初二數(shù)學(xué)動點問題練習(xí)含答案2

動態(tài)問題所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D．過點C作數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想1、如圖1，梯形ABCD中，AD數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想1、如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，點Q從C開始沿CB向點B以2cm/秒的速度移動，如果P，Q分別從A，C同時出發(fā)，設(shè)移動時間為t秒。當t=時，四邊形是平行四邊形；6當t=時，四邊形是等腰梯形.82、如圖2，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為53、如圖，在RtABC△中，9060ACBB°，°，2BC．點O是AC的中點，過①當度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為；②當度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為；OECDAl當90°時，判斷四邊形EDBC是OECDAl解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）當∠α=900時，四邊形EDBC是菱形.B∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四邊形EDBC是平行四邊形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.O33 1 CO33AC∴AB=4,AC=2.∴AO=2 =.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四邊形EDBC是平行四邊形， AB∴四邊形EDBC是菱形 （備用圖）4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.ACDEACDECEDCEDN BB ABA 圖1N 圖3 圖2 N(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE當MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．AEF90o，且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AEEF．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．DFDF解：（1）正確． A證明：在AB上取一點M，使AMEC，連接DFDFBMBE．BME45°，AME135°．QCF是外角平分線，DCF45°，ECF135°．MB EC GAMEECF． B EC G 圖1DFQAEBBAE90°，AEBCEF90°，DFBAECEF．△AME≌△BCF（ASA）．AEEF．（2）正確．證明：在BA的延長線上取一點N．使ANCE，連接NE．BDD圖2BNBE．DD圖2Q四邊形ABCD是正方形，AD∥BE． AADAEBEA．NAECEF．△ANE≌△ECF（ASA）．AEEF． B CEG B CEG圖36、如圖,射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點,AB=5且A到射線MB的距離為3,動點P從M沿射線MB方向以1個單位/秒的速度移動，設(shè)P的運動時間為t.求（1）△PAB為等腰三角形的t值；（2）△PAB為直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45°，其他條件不變，直接寫出△PAB為直角三角形的t值7、如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，過點E作EF∥BC交CD于點F．AB4，BC6，∠B60.求：（1）求點E到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PMEF交BC于點M，過M作MN∥AB交折線ADC于點N，連結(jié)PN，設(shè)EPx.①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由；ADEFADEFPN②當點N在線段ADEFADEFPNADADEFPBCBCBCM M 圖1 圖2 圖3ADEFADEFADEF BC BC 圖4（備用） 圖5（備用）1BEAB2．解（1）如圖1，過點E作EGBC于點G．∵E為AB的中點，∴ 2 1BGBE1，EG22123．在Rt△EBG中，∠B60，∴∠BEG30．∴ 2如圖2，過點P作PHMN于H，∵MN∥AB，CG圖1NDEFDEFPH即點EDEFDEFPH（2）①當點N在線段AD上運動時，△PMN的形狀不發(fā)生改變．∵PMEF，EGEF，∴PM∥EG．∵EF∥BC，∴EPGM，PMEG3．同理MNAB4． B 13 A∴∠NMC∠B60，∠PMH30．∴PH2PM2． 3 35∴MHPMgcos30．則NHMNMH4．2 22BC 5232 GM在Rt△PNH中，PNNH2PH2227． 圖2∴△PMN的周長=PMPNMN374．②當點N在線段DC上運動時，△PMN的形狀發(fā)生改變，但△MNC恒為等邊三角形．當PMPN時，如圖3，作PRMN于R，則MRNR．3類似①，MR．∴MN2MR3．∵△MNC是等邊三角形，∴MCMN3．2此時，xEPGMBCBGMC6132．ADEAADEADEFPDEFPNRF（P） NN BCBCBC G M G M G M 圖3 圖4 圖5當MPMN時，如圖4，這時MCMNMP3．此時，xEPGM61353．當NPNM時，如圖5，∠NPM∠PMN30．則∠PMN120，又∠MNC60，∴∠PNM∠MNC180．因此點P與F重合，△PMC為直角三角形．∴MCPMgtan301．此時，xEPGM6114．綜上所述，當x2或4或53時，△PMN為等腰三角形．8、如圖，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，點D為AB的中點．(1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？QD解：（1）①∵t1秒，∴BPCQ313QD∵AB10厘米，點D為AB的中點，∴BD5厘米．又∵PCBCBP，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD．BCP又∵ABAC，∴BC，∴△BPD≌△CQP． vvBPCQ △BPD≌△CQP BC，則BPPC4，CQBD5，②∵P Q，∴ ，又∵ ，，CQ515vBP4Qt44t P，點Q運動的時間 3 3秒，∴ 3 厘米/秒?！帱c15 80x3x210 x（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得4 ，解得 3秒．80380∴點P共運動了3 厘米．∵8022824，∴點P、點Q在AB邊上相遇，80∴經(jīng)過3秒點P與點Q第一次在邊AB上相遇．9、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B．C．D重合．證明不論E、F在BC．CD上如何滑動，總有BE=CF；當點E、F在BC．CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接AC∴△ABC和△ACD為等邊三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB?！唷螦BE=∠AFC?！嘣凇鰽BE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）?！郆E=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF。作AH⊥BC于H點，則BH=2，22AECFABC11SSBCAH作AH⊥BC于H點，則BH=2，22AECFABC11SSBCAHBCABBH4322四形邊。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC°=60，∴∠BAE=∠FAC?！摺螧AD=120°，∴∠ABF=60°。故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時△CEF的面積就會最大．∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF43123232323。2∴△CEF的面積的最大值是3。【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。【分析】（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，從而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。 （2）由△ABE≌△ACF可得S =S ，故根據(jù)S F=S +S =S +SE=S△ABE△ACF 四邊形AEC △AEC△ACF△AEC△AB △ABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)S =S －S ，△CEF四邊形AECF △AEF則△CEF的面積就會最大。10、如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點，射線CD⊥OB交AB于點D，OC=2．點P從點A出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿AB方向運動，點Q從點C出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿CD方向運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達到點B時停止運動，點Q也隨之停止．過點P作PE⊥O