2019版數(shù)學(xué)（文）大一輪優(yōu)選講義：第40講　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第40講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1。能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.2017·全國(guó)卷Ⅰ，182017·全國(guó)卷Ⅲ,192017·江蘇卷，152017·浙江卷，19與直線、平面垂直有關(guān)的命題判斷;線線、線面、面面垂直的證明；直線與平面所成的角的計(jì)算；由線面垂直或面面垂直探求動(dòng)點(diǎn)的位置.分值：5~6分1．直線與平面垂直（1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的！!！！__任意一條__＃＃＃＃直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．（2）判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的?。?！__兩條相交直線__##＃#都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?。。?！__a，b?α__##＃＃,!?。?！__a∩b＝O__＃###，！??！!__l⊥a__#＃＃＃,！！!!__l⊥b__#＃#＃））?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線！?。。_平行__#＃##eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（?。。?！__a⊥α__＃###，！?。?！__b⊥α__＃#＃＃))?a∥b2．平面與平面垂直（1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是！?。?！__直二面角__＃#＃＃，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．（2）判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條！?。?！__垂線__＃##＃，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（?。。?！__l?β__＃＃＃#，?。。?！__l⊥α__##＃＃））?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于?。?！__交線__#＃##的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(?。。?！__α⊥β__#＃＃＃，!?。?！__l?β__＃#＃#，?。。?！__α∩β＝a__＃#＃＃,?。。?！__l⊥a__#＃＃＃）)?l⊥α1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“")．(1)直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.（×)(2)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂面有且只有一個(gè)．（√）(3）若兩條直線垂直，則這兩條直線相交．(×)(4）若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一平面．（×)（5)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(×）解析（1)錯(cuò)誤．直線l與α內(nèi)兩條相交直線都垂直才有l(wèi)⊥α。（2）正確．過(guò)一點(diǎn)可以作兩條相交直線都垂直于已知直線,而這兩條相交直線可確定一個(gè)平面，此平面與直線垂直．（3)錯(cuò)誤．兩條直線垂直，這兩條直線可能相交，也可能異面．（4）錯(cuò)誤．兩個(gè)平面垂直，有一條交線，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面,而不是任意一條直線．(5)錯(cuò)誤．α內(nèi)的一條直線如果與β內(nèi)的兩條相交直線都垂直才能線面垂直,從而面面垂直．2．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β"是“a⊥b”的(A）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析由面面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)α⊥β時(shí)，b⊥α。又因?yàn)閍?α，則a⊥b,如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，故“α⊥β"是“a⊥b”的充分不必要條件．故選A．3．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是（C）A．α⊥β，且m?α B．α⊥β，且m∥αC．m∥n，且n⊥β D．m⊥n，n?α,且α∥β解析α⊥β，且m?α?m?β或m∥β或m與β相交，故A項(xiàng)不成立．α⊥β，且m∥α?m?β或m∥β或m與β相交,故B項(xiàng)不成立．m∥n，且n⊥β?m⊥β，故C項(xiàng)成立．m⊥n,n?α，且α∥βeq\o(?,/)m⊥β，故D項(xiàng)不成立．故選C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC,BD，則一定互相垂直的平面有!!!！__7__#＃＃#對(duì)．解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD,平面PCD⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7對(duì)．5．在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC,則點(diǎn)O是△ABC的！！!!__外__####心；（2)若PA⊥PB,PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的！!??！__垂__＃＃##心．解析(1）若PA＝PB＝PC,由勾股定理易得OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心．（2）由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，則PA⊥BC.又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，則AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)(1）證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理;②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)（a⊥α,α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．（2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．（3)線面垂直的性質(zhì)常用來(lái)證明線線垂直．【例1】(2017·天津卷）如圖，在四棱錐P－ABCD中,AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3,CD＝4，PD＝2。（1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2）求證：PD⊥平面PBC;（3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．解析（1）如圖,由已知AD∥BC,可知∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5),故cos∠DAP＝eq\f（AD,AP）＝eq\f（\r(5）,5).所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f(\r（5),5）。（2）證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC，PB?平面PBC，所以PD⊥平面PBC.(3)過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC,DF∥AB，故BF＝AD＝1,由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC,故BC⊥DC，在Rt△DCF中,可得DF＝eq\r（CD2＋CF2)＝2eq\r（5)，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD，DF)＝eq\f（\r(5），5)。所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f（\r（5），5)。二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（a⊥β,a?α?α⊥β）．(2)在已知平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．