桿系結(jié)構(gòu)單元

第五章桿系結(jié)構(gòu)單元5.1概述桿系結(jié)構(gòu)主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們常可離散成桿元和梁元。○○○○○○○○○梁拱框架○○○○○桁架坐標系有限元中的坐標系有結(jié)構(gòu)坐標系和單元坐標系。對于一個結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)坐標系一般只有一個；而單元坐標系有很多個，一個單元就有一個單元坐標，并且對每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元的單元剛度矩陣相同，給單元分析帶來方便。XY○○○○○Pxyxy

桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。對于梁單元，y軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。xyzij··5.2桿單元

下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為l，彈性模量為E，軸向分布載荷為px。單元有2個結(jié)點i，j，單元坐標為一維坐標軸x。··ijxlLINKpxujui1、一維桿單元單元結(jié)點力向量：（1）位移模式和形函數(shù)①位移模式單元結(jié)點位移向量因為只有2個結(jié)點，每個結(jié)點位移只有1個自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：（5-3）式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點位移條件

x=xi時，u=ui

x=xj時，u=uj確定。再將由此確定的a1、a2其代入式（5-3），得（5-4）a1a2②形函數(shù)將式（5-4）改寫為下列形式（5-5）式中形函數(shù)[N]為（5-6）（2）應變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應變將式（5-5）、（5-6）代入上式，得上式也可寫為（5-7）式中[B]為應變矩陣（5-8）由應力應變關(guān)系（3）應力矩陣將式（5-7）代入上式，得（5-9）式中[S]為應力矩陣（5-10）(4)單元剛度矩陣單元剛度矩陣仍式（1-33）推出（1-33）對于等截面鉸接桿單元（截面積為A），v=Adx，故有：(5-11)

