勾股定理逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)勾股定理的逆定理1．掌握勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用；(難點(diǎn))2．理解勾股數(shù)的定義，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入據(jù)說幾千年前的古埃及人就已經(jīng)知道，在一根繩子上連續(xù)打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后用釘子將第1個(gè)與第13個(gè)結(jié)釘在一起，拉緊繩子，再在第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)處各釘上一個(gè)釘子，這樣圍成的三角形中最長邊所對(duì)的角就是直角，你知道為什么嗎？、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理的逆定理【類型一】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形．在厶ABC中，ZA=20°,ZB=70°；在AABC中，AC=7,AB=24,BC=25；△ABC的三邊長a、b、c滿足(a+b)(a—b)=c2.解析：(1)已知兩角可以求出另外一個(gè)角；(2)使用勾股定理的逆定理驗(yàn)證；(3)將式子變形即可使用勾股定理的逆定理驗(yàn)證．解：(1)在厶ABC中，VZA=20°,ZB=70°,AZC=180°-ZA-ZB=90。，即△ABC是直角三角形；JAC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625，?:AC2+AB2=BC2?根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；*.*(a+b)(a—b)=c2,?：a2—b2=c2，即a2=b2+c2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.方法總結(jié)：在運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)，要特別注意找到最大邊，定理描述的是最大邊的平方等于另外兩邊的平方和．【類型二】利用勾股定理的逆定理求角的度數(shù)如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，求ZAPB的度數(shù).解析：根據(jù)已知條件PA=3，PB=4，PC=5，易知PA2+PB2=PC2，但PA、PB、PC不在同一個(gè)三角形中，可構(gòu)造邊長分別為3、4、5的直角三角形來解決問題．解：在△ABC所在的平面內(nèi)，以A為頂點(diǎn)，AC為邊在△ABC外作ZDAC=ZPAB，且AD=AP.連接DC，PD，則厶ADC^AAPB，所以DC=PB，ZAPB=ZADC.因?yàn)镻A=AD，ZPAD=ZBAC=60°，所以AAPD為等邊三角形.所以PD=PA=AD=3,ZADP=60°.又因?yàn)镈C=BP=4,PC=5，且PD2+DC2=32+42=52=PC2，所以△PDC為直角三角形且ZPDC=90°?所以ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=60°+90°=150°.方法總結(jié)：解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．把長度分別為3、4、5的線段轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角形的三邊，利用勾股定理的逆定理判斷此三角形是直角三角形，進(jìn)而求出角度．【類型三】利用勾股定理的逆定理解決面積問題如圖所示，已知AD是厶ABC邊BC上的中線，BC=10cm,AC=4cm,AD=3cm，求SAABC.解析：由厶DAC的三邊長，易判定該三角形是直角三角形，再由面積公式求出DC邊上的高，進(jìn)而可求厶ABC的面積，也可根據(jù)中線等分三角形面積求解．解：過點(diǎn)A作AE丄BC交BC于點(diǎn)E.TAD是厶ABC的中線，.?.CD=12BC=12X10=5(cm)?VCD2=52=25，AD2+AC2=32+42=25，AAD2+AC2=CD2，AADAC是直角三角形.TS△ADC=12AD?AC=12DC?AE，AAE=AD?ACDC=3X45=125(cm)???.SAABC=12BC?AE=12X10X125=12(cm2)?方法總結(jié)：先用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再用面積法求AE的長，進(jìn)而求出△ABC的面積?還可先求出SAADC,再由AD是中線，得SAABD=SAADC，I卩SAABC=2SAADC，從而得解?【類型四】利用勾股定理的逆定理證垂直如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,對(duì)角線AC=5,BD=12,兩底AD、BC的和為13.求證：AC丄BD.解析：由于兩底的和已知，且對(duì)角線長度已知，應(yīng)先將對(duì)角線平移，再尋找解題途徑，由勾股定理的逆定理可以判定DB丄DE,從而證明AC丄BD.證明：過D作DE〃AC交BC的延長線于E點(diǎn).又VAD^BC,?:四邊形ACED為平行四邊形????DE=AC=5,CE=AD?在△BDE中，BD=12,DE=5,BE=BC+CE=BC+AD=13,且52+122=132,DE2+BD2=BE2,??.ABDE為直角三角形，即二ZBDE=90°,則DE丄BD?又VDE#AC,AAC丄BD.方法總結(jié)：利用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判定直角三角形,從而推出兩線的垂直關(guān)系.探究點(diǎn)二：勾股數(shù)下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的是（填序號(hào)）.①32,42,52；②9,40,41；③13,14,15；④0.9,1.2,1.5.解析：第①組不符合勾股數(shù)的定義，不是勾股數(shù)；第③④組不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)；只有第②組的9,40,41是勾股數(shù)?故填②.方法總結(jié)：判斷勾股數(shù)的方法：必須滿足兩個(gè)條件：一要符合等式a2+b2=c2；二要都是正整數(shù).三、板書設(shè)計(jì)教學(xué)反思:本