2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）已知A（3，5），B（1，7），則直線AB的傾斜角大小是（）A.45°B.60°C.120°D.135°2.（單選題，5分）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（）A.（0，2，1）B.（2，1，0）C.（0，1，-3）D.（2，0，-3）3.（單選題，5分）拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.（1，0）C.D.（0，1）4.（單選題，5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.3盞B.7盞C.9盞D.11盞5.（單選題，5分）圓C1：x2+y2=16與圓C2：（x-4）2+（y+3）2=1的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切6.（單選題，5分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，則異面直線OB1與A1D所成角的大小為（）A.B.C.D.7.（單選題，5分）已知曲線C：mx2+ny2=1，則下列結(jié)論正確的是（）A.若m=0，n=1，則C是兩條直線，都平行于y軸B.若m=n＞0，則C是圓，其半徑為C.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上D.若m＞0，n＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為8.（單選題，5分）已知{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，若a1+a2+?+an=300，則n的最大值為（）A.18B.19C.20D.219.（多選題，5分）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若=（0，1，-1），=（4，3，2），=（3，0，-4），則（）A.AB⊥APB.BC⊥APC.D.10.（多選題，5分）已知直線l：ax+by=r2與圓C：x2+y2=r2（r＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交B.若點(diǎn)P（a，b）在圓C外，則直線l與圓C相離C.若直線l與圓C相切，則點(diǎn)P（a，b）在直線l上D.若直線l與圓C相離，則點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)11.（多選題，5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列B.{an+1-an}是等差數(shù)列C.{log3an}等比數(shù)列D.{anan+1}是等比數(shù)列12.（多選題，5分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則點(diǎn)N的軌跡所圍成圖形的面積為3πB.若直線MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓C.若直線MN與直線BC所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線D.若點(diǎn)N到直線CC1的距離與點(diǎn)N到直線AD的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線13.（填空題，5分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2-），則a5=___．14.（填空題，5分）已知直線l1：ax-y+1=0與l2：（a-2）x+ay-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為___．15.（填空題，5分）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，則點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為___．16.（填空題，5分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是___．17.（問答題，10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-1，1），B（3，3），C（2，0）．

（1）求△ABC的面積；

（2）判斷O，A，B，C四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由．18.（問答題，12分）在①a3+b3=9；②a2+b3=a4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．

問題：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a2+b2=5，___．

（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．19.（問答題，12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，．

（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20.（問答題，12分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且．

（1）求C1的離心率；

（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．21.（問答題，12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD||BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，點(diǎn)G在PB上，且．

（1）求證：AG||平面PCD；

（2）求二面角F-AE-D的余弦值．22.（問答題，12分）已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)A（2，3）．

（1）求C的方程；

（2）若點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AB⊥MN，B為垂足．是否存在定點(diǎn)Q，使得|BQ|為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：22，總分：1501.（單選題，5分）已知A（3，5），B（1，7），則直線AB的傾斜角大小是（）A.45°B.60°C.120°D.135°【正確答案】：D【解析】：先求出直線AB的斜率，從而求出直線AB的傾斜角．

【解答】：解：∵A（3，5），B（1，7），

∴kAB==-1，

則直線AB的傾斜角大小是135°，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了直線的傾斜角問題，是基礎(chǔ)題．2.（單選題，5分）已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（）A.（0，2，1）B.（2，1，0）C.（0，1，-3）D.（2，0，-3）【正確答案】：B【解析】：根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的選項(xiàng)．

【解答】：解：∵，

∴在坐標(biāo)平面xOy上的投影向量是（2，1，0）．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．3.（單選題，5分）拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.（1，0）C.D.（0，1）【正確答案】：C【解析】：直接利用拋物線方程，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．

【解答】：解：拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4.（單選題，5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A.3盞B.7盞C.9盞D.11盞【正確答案】：A【解析】：由已知從上向下燈的數(shù)目構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求．

【解答】：解：設(shè)塔的頂層共有燈a1，從上向下燈的數(shù)目構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，

由題意得，=381，

解得，a1=3．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了等數(shù)列的求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.（單選題，5分）圓C1：x2+y2=16與圓C2：（x-4）2+（y+3）2=1的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切【正確答案】：B【解析】：根據(jù)題意，分析兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，據(jù)此分析可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y2=16，其圓心為（0，0），半徑r=4，

圓C2：（x-4）2+（y+3）2=1，其圓心為（4，-3），半徑R=1，

有圓心距|C1C2|==5=r+R，

則兩圓外切，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題，5分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)，則異面直線OB1與A1D所成角的大小為（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積即可求出異面直線OB1與A1D所成的角．

