中考數(shù)學(xué)壓軸試題復(fù)習(xí)專題四 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題

2222222222因點(diǎn)生平四形題我們先思考三個(gè)問題：．已知、、三，以AB、C、D為點(diǎn)的平行四邊形有幾個(gè)，么畫？．在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的邊與DC平且等？．在坐標(biāo)平面內(nèi)，如何理解平行四邊形ABCD的角線互相平分？圖

圖2

圖如圖，過△的個(gè)頂點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個(gè)點(diǎn)D．如圖，已知A(0,，－2,C(3,，果四邊形是行四邊形，怎樣求點(diǎn)D的標(biāo)呢？點(diǎn)先右平移個(gè)單位再向上平移3個(gè)位與點(diǎn)A重為與平且相等，所以點(diǎn)1)先右平移2單位，再向上平移單位得到點(diǎn)D(5,．如圖3如果平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)，么過點(diǎn)G畫意一條直線（一般與坐標(biāo)軸垂直AC到條直線的距離相等，點(diǎn)、D到條直線的距離相等．關(guān)系式x＋＝＋x和＋＝y(tǒng)＋y有候用起來很便．ACDBD我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合．如圖，點(diǎn)是拋物線＝－x＋x＋3在x上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)⊥x軸點(diǎn)，段AB交線＝x－1于C那么點(diǎn)的標(biāo)可以表示,－x＋x＋，點(diǎn)的標(biāo)可以表示xx－1)線段的可以用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示為＝y(tǒng)＝x＋x＋3A線

段

AC

的

長

可

以

用

A

、

C

兩

點(diǎn)

的

縱

坐

標(biāo)圖表示為AC－y＝－＋2－(x－1)＝－AC

＋x＋2通俗地說數(shù)結(jié)合就是：點(diǎn)在象上以用圖象的解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離．

24201424如圖，拋物線經(jīng)過A0)、B(5,0)、(0,

)

三點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E,是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸方，四邊形是OB為角線的平行四邊形．（1求拋物線的解析式；（2當(dāng)點(diǎn)Ex)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求平行四邊形OEBF的面積S與之的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積的大值；（3是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點(diǎn)、F的標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖請打開幾何畫板文件名“14岳動(dòng)E運(yùn)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)最當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)到的直平分線上邊形恰是正方形．．平行四邊形的積等積的2倍．．第3題探究正方形OEBF先確定點(diǎn)E在的直平分線上，再驗(yàn)證＝EB．（1因?yàn)閽佄锞€與x軸于(1,0)B(5,0)點(diǎn)，設(shè)＝ax－x－5)．代入點(diǎn)C

2)，a．得a．3所以拋物線的解析式為y

10(x5)2x．3（2因?yàn)镾S

＝2＝·(－)OEBFeq\o\ac(△,S)E101040＝x)＝(x5)＝(x2．3所以當(dāng)x＝3時(shí)得最大值，最大值為．此時(shí)點(diǎn)E拋物線的頂點(diǎn)（如圖2（3）如果平行四邊形OEBF是方形，那么點(diǎn)E在的直平分線上且＝EB．當(dāng)x＝

235555時(shí)，(xx)．時(shí)E)．332如圖，設(shè)與于點(diǎn)D，恰好OB＝2DE所以△OEB是腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是方形．

222232322223235所以當(dāng)平行四邊形是方形時(shí)，E()、F(,)2

．圖

圖3考點(diǎn)伸展既然第（3題正方形是在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有個(gè)呢？如圖，如果平行四邊形為形，那么∠OEB°．根據(jù)EH＝HB列方程(x(5)

．525或者由DE＝＝，據(jù)DE＝，方程24

2()(xx3

．這兩個(gè)方程整理以后都是一元三次方程4x－28x－20，這個(gè)方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實(shí)上，這個(gè)方程可以因式分解，(x4)(x)()．如圖，x＝

1；如圖，x＝4；如圖5，＝，但此時(shí)點(diǎn)E在軸方了．這個(gè)方程我們也可以用待定系數(shù)法解：5設(shè)方程的三個(gè)根是、、n，那么4x－28x＋x－＝4(x)()．2根據(jù)恒等式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得方程組圖

28,mnmn20.圖

解得

4,1.

