高中三年級(jí)高考平面向量題型總結(jié)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高中三年級(jí)高考平面向量題型總結(jié)..平面向量一、平面向量的根本概念1.向量既有大小又有方向的量叫做________.我們這里的向量是自由向量，即不變更大小和方向可以平行移動(dòng)。

向量可以用_________來(lái)表示.向量的符號(hào)表示____________________.2.向量的長(zhǎng)度向量的大小也是向量的長(zhǎng)度（或_____），記作_________.3.零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作________.4.單位向量__________________________.5.平行向量和共線向量假設(shè)向量的基線平行或重合，那么向量平行或共線；

兩個(gè)非零向量方向一致或相反.記作________規(guī)定___________________.留神理解好共線（平行）向量。

6.相等向量_______________________.例以下說(shuō)法正確的是_____①有向線段就是向量，向量就是有向線段；

②那么；

③④若，那么A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

⑤全體的單位向量都相等；

二、向量的線性運(yùn)算（一）向量的加法1.向量的加法的運(yùn)算法那么____________、_________和___________.（1）向量求和的三角形法那么適用于任何兩個(gè)向量的加法，不共線向量或共線向量；

模長(zhǎng)之間的不等式關(guān)系_______________________；

“首是首，尾是尾，首尾相連”例1.已知AB8，AC5，那么BC的取值范圍__________例2.化簡(jiǎn)以下向量（1）（2）（2）平行四邊形法那么適用不共線的兩個(gè)向量，當(dāng)兩個(gè)向量是同一始點(diǎn)時(shí)，用平行四邊形法那么；

是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，如圖例1.（09山東）設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，那么A.B.C.D.例2.（13四川）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，，那么.（3）多邊形法那么2.向量的加法運(yùn)算律交換律與結(jié)合律（二）向量的減法減法是加法的逆運(yùn)算，A.（終點(diǎn)向量減始點(diǎn)向量）在平行四邊形中，已知以、為鄰邊的平行四邊形中，分別為平行四邊形的兩條對(duì)角線，當(dāng)時(shí)，此時(shí)平行四邊形是矩形。

例1.已知，且，那么______例2.設(shè)點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在線段BC外，BC16，，那么向量的加減運(yùn)算例1.（08遼寧）已知、是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，直線上有一點(diǎn)，得志20，那么______A.2-B.2C.D.例2.15課標(biāo)全國(guó)I）設(shè)D是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，那么______A.B.C.D.例3.（12全國(guó)）在中，邊上的高為,a,b,ab0,,那么______例4.（10全國(guó)）在中，點(diǎn)在邊上，平分，若a,b,，那么________例5.在中，設(shè)為邊的中點(diǎn),為邊的中點(diǎn),若，那么___例6.（15北京理）在中，點(diǎn)得志，若，那么例7.（13江蘇）設(shè)、分別是的邊、上的點(diǎn)，若，若,為實(shí)數(shù)，那么_________例8.（12東北四市一摸）在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，內(nèi)角的對(duì)邊，若0，那么的外形為_(kāi)_______三）實(shí)數(shù)與向量的積1.定義實(shí)數(shù)與非零向量的乘積是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度是__________.它的方向是_________________________________________________________.當(dāng)時(shí)，_______2.數(shù)乘向量的幾何意義是把向量同方向或反方向擴(kuò)大或縮小。

3.運(yùn)算律設(shè)、是任意向量，是實(shí)數(shù)，那么實(shí)數(shù)與向量的積適合以下運(yùn)算4.向量共線的判斷（平行向量的根本定理）①假設(shè)，那么；

若，，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使得.②若、是兩個(gè)不共線的非零向量，那么它們共線的充要條件是存在兩個(gè)均不是零的實(shí)數(shù)，使________.③若，不共線，，那么在有意義的前提下，例1.（15課標(biāo)全國(guó)II）設(shè)向量若、是兩個(gè)不平行的向量，向量與平行，那么例2.（09湖南）對(duì)于非零向量“”是“”的___A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件例3.（12四川）設(shè)a，b都是非零向量，以下四個(gè)條件中，使成立的充分條件是A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2bD．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|5.單位向量給定一個(gè)向量，與同方向且長(zhǎng)度為1的向量叫做的單位向量，即_______________重要結(jié)論已知，為定點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn).①0_______________________________________________.②若，那么為_(kāi)_________________________③若（），，那么點(diǎn)的軌跡__________________.④若_________,,那么點(diǎn)的軌跡通過(guò)的內(nèi)心⑤若__________________________,那么點(diǎn)的軌跡是的外心⑥若__________________________,那么點(diǎn)的軌跡是的垂心例1.（10湖北）在中，點(diǎn)得志0，若存在實(shí)數(shù)，使得，那么________.例2.在中，重心為G，若，那么例3.在中，重心為G，若，那么三、平面向量的根本定理一）平面向量根本定理內(nèi)容假設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使__________________,其中、是一組基底，記作_______._____________叫做向量關(guān)于基底的分解式。平面向量根本定理是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的根基。