【解答】：解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則O（1，1，0），B1（2，2，2），A1（2，0，2），D（0，0，0），

∴=（1，1，2），=（-2，0，-2），

∴cos＜，＞==-，

設(shè)異面直線OB1與A1D所成的角為θ，

則cosθ=|cos＜，＞|=，

∴異面直線OB1與A1D所成角的大小，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了異面直線所成的角，考查了空間向量的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7.（單選題，5分）已知曲線C：mx2+ny2=1，則下列結(jié)論正確的是（）A.若m=0，n=1，則C是兩條直線，都平行于y軸B.若m=n＞0，則C是圓，其半徑為C.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上D.若m＞0，n＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為【正確答案】：D【解析】：逐項(xiàng)運(yùn)算判斷即可．

【解答】：解：若m=0，n=1，則mx2+ny2=1可化為y2=1，所以y=±1，故C是兩條直線，都平行于x軸，故A錯(cuò)誤；

若m=n＞0，方程化為x2+y2=，則C是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；

若m＞n＞0，則mx2+ny2=1可化為+=1，

因?yàn)閙＞n＞0，所以0＜＜，

即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；

若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為，所以D正確；

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，考查分類討論思想，化圓錐曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵，是中檔題．8.（單選題，5分）已知{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，若a1+a2+?+an=300，則n的最大值為（）A.18B.19C.20D.21【正確答案】：C【解析】：根據(jù)題意，分析可得當(dāng){an}是公差為1的等差數(shù)列，n的值最大，假設(shè)a1=5，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得S20＜300，S21＞300，由此分析可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，{an}是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且a1≥5，

則a2的最小值為a1+1，a3的最小值為a1+2，

即當(dāng){an}是公差為1的等差數(shù)列，n的值最大，

則有Sn=na1+=300，

若a1=5，有S20=100+190=290＜300，S21=105+210=315＞300，

必有a1＞5，此時(shí)n的最大值為20，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意分析{an}各項(xiàng)的最小值，屬于基礎(chǔ)題．9.（多選題，5分）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，若=（0，1，-1），=（4，3，2），=（3，0，-4），則（）A.AB⊥APB.BC⊥APC.D.【正確答案】：BCD【解析】：根據(jù)向量減法的幾何意義和向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出和的坐標(biāo)，根據(jù)向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式可判斷選項(xiàng)C，D的正誤，根據(jù)向量垂直的充要條件即可判斷選項(xiàng)A，B的正誤．

【解答】：解：∵，∴AB⊥AP錯(cuò)誤；

，，∴BC⊥AP，B正確；

，C正確；

，∴，D正確．

故選：BCD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.（多選題，5分）已知直線l：ax+by=r2與圓C：x2+y2=r2（r＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交B.若點(diǎn)P（a，b）在圓C外，則直線l與圓C相離C.若直線l與圓C相切，則點(diǎn)P（a，b）在直線l上D.若直線l與圓C相離，則點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)【正確答案】：CD【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．

【解答】：解：對(duì)于A，∵點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，

∴a2+b2＜r2，

圓心C（0，0）到直線l的距離為=＞r，直線與圓C相離，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，∵點(diǎn)P（a，b）在圓C外，

∴a2+b2＞r2，

圓心C（0，0）到直線l的距離為=＜r，直線與圓C相交，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，∵直線l與圓C相切，

∴圓心C（0，0）到直線l的距離為==r，即a2+b2=r2，

∴a?a+b?b=r2，即點(diǎn)P（a，b）在直線l上，故C正確，

對(duì)于D，∵直線l與圓C相離，

∴圓心C（0，0）到直線l的距離為=＞r，即a2+b2＜r2，

∴，即點(diǎn)P（a，b）在圓C內(nèi)，故D正確．

故選：CD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．11.（多選題，5分）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列B.{an+1-an}是等差數(shù)列C.{log3an}等比數(shù)列D.{anan+1}是等比數(shù)列【正確答案】：AD【解析】：由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出an，然后結(jié)合等差與等比數(shù)列的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．

【解答】：解：因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

所以an=3n-1，

所以=3，故{}是等差數(shù)列，A正確；

an+1-an=3n-3n-1=2×3n-1，則{an+1-an}是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；

log3an=n-1，則{log3an}是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；

anan+1=3n-1?3n=32n-1，則{anan+1}是等比數(shù)列，D正確．

故選：AD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及判斷，屬于基礎(chǔ)題．12.（多選題，5分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為DD1的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則點(diǎn)N的軌跡所圍成圖形的面積為3πB.若直線MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓C.若直線MN與直線BC所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線D.若點(diǎn)N到直線CC1的距離與點(diǎn)N到直線AD的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線【正確答案】：ACD【解析】：根據(jù)題意選項(xiàng)A、B中線段DN為定值，而選項(xiàng)C、D可通過建系，得點(diǎn)N的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步可判斷真假．