【例2】(2017·全國(guó)卷Ⅰ）如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,且四棱錐P－ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．解析(1)證明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD。又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E。由（1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD。設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r（2)x，PE＝eq\f(\r（2)，2)x。故四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f（1，3)AB·AD·PE＝eq\f(1，3）x3。由題設(shè)得eq\f（1，3)x3＝eq\f（8,3）,故x＝2.從而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2eq\r（2)，PB＝PC＝2eq\r（2）?？傻盟睦忮FP－ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f（1,2）PA·AB＋eq\f（1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r（3）。三垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題解決垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題的方法同“平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題"的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．【例3】如圖,在三棱臺(tái)ABC－DEF中,CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1）設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a,求證：DF∥a；（2)若EF＝CF＝2BC，試問(wèn)在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)G的位置;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析(1)證明:在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AC∥DF,AC?平面ACE,DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a。(2)線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f（1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下:取CE的中點(diǎn)O，連接FO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G，連接GD?！逤F＝EF，∴GF⊥CE.在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AB⊥BC，∴DE⊥EF。由CF⊥平面DEF,得CF⊥DE。又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF。由GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE＝E，可得GF⊥平面CDE.又GF?平面DFG,∴平面DFG⊥平面CDE.此時(shí)，如平面圖所示,∵O為CE的中點(diǎn),EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f(1，2)EF.由△HGB∽△FGE,可知eq\f（BG，GE)＝eq\f（1，2),即BG＝eq\f(1,3)BE。1．設(shè)m，n是兩條不同的直線,α，β是兩個(gè)不同的平面（C)A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α,則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α解析對(duì)于A，B，D項(xiàng),均能舉出m∥α的反例；對(duì)于C項(xiàng)，若m⊥β，n⊥β,則m∥n，又n⊥α，∴m⊥α.故選C．2．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后,某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐;④平面ADC⊥平面ABC。其中正確的是(B）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④解析由題意知,BD⊥平面ADC，故BD⊥AC,①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形,②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確;由①知④錯(cuò)誤．故選B．3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE。證明（1)在四棱錐P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD，∴PA⊥CD?！逜C⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC。由(1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD。又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。4．如圖,在四棱錐S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn),Q為SB的中點(diǎn)．(1）求證：CD⊥平面SAD；(2)求證：PQ∥平面SCD；(3）若SA＝SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．解析(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD。又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.(2）證明:取SC的中點(diǎn)R，連接QR，DR.由題意知，PD∥BC且PD＝eq\f(1,2)BC.在△SBC中,Q為SB的中點(diǎn)，R為SC的中點(diǎn)，所以QR∥BC且QR＝eq\f（1，2)BC.所以QR∥PD且QR＝PD，則四邊形PDRQ為平行四邊形,所以PQ∥DR.又PQ?平面SCD，DR?平面SCD,所以PQ∥平面SCD。(3）存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn),使得平面DMN⊥平面ABCD.連接PC，DM交于點(diǎn)O，連接PM，SP，NM，ND,NO。因?yàn)镻D∥CM，且PD＝CM，所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以PO＝CO.又因?yàn)镹為SC的中點(diǎn),所以NO∥SP。易知SP⊥AD，因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因?yàn)镹O?平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD。易錯(cuò)點(diǎn)使用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判定時(shí)犯錯(cuò)錯(cuò)因分析:當(dāng)已知中給出了線面垂直，求證的是線線平行時(shí)，若忽略線面垂直的性質(zhì)定理，則覺(jué)得論證無(wú)從下手,從而造成解題困難．【例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在BD，B1C上,且MN⊥BD，MN⊥B1C，求證：MN∥證明連接A1D,A1B，AC?！進(jìn)N⊥B1C，B1C∥A1D，∴MN⊥A1又∵M(jìn)N⊥BD,BD∩A1D＝D，∴MN⊥平面A1BD?！逤C1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD。又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1。∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B.又A1B∩BD＝B,∴AC1⊥平面A1BD。又∵M(jìn)N⊥平面A1BD,∴MN∥AC1.【跟蹤訓(xùn)練1】(2016·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，已知正三棱錐P－ABC的側(cè)面是直角三角形,PA＝6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G。