(5)等效節(jié)點力單元上作用分布力px，則等效節(jié)點力計算公式仍為以下形式當分布力集度px為常數(shù)時，有（5-13）（5-12）將式（5-8）代入上式，得例5-1一維維拉桿圖示階梯梯形直桿桿，各段段長度均均為，橫橫截面積積分別為為3A，，2A，，A，材材料重度度為γ，彈性模模量E。。求結(jié)點點位移和和各段桿桿中內(nèi)力力。離散化：：將單元劃劃分為3個單元元，4個個結(jié)點。。單元剛度度矩陣：：122334等效結(jié)點點荷載：：按靜力力等效原原則，有有:對號入座座，組成成總剛，，形成整整體結(jié)構(gòu)構(gòu)平衡方方程:設(shè)結(jié)點1的約束束反力為為F1，則有:整體結(jié)構(gòu)構(gòu)平衡方方程劃去節(jié)點點1所對對應的第第1行、、行1列列。解得結(jié)點點位移單元應力單元應變單元應變：2、平面面桁架桿單元（（2DLINK1）1234ijxyl（1）單單元坐標標單元位位移向量量1234ijxy看成局部部坐標下下的拉壓壓桿（2）位位移模式式和形函函數(shù)①位位移模式式由于平面面鉸接桿桿單元只只有軸向向力。位位移模式式同式（（5-3）、（（5-4）。（（y方向位位移不引引起單元元力）②形形函數(shù)（5-14）應變矩陣陣[B]為（5-15）（4）應應力矩陣陣應力矩陣陣[S]為（5-16）（3）應應變矩陣陣（5-16）(6)局局部部坐標單單元剛度度矩陣對于等截面面鉸接桿單單元，（5-17）(5)等等效節(jié)點點力靜力等效ijxylz3、空間桿桿單元（3DLINK8）（1）單元元坐標單元元位移向量量124536（5-18）（2）形函函數(shù)（5-19）（3）應變變矩陣（5-20）（4）應力力矩陣（5-21）(5)等等價節(jié)點點力（5-22）(6)單單元坐標標單元剛度度矩陣對于等截面面鉸接桿單單元，（5-23）5.4梁梁單元1、兩端承承受剪力、、彎矩的平平面梁單元元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1）局部部坐標下單單元位移和和單元力①單元元位移（5-24）其中，v——y方向位移，，即撓度。。——角位位移。②單元元力（5-26）其中，Q——剪力M——彎矩（5-27）（2）位移移函數(shù)和形形函數(shù)（5-28）①位移移模式設(shè)單元坐標標位移模式式為②形函函數(shù)由單元兩端端點的節(jié)點點位移條件件，解出式式（5-28）中的的a1、a2、a3、a4。再代入該該式，可將將位移模式式寫為以下下形式：ijxy1234l梁單元內(nèi)一一點有2個個位移：v、因為，=dv/dx；僅一個位移移是獨立的的，取v。（5-29）式中（5-30）（5-31）（3）應變變矩陣①單元元彎曲應變變b與節(jié)點位移移e的關(guān)系。梁單元上任任一點的應應變和該點點撓度之間間關(guān)系為：：（5-32）11xyyρ將式（5-29）代代入（5-32），，得單元彎彎曲應變和和單元位移移之間關(guān)系系（5-34）（5-33）（4）應力力矩陣（5-35）[D][B](5)等等效節(jié)點點力對于梁上作作用的集中中力或集中中力矩，在在劃分單元元時可將其其作用點取取為結(jié)點，，按結(jié)構(gòu)的的節(jié)點載荷荷處理。這里僅考慮慮把單元上上的橫向分分布載荷轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為等價價節(jié)點力問問題。xyijlpy(x)（5-36）將形函數(shù)矩矩陣[N]代入上式式，積分可可得分布荷荷載的等效效結(jié)點力。。表1給出出了幾種特特殊情況的的等價節(jié)點點力。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij幾種橫向分分布荷載等等價節(jié)點力力表表1(6)單單元坐標標單元剛度度矩陣梁單元剛度度矩陣公式式為將式（5-34）代代入上式進進行積分，，并注意到到Iz——梁截面面對Z軸（（主軸）的的慣性矩得單元坐標標單元剛度度矩陣[k]e:（5-37）單元剛度矩矩陣式(5-38)適合于連續(xù)梁分析。（5-38）整體坐標與與局部坐標標方向一致致。例5-4變變截截面梁有一變截面面梁，一端端固定，另另一端鉸支支。梁長為為2l，固支端的的截面盡寸寸為b×1.6h，，鉸支端的的截面尺寸寸為b×h。梁上作作用均布載載荷p0。求梁端的的約束反力力。xy離散化將梁劃分成成2個單元元，3個結(jié)結(jié)點。每個個單元長長度為,截截面取平均均截面。，單元剛度矩矩陣ij1223對號入座，，組合整體剛度度矩陣123123荷載等效結(jié)結(jié)點力向量約束反力向向量123總荷載向量量引入邊界條條件將整體平衡衡方程中對對應的1、、2、5行行和總剛中中1、2、、5列刪去去，得解方程組，，得結(jié)點位位移值將結(jié)點位移移值代入整整體平衡方方程，可得得約束反力力2、兩端承承受軸力、、剪力、彎彎矩的平面面梁單元（平面剛架架，BEAM3)ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1）單元元坐標單元元位移和單單元力①單元元位移（5-39）其中，u——x方向（軸向向）位移。。v——y方向位移，，即撓度。?！俏晃灰啤＂趩卧Γ?-40）其中，N——軸向向力Q——剪力M——彎矩矩對于小變形形問題，可可以認為軸軸向變形和和彎曲變形形互不影響響，因此，，位移模式式和形函數(shù)數(shù)可以分別別按5.3節(jié)一維拉壓桿桿單元和彎剪平面梁梁單元的結(jié)果（式式5-3和和式5-28）簡單單集合而成成。（2）位移移函數(shù)和形形函數(shù)①位移移模式ijxy2356l14（5-41）②形函函數(shù)式中形函數(shù)數(shù)[N]為為：（5-42）（5-43）其中,（3）應變變矩陣①單元元彎曲應變變與節(jié)點位移移e的關(guān)系。