【解答】：解：作NG||BC交DC于G，連接MG，DN，

由題意DD1⊥平面ABCD，DD1⊥DN，△MDN為直角三角形，MD=1，

若點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離為2，則DN==，

點(diǎn)N在平面ABCD的軌跡是半徑為的圓，軌跡所圍成的面積為π×（）2=3π，故A正確；

若直線MN與平面ABCD的成的角為，則∠DNM=，DN==，

故N在平面ABCD的軌跡是半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D（0，0，0），M（0，0，1），

設(shè)N（x，y，0），作NG⊥DC，連接MG，

則∠GNM=，MN=，所以=，

所以=，整理得-y2=1，故C正確；

再作NH⊥AD，連接NC，由題意可知，

點(diǎn)N到直線CC1的距離為線段NC的長(zhǎng)，與點(diǎn)N到直線AD的距離為線段HN，

NC=HN，所以點(diǎn)N的軌跡為拋物線，故D正確．

故選：ACD．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查空間幾何體的性質(zhì)，以及軌跡問題，屬中檔題．13.（填空題，5分）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2-），則a5=___．【正確答案】：[1]【解析】：關(guān)鍵數(shù)列的遞推關(guān)系式，坐標(biāo)求解即可．

【解答】：解：數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2-），

可得a2=2-=，

a3=2-=，

a4=2-=，

a5=2-=，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）已知直線l1：ax-y+1=0與l2：（a-2）x+ay-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為___．【正確答案】：[1]-2【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)，即可求解．

【解答】：解：∵直線l1：ax-y+1=0與l2：（a-2）x+ay-1=0平行，

∴a×a=（-1）×（a-2），解得a=1或a=-2，

當(dāng)a=1時(shí)，直線l1與直線l2重合，舍去，

故a=-2時(shí)，直線l1與直線l2不重合，滿足題意．

故答案為：-2．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.（填空題，5分）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，則點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為___．【正確答案】：[1]【解析】：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C1到平面A1BC的距離．

【解答】：解：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=a，則C1（0，4，3），A1（a，0，3），B（a，4，0），C（0，4，0），

=（a，-4，3），=（a，0，0），=（0，0，3），

設(shè)平面A1BC的法向量=（x，y，z），

則，取y=3，得=（0，3，4），

∴點(diǎn)C1到平面A1BC的距離為：

d==．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16.（填空題，5分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是___．【正確答案】：[1]【解析】：設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為F'，連接OM，PF′，根據(jù)線段PF的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，可得|OM|=|OF|=c，從而可求得|PF'|，|PF|，在△PFF'，利用余弦定理求得∠PFF'的余弦值，從而可得出答案．

【解答】：解：設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為F'，連接OM，PF′，

由橢圓得，a=5，b=4，c=3，

則F'（-3，0），F(xiàn)（3，0），|FF'|=2c=6，|PF|+|PF'|=2a=10，

因?yàn)辄c(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，

所以|OM|=|OF|=c=3，

因?yàn)镺，M分別為FF'，PF得中點(diǎn)，

所以|PF'|=2|OF|=6，所以|PF|=10-|PF'|=4，

所以，則，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方，則直線PF的傾斜角與∠PFF'互補(bǔ)，

所以直線PF的斜率．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線斜率的求解等知識(shí)，屬于中等題．17.（問答題，10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-1，1），B（3，3），C（2，0）．

（1）求△ABC的面積；

（2）判斷O，A，B，C四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．

（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，，解得，即可求得△ABC的外接圓方程，再將原點(diǎn)代入上式，即可求解．

【解答】：解：（1）直線AB的斜率，

則AB所在直線的方程為，即x-2y+3=0，

|AB|=，點(diǎn)C到直線AB的距離為d=，

故=．

（2）設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

，解得，

∴△ABC的外接圓方程為x2+y2-2x-4y=0，

∵02+02-2×0-4×0=0，即原點(diǎn)O在△ABC的外接圓上，

∴O，A，B，C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18.（問答題，12分）在①a3+b3=9；②a2+b3=a4這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．

問題：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a2+b2=5，___．

（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【正確答案】：①a3+b3=9或②a2+b3=a4【解析】：（1）選擇條件①：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得d=2，q=2，從而知通項(xiàng)公式；