(1）證明：G是AB的中點(diǎn)；（2）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．解析（1）證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD。因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，從而G是AB的中點(diǎn)．(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA,EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1）知，G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上，故CD＝eq\f（2,3）CG.由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB,所以DE∥PC，因此PE＝eq\f(2，3）PG，DE＝eq\f（1,3)PC。由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2eq\r（2)，在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面體PDEF的體積V＝eq\f（1，3)×eq\f(1，2）×2×2×2＝eq\f(4,3).課時(shí)達(dá)標(biāo)第40講[解密考綱]對(duì)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)定理的初步考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；綜合應(yīng)用直線、平面垂直的判定與性質(zhì)常以解答題為主，難度中等．一、選擇題1．若α，β表示兩個(gè)不同的平面，直線m?α，則“α⊥β”是“m⊥β”的（B）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析由面面垂直判定定理，得m⊥β?α⊥β，而α⊥β時(shí)，α內(nèi)任意直線不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．故選B．2．已知平面α⊥平面β,α∩β＝l，點(diǎn)A∈α,A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（D)A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m;AB∥l?AB∥β，只有D項(xiàng)不一定成立．故選D．3．在空間中，l,m，n,a，b表示直線,α表示平面，則下列命題正確的是（D）A．若l∥α，m⊥l，則m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，則l∥nC．若a⊥α，a⊥b，則b∥α D．若l⊥α,l∥a，則a⊥α解析對(duì)于A項(xiàng)，m與α位置關(guān)系不確定，故A項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)l與m，m與n為異面垂直時(shí)，l與n可能異面或相交，故B項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于C項(xiàng)，也可能b?α，故C項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于D項(xiàng)，由線面垂直的定義可知正確．4．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°，BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在（AA．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析∵AC⊥AB，AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC?！郈1在面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．5．如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中,下列命題正確的是(D）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC。6．如圖所示,AB是⊙O的直徑,VA垂直于⊙O所在的平面，點(diǎn)C是圓周上不同于A,B的任意一點(diǎn)，M，N分別為VA,VC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(D)A．MN∥AB B．MN與BC所成的角為45°C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC解析對(duì)于A項(xiàng)，MN與AB異面，故A項(xiàng)錯(cuò);對(duì)于B項(xiàng)，可證BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角為90°,因此B項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于C項(xiàng)，OC與AC不垂直，所以O(shè)C不可能垂直平面VAC，故C項(xiàng)錯(cuò);對(duì)于D項(xiàng),由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC，因?yàn)锳C∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC?平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC，故D項(xiàng)正確．二、填空題7．已知不同直線m,n與不同平面α,β,給出下列三個(gè)命題：①若m∥α，n∥α,則m∥n；②若m∥α,n⊥α,則n⊥m；③若m⊥α,m∥β，則α⊥β。其中真命題的個(gè)數(shù)是！??！!__2__####。解析①平行于同一平面的兩直線不一定平行,所以①錯(cuò)誤．②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知②正確．③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判定定理可知③正確，所以真命題的個(gè)數(shù)是2。8．如圖所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC,N，M分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，下列說(shuō)法正確的是！?。?！__①②__＃＃＃＃(填上所有正確說(shuō)法的序號(hào))．①不論D折至何位置（不在平面ABC內(nèi))都有MN∥平面DEC;②不論D折至何位置都有MN⊥AE；③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))都有MN∥AB.解析①如圖，分別取EC，DE的中點(diǎn)P，Q，由已知易知四邊形MNQP為平行四邊形，則MN∥PQ，又PQ?平面DEC，故MN∥平面DEC.①正確．②取AE的中點(diǎn)O,易證NO⊥AE，MO⊥AE。故AE⊥平面MNO,又MN?平面MNO，則AE⊥MN.②正確．③∵D?平面ABC,∴N?平面ABC，又A，B,M∈平面ABC.∴MN與AB異面．③錯(cuò)誤．9．如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,∠ADC＝90°,且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，當(dāng)D1M⊥平面A1C1D時(shí)，DM＝?。。?！2eq\r(2）##＃＃。解析∵DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC,DD1兩兩垂直，故當(dāng)點(diǎn)M使四邊形ADCM為正方形時(shí)，D1M⊥平面A1C1D,∴DM＝2eq\r（2)。三、解答題10．如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A1D（1）求證：DD1⊥平面ABCD；（2)求證:平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的長(zhǎng)度．解析(1）證明：因?yàn)閭?cè)面ADD1A1和側(cè)面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因?yàn)锳D∩CD＝D，所以DD1⊥平面（2）證明：因?yàn)椤鰽BD是正三角形，且E為AD中點(diǎn),所以BE⊥AD，因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，而B(niǎo)E?平面ABCD，所以BE⊥DD1.因?yàn)锳D∩DD1＝D,所以BE⊥平面ADD1A1,又因?yàn)锽E?平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面ADD1A(3）因?yàn)锽C∥AD，而F為A1D1的中點(diǎn)，所以BC∥A1F,所以B，C，F(xiàn)，A1