物理競賽微積分初步(求導(dǎo)積分)

物理競賽微積分初步(求導(dǎo)積分)第一頁，共29頁。微積分初步函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)的不定積分與定積分第二頁，共29頁?！?函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分一、變量、常量與函數(shù)變量：在某一過程中取值會不斷變化的量。常量：在某一過程中取值始終不變的量。函數(shù)：變量y

按某種確定的關(guān)系隨變量x

的變化而變化，則稱y

是x

的函數(shù)，x

叫自變量，y

叫因變量，寫作：y=f(x)

例：y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x復(fù)合函數(shù)：若y是z的函數(shù)y=f(z)，而z又是

x的函數(shù)z=g(x)，則稱y是x

的復(fù)合函數(shù)，記作：

y=(x)=f[g(x)]例：y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)第三頁，共29頁。二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)△x△yxyy=f(x)xx+△x

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在x處有一增量△x，相應(yīng)地函數(shù)有增量△y，則比值叫函數(shù)y=f(x)在x到x+△x之間的平均變化率。函數(shù)y=f(x)在x

處的導(dǎo)數(shù)定義為：第四頁，共29頁。例：求函數(shù)y=x2

在x=1和x=3時的導(dǎo)數(shù)值。解：由有所以當x=1

時，y’=2，當x=3

時，y’=6第五頁，共29頁?！鱴△yxyy=f(x)xx+△xPQ導(dǎo)數(shù)的幾何意義：從圖中知道，

△y/△x是過P、Q兩點的割線的斜率，而當△x0時，割線成為過P點的切線，因而導(dǎo)數(shù)y’=f’(x)表示曲線在x處切線的斜率。函數(shù)y=f(x)在某處的導(dǎo)數(shù)值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點處函數(shù)y=f(x)隨x的變化率。第六頁，共29頁?；竞瘮?shù)導(dǎo)數(shù)公式第七頁，共29頁。導(dǎo)數(shù)的基本運算法則：（設(shè)u=u(x),v=v(x)）第八頁，共29頁。例1：求y=x3lnx

的導(dǎo)數(shù)解例2求y=sinx/x的導(dǎo)數(shù)解第九頁，共29頁。二階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)前述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是y對x的一階導(dǎo)數(shù)，若將一階導(dǎo)數(shù)y’再次對x

求導(dǎo)，則為二階導(dǎo)數(shù)：同理，將二階導(dǎo)再對x

求導(dǎo)則為三階導(dǎo)，三階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)則為四階導(dǎo)等。例求y=x3+3x2

的二階導(dǎo)數(shù)第十頁，共29頁。三、函數(shù)的極值x1x2x3xy若函數(shù)y=f(x)在某一點

x1

的函數(shù)值f(x1)比鄰近各點的函數(shù)值都大或都小，則稱x1

為一個極值點，f(x1)為函數(shù)的一個極值。圖中x1

和x3為極大值點，x2為極小值點，f(x1)和f(x3)為極大值，f(x2)為極小值。極值點處的切線一定是水平的，因而極值點的判定條件是：f’(x)=0極大值點的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＜0極小值點的條件是：f’(x)=0，f’’(x)＞0第十一頁，共29頁。例求函數(shù)y=4x3-3x2+5

的極值點和極值解：因y’=12x2-6x

令y’=0得x1=0,x2=1/2

此為其兩個極值點。又y’’=24x-6，有y’’(x1)=-6＜0，y’’(x2)=6＞0因而x1=0

是極大值點，對應(yīng)的極大值為y1=5x2=1/2是極小值點，對應(yīng)的極小值為y2=19/4第十二頁，共29頁。四、函數(shù)的微分例求函數(shù)y=5x+sinx的微分函數(shù)y對自變量

x的導(dǎo)數(shù)可將

dx看成是自變量x的一個趨于零的微小增量，稱為自變量的微分；而相應(yīng)的將

dy看成是函數(shù)y的微小增量，稱為函數(shù)的微分。有：第十三頁，共29頁?！?不定積分一、原函數(shù)

前一節(jié)學(xué)了求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f’(x)，現(xiàn)若已知一函數(shù)

F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)

，要求原函數(shù)F(x)

例因(x3)’=3x2，所以x3為3x2

的原函數(shù)（sinx)’=cosx，

sinx是cosx的原函數(shù)∵

F’(x)=[F(x)+c]’，c為任意常數(shù)，∴函數(shù)f(x)的原函數(shù)有任意多個：F(x)+c

第十四頁，共29頁。二、不定積分定義：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+c

叫f(x)的不定積分，記為：不定積分的性質(zhì)：這說明不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運算。第十五頁，共29頁。不定積分公式：第十六頁，共29頁。不定積分運算法則：3.若能找到函數(shù)u=u(x)，使且積分較易求出，則：第十七頁，共29頁。例1求解：令u=1+x,微分得：du=dx，有：第十八頁，共29頁。例2求解：令u=ax+b,微分得：du=adx，有：第十九頁，共29頁。例3求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：第二十頁，共29頁。例4求解：令u=e3x,微分得：du=3e3xdx，有：第二十一頁，共29頁?！?定積分

設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]作n等分，各小區(qū)間的寬度為△x，又在各小區(qū)間內(nèi)選取一點xi得出函數(shù)在這些點處的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x定義：為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分。f(x)為被積函數(shù)，a,b分別為積分下限和上限。第二十二頁，共29頁。定積分的幾何意義：abxyy=f(x)f(xi)△x由圖可知f(xi)△x為圖中一個小區(qū)間的面積，因而定積分：表示了區(qū)間[a,b]上，曲線y=f(x)下方的面積。注意：定積分的值有正也有負，因而這并非通常意義下的面積。第二十三頁，共29頁。定積分的主要性質(zhì)：第二十四頁，共29頁。定積分的計算（牛頓－萊布尼茨公式）若不定積分則定積分由此可知：求函數(shù)的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數(shù)F(x)），再求F(b)-F(a)第二十五頁，共29頁。例1求解：令u=x2+1,微分得：du=2xdx，有：第二十六頁，共29頁。例2求解：令u=co