留神只要是不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，由于零向量與任一向量都平行，所以零向量確定不能作為基底；

基底不唯一；

任一向量可以由一組基底來(lái)表示，但表示方法是唯一的。

例1.（14福建）在以下向量組中，可以把向量表示出來(lái)的是______A.B.C.D.例2.（09安徽）在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，若，那么（2）平面向量根本定理與向量共線條件的綜合應(yīng)用設(shè)是直線上兩點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，存在，使___________________________成立.反之，得志上式的點(diǎn)在直線上.更加地，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，那么_________________________.例1.已知、是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，得志30那么____A.3-2B.23C.D.例2.數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若平面上的三個(gè)不共線的向量、、得志，且三點(diǎn)共線，那么例3.已知向量不共線，且，，若三點(diǎn)共線，那么實(shí)數(shù)應(yīng)得志的條件_____A.B.C.D.例4.（07江西）如圖，在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交直線、于不同兩點(diǎn).若，，那么___的最大值為_(kāi)______例5.在中，設(shè)為邊的任意點(diǎn)，為中點(diǎn)，，那么_____.例6.在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，那么_____.NMOCBAABMDGNCA例7.如圖，在中，設(shè)為邊的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，過(guò)任作一條直線分別交、于兩點(diǎn)，若，，試問(wèn)是否為定值四、平面向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算（一）向量的正交分解與向量的直角坐標(biāo)1.向量的垂直假設(shè)兩個(gè)向量的基線彼此垂直，那么這兩個(gè)向量彼此垂直；

2.向量的正交分解假設(shè)基底的兩個(gè)基向量彼此垂直，那么稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

3.在平面直角坐標(biāo)系下，分別取與x軸，y軸方向一致的兩個(gè)單位向量作為基底，對(duì)于平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得.有序數(shù)對(duì)叫做的坐標(biāo)，記作留神（1）每一個(gè)向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，向量有代數(shù)法和幾何法兩種表示。

（2）符號(hào)有了雙重的意義，既可以表示固定的點(diǎn)，又可以表示向量；

平面向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有點(diǎn)始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等。

（二）向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.若，那么.2.若，那么_______________||__________________3.若，那么4.若，,那么有________________.5.三角形ABC的重心坐標(biāo)公式為_(kāi)___________________________五、平面向量的數(shù)量積1.平面向量數(shù)量積的定義①向量的夾角已知兩個(gè)非零向量，過(guò)點(diǎn)作，那么________,叫作向量的夾角.當(dāng)________________時(shí)，與垂直，記作_________.當(dāng)________________時(shí)，與平行或共線.留神理解什么是兩向量的夾角以及兩向量夾角的范圍。

②向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，那么把_____________叫做向量的數(shù)量積（內(nèi)積），記作__________________.③規(guī)定0④向量數(shù)量積的幾何意義_______________________________________________________.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，是與方向一致的單位向量，是與的夾角，那么①②_______________________③當(dāng)同向時(shí)，.當(dāng)反向時(shí)，更加地，④⑤3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律留神向量的數(shù)量積無(wú)______律，無(wú)_______律.4.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算①若，那么②若，那么③若，那么的充要條件為_(kāi)_____________④，那么的充要條件為_(kāi)_____________⑤求角問(wèn)題若非零向量，是的夾角，那么留神向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示，它的運(yùn)算也有兩種方式即基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法.典型例題（一）向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算，留神兩個(gè)向量的夾角，利用平面向量的根本定理選好基底例1.對(duì)任意向量，以下關(guān)系式中不恒成立的是______A.B.C.D.例2.已知向量，得志，，那么向量的夾角為_(kāi)_____例3.（11江西）已知，那么的夾角為_(kāi)_____例4.（13全國(guó)）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，，若那么例5.（13江西）設(shè)、為單位向量，與的夾角為，若，那么向量在方向的射影為_(kāi)__例6.已知向量，得志，，那么例7.14課標(biāo)全國(guó)）已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若，那么與的夾角為_(kāi)____例8.（10湖南）在直角三角形中，那么_____例9.（15湖北）已知向量，那么例10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