選擇條件②：由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得d=2，q=2，從而知通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可得解．

【解答】：解：（1）選擇條件①：a3+b3=9．

因?yàn)閍1=b1=1，a2+b2=5，a3+b3=9，

所以（1+d）+q=5，（1+2d）+q2=9（q＞0），

解得d=2，q=2，

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=1+（n-1）×2=2n-1，

{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1?2n-1=2n-1．

選擇條件②：a2+b3=a4．

因?yàn)閍1=b1=1，a2+b2=5，a2+b3=a4，

所以（1+d）+q=5，（1+d）+q2=1+3d（q＞0），

解得d=2，q=2，

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=1+（n-1）×2=2n-1，

{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1?2n-1=2n-1．

（2）cn=anbn=（2n-1）?2n-1，

所以Tn=1?20+3?21+5?22+…+（2n-1）?2n-1，

2Tn=1?21+3?22+5?23+…+（2n-3）?2n-1+（2n-1）?2n，

兩式相減得，-Tn=1?20+2?21+2?22+2?23+…+2?2n-1-（2n-1）?2n=1+2×-（2n-1）?2n=-3+（3-2n）?2n，

所以Tn=（2n-3）?2n+3．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.（問答題，12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，．

（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．【正確答案】：

【解析】：（1）由已知可得PO⊥AC，由PB2=OP2+OB2，可得OP⊥OB，可證OP⊥平面ABC，可證平面PAC⊥平面ABC；

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面PBC的一個(gè)法向量與直線AP的方向向量，用向量法可求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

【解答】：（1）證明：取AC的中點(diǎn)，連接OP，OC，

∵△PAC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴PO⊥AC，

∵OB===，OP=AC=3，PB=，

∴PB2=OP2+OB2，∴OP⊥OB，

∵OB∩AC=O，∴OP⊥平面ABC，

又OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；

（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C（0，3，0），P（0，0，3），B（，0，0），A（0，-3，0），

∴=（，0，-3），=（0，3，-3），=（0，3，3），

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），

則，令x=3，則y=，z=1，

∴平面PBC的一個(gè)法向量為=（3，，1），

設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，

∴sinθ=|cos＜，＞|=||==．

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.（問答題，12分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且．

（1）求C1的離心率；

（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【正確答案】：

【解析】：（1）由題意，可得C2的方程為y2=4cx，再由通徑可得，再代入，又a2=b2+c2，化簡(jiǎn)計(jì)算可得離心率；

（2）由（1）得，表示出C1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，C2的準(zhǔn)線方程，再由C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為8，從而求解得c，可得C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【解答】：解：（1）由已知得，C2的方程為y2=4cx，

由通徑可知，，

因?yàn)椋?/p>

得=，

即b2=，

又a2=b2+c2，

化簡(jiǎn)得3c2+8ac-3a2=0?3e2+8e-3=0，

因?yàn)閑∈（0，1），

所以e=，

即C1的離心率為．

（2）由（1）得，

所以C1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為的準(zhǔn)線方程為x=-c，

則由已知得2c+4c+c+c=8?c=1，

所以得，

可得C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了橢圓的離心率以及橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．21.（問答題，12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD||BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，點(diǎn)G在PB上，且．

（1）求證：AG||平面PCD；

（2）求二面角F-AE-D的余弦值．【正確答案】：

【解析】：（1）取FC中點(diǎn)O，連接DO、OG，可證明四邊形AGOD是平行四邊形，可解決此問題；

（2）過D作直線DM⊥平面ABCD，AD⊥CD，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面AEF的一個(gè)法向量，=（0，2，0）是平面AED的一個(gè)法向量，用向量法求二面角F-AE-D的余弦值．

【解答】：（1）證明：如圖，取FC的中點(diǎn)O，連接DO、OG，由題意知==，

∴GO||BC，且GO=BC，由題意知AD||BC，且AD=BC∴GO||AD且GO=AD，

∴四邊形AGOD是平行四邊形，∴AG||DO，

又∵AG?平面PCD，OD?平面PCD，∴AG||平面PCD；

（2）過D作直線DM⊥平面ABCD，AD⊥CD，

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），A（2，0，0），E（1，0，1），F(xiàn)（，，），

則=（-1，0，1），=（-，，），

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為=（x，y，z），

則，令x=1，則z=1．y=-1，

所以平面AEF的一個(gè)法向量為=（1，-1，1），

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，

又AD⊥CD，AD∩PA=A，所以CD⊥平面PA