程在時刻t(t>tm)所處的狀態(tài)的概率特性只與過程在時刻tm所處的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時刻tm以前的狀態(tài)無關(guān)。無后效性的解釋：8無后效性無后效性例子-1直線上的隨機游動已知質(zhì)點現(xiàn)在的位置，將來的情況只與現(xiàn)在的位置有關(guān)，與過去的情況無關(guān)本例：時間離散、狀態(tài)離散9一、Markov預(yù)測原理無后效性例子-2某地區(qū)每年的氣候按照一定指標可分為旱、澇兩種狀態(tài)根據(jù)多年的統(tǒng)計可形成一個以年為時間單位，每時間只出現(xiàn)旱、澇兩態(tài)之一的時間離散、狀態(tài)離散的隨機時間序列10無后效性無后效性例子-3：交換站在t時刻前到來的呼喚數(shù)（即時間[0，t]內(nèi)到來的呼喚數(shù)）。11無后效性無后效性例子-3：布朗(Brown)運動。

xy0X(t)具有無后效性是馬爾可夫過程。時間連續(xù)、狀態(tài)連續(xù)121、基本概念馬爾可夫鏈時間離散、狀態(tài)離散的馬爾可夫過程例1、例2一、Markov預(yù)測原理提問：其它？13馬爾可夫鏈的定義設(shè)隨機序列{X(n),n=0,1,2,…}的離散狀態(tài)空間為E={E0,E1,E2,…,En}。若對于任意m個非負整數(shù)n1,n2，…nm和任意自然數(shù)k，以及任意的，滿足

則稱{X(n),n=0,1,2,…}為馬爾可夫鏈汪榮鑫，隨機過程，西安交通大學(xué)出版社，1987（P185）14馬爾可夫鏈的定義記為已知系統(tǒng)在時刻n處于狀態(tài)i，經(jīng)k個單位時間后，系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率15馬爾可夫鏈已知系統(tǒng)在時刻n處于狀態(tài)i，經(jīng)k個單位時間后，系統(tǒng)處于狀態(tài)j的概率與n無關(guān)，即轉(zhuǎn)移概率只與出發(fā)狀態(tài)、轉(zhuǎn)移步數(shù)、到達狀態(tài)相關(guān)1步轉(zhuǎn)移概率16例1：出租公司車站租、還車一步轉(zhuǎn)移概率。

還車機場風(fēng)景區(qū)賓館租車機場風(fēng)景區(qū)賓館0.80.20.20.200.200.80.6一、Markov預(yù)測原理轉(zhuǎn)移概率？172、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣設(shè)系統(tǒng)共有N個狀態(tài)，記作S1，S2，…，SN，則用狀態(tài)向量［S1，S2，…,SN］T表示。設(shè)在tn-1時刻系統(tǒng)處在Si狀態(tài)之下，tn時刻系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)镾j，則稱在第n次狀態(tài)轉(zhuǎn)移中，系統(tǒng)由狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到Sj，且這種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率記為p{xn=Sj|xn-1=Si}pij(i,j=1,…,N；n=1,2,…)

這里pij與n無關(guān)，只與i,j有關(guān)，即只與轉(zhuǎn)移前后的狀態(tài)有關(guān)，稱為馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率。一、Markov預(yù)測原理18一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如果系統(tǒng)有N個狀態(tài)，則一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：一、Markov預(yù)測原理19轉(zhuǎn)移概率矩陣的特點

一、Markov預(yù)測原理提問？20

寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-1伯努利實驗，每次成功的概率為p，失敗的概率為q；各次實驗相互獨立。成功用狀態(tài)“1”表示，失敗用狀態(tài)“2”表示。第n次實驗的結(jié)果記為X(n)。X(n)符合無后效性特點，故為馬爾可夫鏈。21一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=1-q22

寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣-1天氣預(yù)報問題如果明天是否有雨僅與今天的天氣（是否有雨）相關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。設(shè)今天下雨、明天有雨的概率為α，今天無雨、明天下雨的概率為β；假定把有雨稱為0狀態(tài)天氣，無雨稱為1狀態(tài)天氣。則本問題是一個兩狀態(tài)的馬爾可夫鏈。一步轉(zhuǎn)移概率矩陣？23一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的含義？24切普曼-柯爾莫哥洛夫方程

(Chapman-Kolmogorov)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率之間有下列關(guān)系：設(shè)，則直觀含義：要想從狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)過k+l步到達狀態(tài)j，必須先經(jīng)k步到達任意狀態(tài)r，然后再經(jīng)l步由狀態(tài)r到達狀態(tài)j25概率矩陣的特點-2

正規(guī)概率矩陣若存在m為正整數(shù)，概率矩陣P的m次冪Pm的所有元素皆為正，則P稱為正規(guī)概率矩陣。一、Markov預(yù)測原理26定義固定概率向量當任一非零向量u=(u1

u2…un)左乘某n×n方陣A，其結(jié)果仍為u，即uA=u時，u為A的固定向量一、Markov預(yù)測原理27正規(guī)概率矩陣的性質(zhì)-1正規(guī)概率矩陣P有一個固定概率向量u，且u的元素皆為正，此向量叫做特征向量。一、Markov預(yù)測原理28正規(guī)概率矩陣的性質(zhì)-2正規(guī)概率矩陣P的各次冪序列P，P2，P3，…將趨向于方陣U，且U的每一行均為其固定概率向量u一、Markov預(yù)測原理29正規(guī)概率矩陣的性質(zhì)-3若F為任一概率向量，則向量序列FP，F(xiàn)P2，F(xiàn)P3，…將趨近于P的固定概率向量u。一、Markov預(yù)測原理30正規(guī)馬爾可夫鏈及其穩(wěn)定狀態(tài)若某事物狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可以表達為正規(guī)概率矩陣，則該馬爾可夫鏈就是正規(guī)的，通過若干步轉(zhuǎn)移，最終會達到某種穩(wěn)定狀態(tài)，即其后再轉(zhuǎn)移一次、二次、…，結(jié)果不再變化，這時穩(wěn)定狀態(tài)可用行向量X表示，可見該行向量X即此正規(guī)概率轉(zhuǎn)移矩陣的固定概率向量。一、Markov預(yù)測原理31固定概率向量的求解示例例2：設(shè)某事物從狀態(tài)S1、S2、S3轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S1、S2、S3的轉(zhuǎn)移概率矩陣為正規(guī)概率矩陣P，