2】22222222】222222225201420如圖直線y＝－3x＋3與x軸分別交于點(diǎn)A拋物線y＝a(x－2)經(jīng)A、B兩，并與軸于另一C其頂點(diǎn)為．（1求，k的；（2拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)，△ABQ是AB底邊的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3在拋物線及其對稱軸上分別取點(diǎn)MN，以、C、MN為點(diǎn)的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．圖請打開幾何畫板文件14益20驗(yàn)在段AB的直平分線上可以體驗(yàn)到，正方形的對角線為AC有一個(gè)頂點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)．．第（）題的等腰三角形只考慮QA＝情形．．第（）題的正方形不可能為，只存在為對角線的情形．（1由＝－3＋，得A，B(0,．將(1,0)B(0,分別代入y＝(x－2)，得

a4解得＝1，k＝－．（2如圖，拋物線的對稱軸為線＝2設(shè)點(diǎn)的標(biāo)為(2,m)．已知(1,0)、B(0,3)，根據(jù)

＝

，列方程

＋m

＝2

＋－

．解得m．所以Q2)．（3點(diǎn)A關(guān)于直線x＝2對稱點(diǎn)為C，AC2．如圖，如果AC為方形的邊，那么點(diǎn)MN都在拋物或?qū)ΨQ軸上．如圖，當(dāng)為方形的對角線時(shí)、中好有一個(gè)點(diǎn)是拋物線的頂(2,1)．因?yàn)閷蔷€＝2，所以正方形的邊長為2．

222222圖

圖

圖考點(diǎn)伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形那么符合條件的點(diǎn)M有幾個(gè)？①如果為角線，上面的正方形AMCN是合條件的M(2,－．②如圖，如果AC為邊，那么MN，＝2．所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為0此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)或3)．第（）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的邊，那么符合條件的點(diǎn)Q有幾個(gè)？①如圖，當(dāng)＝時(shí)，Q(2,．②如圖當(dāng)＝BA＝10時(shí)B為圓心為徑的圓與直線x2有個(gè)交點(diǎn)．根據(jù)＝，列方程＋(m＝，得．此時(shí)(2,3或(2,3．③如圖，當(dāng)AQ＝時(shí)，為心AB為徑的圓與直線＝2有兩個(gè)交點(diǎn)，但是點(diǎn)2,－與、三點(diǎn)共線，所以．圖

圖6

圖7

26201425準(zhǔn)備一張矩形紙片（如圖1，按如圖2操：將△ABE翻，使點(diǎn)落對角線BD上點(diǎn)M，CDF沿翻，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)．（1求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2若四邊形BFDE是形，＝2求菱形BFDE的面積．圖1

圖請打開幾何畫板文件名“14邵動(dòng)D可改變矩形的狀，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EM與在一直線上時(shí)，四邊形是形，此時(shí)矩形的直角被三等分．．平行四邊形的定義和4個(gè)定定理都可以證明四邊形是行四邊．如果平行四邊形BFDE是形么對角線平分一組對角者角線互相垂直這兩個(gè)性質(zhì)都可以解答第2）題．（1如圖，因?yàn)锳B//，所以ABD＝∠．又因?yàn)椤希健?＝4所以∠＝∠3所以//FD．又因?yàn)镋D//BF所以四邊形是行四邊形．圖

圖4（2如圖，如果四邊形BFDE是菱形，那么∠1∠．所以∠1＝＝∠5．由于∠ABC90°，所以∠1∠2∠＝30．所以BD＝＝4，AE

23．所以ME＝

．

所以＝S＝BD＝BFDEBDE考點(diǎn)伸展

83

．第（）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．還可以這樣思考：證明四邊形的兩組對邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形的兩組對角分別相等．這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明＝∠2＝∠＝∠4．這樣其實(shí)就走了彎路，因?yàn)橛桑健?，直接得到//FD根據(jù)平行四邊形的定義來得快．能不能根據(jù)BD互平分來證明呢？也是以的：如圖，設(shè)與于點(diǎn)O根據(jù)“角角邊”證明EMO≌△，到EF互相平分．又因?yàn)锽M＝，于是得到EF與BD互平分．圖

圖第（）題的解法，我們用了菱形的