軸剪彎梁單單元上任一點的的應變，應應為該點撓撓度（v）引起的應應變和軸向向位移（u）引起的應應變之和。。單元應變矩矩陣為：（5-44）（5-45）(5)等等價節(jié)點點力xyijl圖4-9qy(x)（4）應力力矩陣（5-46）qx將式彎剪梁梁（5-36）、一一維桿（5-11））膨脹成6×1矩陣陣后相加，，并注意到到式（5-43），，有（5-36）（5-11）一維桿彎剪梁最后得等價價節(jié)點力矩矩陣（5-47）荷載分布NiQiMiNjQjMj表2幾幾種種橫向分布布荷載等價價節(jié)點力ijqyqxqyijqxqyijqx(6)單單元坐標標單元剛度度矩陣梁單元剛度度矩陣公式式為（5-48）5.5坐標變換在5.3、、5.4節(jié)節(jié)中，單元元位移和單單元力都是是按單元坐坐標系的坐坐標軸分量量定義的，，由此建立立的單元剛剛度矩陣屬屬于單元坐坐標單元剛剛度矩陣。。進行系統(tǒng)分分析時，需需要把單元元力按統(tǒng)一一的結(jié)構(gòu)坐坐標軸的分分量表示出出來，以便便建立結(jié)點點平衡方程程。因此，，在進行系系統(tǒng)分析之之前，必須須把單元坐標標系中的單單元力以及及單元剛度度矩陣都轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)構(gòu)坐標系中中去。此外，還需需要把結(jié)構(gòu)構(gòu)坐標系中中的節(jié)點位位移轉(zhuǎn)換到到單元坐標標系中去，，以計算結(jié)結(jié)構(gòu)內(nèi)力。。這一轉(zhuǎn)換換過程稱為為坐標變換。。(一維桿和和彎剪梁單單元不需要要坐標變換換，因兩種種坐標系統(tǒng)統(tǒng)方向一致致)結(jié)構(gòu)坐標符號約定：：———結(jié)構(gòu)坐標標單元位移移F———結(jié)構(gòu)坐標標單元力[k]———結(jié)構(gòu)坐標標單元剛度度矩陣1、坐標變變換矩陣定定義把單元位移移從結(jié)構(gòu)坐坐標系轉(zhuǎn)換換到單元坐坐標系的變變換矩陣定定義為坐標變換矩矩陣，用符號[T]表示示。有單元坐標中中的符號約約定：e——單元坐坐標單元位位移Fe——單元坐坐標單元力力[k]e——單元坐坐標單元剛剛度矩陣式（5-58）給出出了結(jié)構(gòu)坐坐標單元位位移轉(zhuǎn)換為為單元坐標標單元位移移的轉(zhuǎn)換式式，同時是是坐標變換換矩陣[T]的定義義式。2、結(jié)構(gòu)坐坐標單元力力單元力在單單元位移上上作的功，，不因其坐坐標系的改改變而變。。則有（5-58）將式（5-58）代代入，對上式兩端端進行轉(zhuǎn)置置，注意到到消去，得得即得（5-59）式（5-59）表明明：結(jié)構(gòu)坐標單單元力等于于單元坐標標單元力前前乘坐標變變換矩陣的的轉(zhuǎn)置。在單元坐標標系中，有有3、結(jié)構(gòu)坐坐標單元剛剛度矩陣上式兩端左左乘[T]T，注意到式（（5-58）、（5-59）），有（5-58）（5-59）[k]———結(jié)構(gòu)坐標標單元剛度度矩陣。得（5-60）式（5-60）給出出了把單元元坐標單元元剛度矩陣陣轉(zhuǎn)換為結(jié)結(jié)構(gòu)坐標單單元剛度矩矩陣的轉(zhuǎn)換換式。引入5.6坐坐標變變換矩陣坐標變換矩矩陣因單元元類型不同同而異。1、平面鉸鉸接桿單元元（桁架元元）設(shè)OXY為為結(jié)構(gòu)坐標標，oxy為單元坐標標。為從單元元i端出發(fā)的任任一矢量。。它在結(jié)構(gòu)構(gòu)坐標系中中的分量為為X、Y；在單元坐坐標系中的的分量為x、y。結(jié)構(gòu)坐標標系中的分分量X、Y在單元坐標標x軸上投影的的代數(shù)和給給出x。同理，X、Y在單元坐標標y軸上投影的的代數(shù)和給給出y。XYxyXYxy（5-61）寫成矩陣形形式，iim+mnbamnab-am取——i節(jié)點在單元坐標系中的位移向量——i節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量x對X、Y的的方向余弦弦y對X、Y的的方向余弦弦同理可得單單元j節(jié)點在單元元坐標系和和結(jié)構(gòu)坐標標系中的位位移向量：：有組合上述結(jié)果果，得平面鉸鉸接桿單元的的單元坐標單單元位移和結(jié)結(jié)構(gòu)坐標單元元位移之間關(guān)關(guān)系：i、j兩節(jié)點間的位位移變換關(guān)系系互不耦合。。上式可寫成坐標變換矩陣陣[T]的計計算式：（5-62）（5-60））○○○○○XYij(e)x（5-62a）式中，（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點點i和節(jié)點j在結(jié)構(gòu)坐標系系中的坐標值值。例5-2兩兩根桁架兩根桿件的橫橫截面積為A，彈性模量量為E，垂直直桿長為，兩兩桿鉸接處受受到水平方向向的外力P。。求結(jié)點位移移和桿中的內(nèi)內(nèi)力。XY（1）單元劃劃分①單元：i=1，j=2，α=45°,單剛為：②單元：i=2，j=3，α=-90°°,單剛為：23(2)整體剛剛度矩陣123123(3)等價價結(jié)點力：僅僅結(jié)點2的結(jié)結(jié)點力可以確確定（4）結(jié)構(gòu)整整體平衡方程程（5）引入約約束1、3結(jié)點約約束，劃去1、2、5、、6行與列，，得（6）節(jié)點位位移（7）單元內(nèi)內(nèi)力整體節(jié)點位移變變換到單元節(jié)節(jié)點位移。單元應變?yōu)閱卧獞閱卧椋?）單元內(nèi)內(nèi)力對于①單元，i=1,j=2,桿長對于②單元，i=2,j=3,桿長l（8）支反力力根據(jù)單元平衡衡求支反力。。F1xF1y（7）結(jié)點力力量（利用用整體平衡方方程）將結(jié)點位移分分量代入整體