一、Markov預(yù)測原理32

穩(wěn)態(tài)時的特征向量可求解如下：解此聯(lián)立方程式得X=(0.4,0.2,0.4)一、Markov預(yù)測原理33

例3：已知一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下，判斷馬爾可夫鏈是否正規(guī)，若正規(guī)求出其穩(wěn)定狀態(tài)。

一、Markov預(yù)測原理34k步轉(zhuǎn)移概率矩陣事物經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移的轉(zhuǎn)移概率記為p(Sn+k=j/Sn=i)=pij(k)，i,j=1,2,…,N,則如下矩陣即為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣

一、Markov預(yù)測原理35可以證明：

即k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的k次冪。

一、Markov預(yù)測原理36例4：A、B兩家毛巾廠的市場銷售調(diào)查表如下，假設(shè)每年兩家毛巾廠的總銷售量為定數(shù)，而引起兩個廠家各自銷量增減的主要原因是由于廠家的營銷策略、產(chǎn)品質(zhì)量造成的。對兩家毛巾廠的市場占有率進行預(yù)測。

時間A廠B廠銷售量（萬條）顧客銷售量（萬條）顧客老顧客（萬人）由B轉(zhuǎn)（萬人）老顧客（萬人）由A轉(zhuǎn)（萬人）19951996200217160178.54038.5300283280260.52012.5二、市場占有率預(yù)測37解：由表知1995年狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P11=160/(160+20)=0.889P12=20/(160+20)=0.111P21=40/(280+40)=0.125P22=280/(280+40)=0.875二、市場占有率預(yù)測38又有1996年狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率P11=178.5/(178.5+12.5)=0.888P12=12.5/(178.5+12.5)=0.112P21=38.5/(260.5+38.5)=0.129P22=260.5/(260.5+38.5)=0.871二、市場占有率預(yù)測39二、市場占有率預(yù)測可看作一個平穩(wěn)的Markov過程。取40毛巾市場預(yù)測結(jié)果A廠B廠狀態(tài)概率銷售量狀態(tài)概率銷售量1997199819992000200120020.4560.4760.4920.5030.5120.519228238246251.5256259.50.5440.5240.5080.4970.4880.418272262254248.5244240.5二、市場占有率預(yù)測41t充分大時，轉(zhuǎn)移概率將趨于穩(wěn)態(tài)，設(shè)為u1,u2，則

u1=0.89u1+0.13u2u2=0.11u1+0.87u2u1+u2=1則

u1=0.54,u2=0.46故穩(wěn)態(tài)下，A、B兩廠的最終銷量分別為：

mA=500*0.54=270萬條

mB=500*0.46=230萬條二、市場占有率預(yù)測42如B廠不滿足46%的市場占有率，通過提高產(chǎn)品質(zhì)量、加強廣告等手段，設(shè)法每一步保持顧客的可能性提高0.05，即由0.87提高為0.92，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣變?yōu)椋憾?、市場占有率預(yù)測43則新的穩(wěn)態(tài)概率u1,u2將滿足

u’1=0.89u’1+0.08u’2u’2=0.11u’1+0.92u’2u’1+u’2=1則

u1=0.42,u2=0.58故穩(wěn)態(tài)下，A、B兩廠的最終銷量分別為：

mA=500*0.42=210萬條

mB=500*0.58=290萬條二、市場占有率預(yù)測44機器設(shè)備在良好和損壞兩種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移：

p11：某時良好到下一時刻保持良好的概率；

p12：某時良好到下一時刻轉(zhuǎn)為故障的概率；

p21：某時故障到下一時刻轉(zhuǎn)為良好的概率；

p22：某時故障到下一時刻未能修復(fù)的概率。三、設(shè)備維修方面的應(yīng)用45

例5：設(shè)某車間里的機器出故障的概率為0.2，機器能修復(fù)良好的概率為0.85，試求穩(wěn)定狀態(tài)下，機器處于良好狀態(tài)和故障狀態(tài)的概率各為多少?三、設(shè)備維修方面的應(yīng)用46解：三、設(shè)備維修方面的應(yīng)用47課堂作業(yè)伍迪公司、布盧杰公司、雷恩公司（分別用A、B、C代表）是美國中西部地區(qū)生產(chǎn)滅蟲劑的三家主要廠商。根據(jù)歷史資料得知，這三家公司產(chǎn)品銷售的市場占有率分別為50%、30%、20%。由于C公司實行了改善銷售與服務(wù)方針的經(jīng)營管理策略，其產(chǎn)品銷售額逐期穩(wěn)定上升，而A公司的產(chǎn)品銷售額卻在下降。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，三家公司間的顧客流動情況如下表所示，產(chǎn)品的銷售周期是季度。問題：按照目前的趨勢發(fā)展下去，A公司的產(chǎn)品銷售額或客戶轉(zhuǎn)移的影響將嚴重到何種程度？三家公司的產(chǎn)