2023年第21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷(初三第2試含答案)

21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕一、選擇題〔6742分〕1、假設(shè)x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n為整數(shù)，則x與y的數(shù)量關(guān)系為〔 〕A、x=4y B、y=4xC、x=12y D、y=12x1 2 2、如圖B為半圓O的直徑C是半圓上一點(diǎn)，且，設(shè)扇形、、弓形BmC的面積為S、S、S，則它們之間的關(guān)系是〔 〕1 2 A、S1＜S＜S B、S＜S＜S2 3 2 1 3 2 3 2 C、S1＜S＜S D、S＜S2 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3、設(shè)x，x是方程x2+x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x3﹣5x2+10=1 2 1 A、﹣29 B、﹣19C、﹣15 D、﹣94、如圖，正方形DE為D，交C于點(diǎn)12的大小關(guān)系為〔 〕AC2

B2D、無(wú)法確定5、方程3x2+xy+y2=3x﹣2y的非負(fù)整數(shù)解〔x，y〕的組數(shù)為〔 〕A、0 B、1C、2 D、36、如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某頂峰時(shí)刻，單位時(shí)間進(jìn)出路口A，B，C的1 2 3 1 3 機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如下圖．圖中x1，x2，x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB，BC，CA的機(jī)動(dòng)車輛〔假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)在上述路段中同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等則〔 〕1 2 3 1 3 A、x＞x＞x B、x＞x＞xC、x＞x＞x D、x＞x＞x2 3 1 3 2 1二、填空題〔8756分〕7、假設(shè)p和q為質(zhì)數(shù)，且5p+3q=91，則p=

，q= ．8、設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值為 ．9°B與點(diǎn)C的距離等于，則此工件的面積為 ．1頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕10設(shè)關(guān)于x的﹣元二次方程x2+2kx+﹣k=0有兩個(gè)實(shí)根則k的取值范圍為 ．11、如圖，△ABC為等邊三角形，ADBC邊上的高，且AB=2，則正方形ADEF的面積為3．12、如圖，用紅，藍(lán)，黃三色將圖中區(qū)域A、B、C、D著色，要求有公共邊界的相鄰區(qū)域不能涂一樣的顏色．滿足恰好A涂藍(lán)色的概率為 ．122、如圖，在C，過(guò)B作A1，過(guò)A1作A1B122

，得221陰影AB1；再過(guò)1作BA2，過(guò)2作A221

B，得陰影

BB如此下去．請(qǐng)猜測(cè)這樣得到的全部陰影三角形的面積之和為 ．143×31～99數(shù)字最小的那個(gè)格子涂綠色．設(shè)M為三個(gè)紅色方格中數(shù)字最小的那個(gè)數(shù)，m是三個(gè)綠色方格中數(shù)字最大的那個(gè)數(shù)，則M﹣m可以有 三、解答題〔452分〕

個(gè)不同的值．B是一次函數(shù)xA2C在直線B為等腰三角形，求C點(diǎn)坐標(biāo)．、如圖，四邊形DO過(guò)正方形的頂點(diǎn)A和對(duì)角線的交點(diǎn)，分別交、2頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕AD于點(diǎn)F、E．求證：DE=AF；假設(shè)O的半徑，= ，的值．177×764些正方形的面積有多少個(gè)不同的值？18、k、a、b為正整數(shù)，ka2、b2整除所得的商分別為m，m+116．a(chǎn)，b互質(zhì)，證明a2﹣b2a2、b2都互質(zhì)；a，b互質(zhì)時(shí)，求k的值．a(chǎn)，b5，求k的值．3頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔6742分〕1、假設(shè)x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n為整數(shù)，則x與y的數(shù)量關(guān)系為〔 〕A、x=4y B、y=4xC、x=12y D、y=12x考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；分式的化簡(jiǎn)求值。專題：轉(zhuǎn)化思想；因式分解。分析：觀看x=2n+1+2n、y=2n﹣1+2n﹣2，覺(jué)察均是用底數(shù)為2的冪組成．因而可計(jì)算的值，即，通過(guò)分子、分母均提取公因式2n﹣2，并約分，最終求得的值．解答：解：∵====4A點(diǎn)評(píng)：此題考察因式分解的應(yīng)用、分式的化簡(jiǎn)求值．解決此題的關(guān)鍵是將比較x與y的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求比值，即求．2B為半圓OC，設(shè)扇形、、弓形1 2 BmC的面積為S、S、S，則它們之間的關(guān)系是〔 〕1 2 A、S1＜S＜S B、S＜S＜S2 3 2 1 3 2 3 2 C、S1＜S＜S D、S＜S＜S2 3 2 1 3 2 3 2 專題：應(yīng)用題。分析：設(shè)出半徑，做出△COB底邊BC上的高，利用扇形的面積公式和三角形的面積公式表示出三個(gè)圖形面積，比較即可求解．解：作C交C與點(diǎn)．S扇形；．4頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕在三角形D，，= R，，S弓，S S > ＞ ，∴＜＜S S 2 1 3應(yīng)選B．用扇形公式計(jì)算出第一個(gè)扇形的面積，再利用弓形等于扇形﹣三角形的關(guān)系求出弓形的面積，進(jìn)展比較得出它們的面積關(guān)系．1 2 1 3、設(shè)x，x是方程x2+x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x3﹣5x2+10=1 2 1 A、﹣29 B、﹣19C、﹣15 D、﹣9考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；代數(shù)式求值。專題：計(jì)算題。1分析：x1，x2是方程x2+x﹣4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x12=4﹣x，x22=4﹣x2，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．1x，x是方程2x0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，1 2x﹣x，x2﹣xxx，1 1 2 2 1 2x﹣x2x﹣x〕〔﹣x〕，1 2 1 1 21 1 =4x﹣〔4﹣x〕﹣20+5x+101 1 =5〔x1+x2〕﹣24+10，=﹣5﹣14，=﹣19．應(yīng)選B．點(diǎn)評(píng)：此題考察了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于根底題，關(guān)鍵是把握把所求代數(shù)式進(jìn)展合理變形，利用條件進(jìn)展求解．4、如圖，正方形DE為D，交C于點(diǎn)12的大小關(guān)系為〔 〕AC2

B2D、無(wú)法確定5頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕考點(diǎn)：相像三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。，求得F的長(zhǎng)，可得依據(jù)勾股定理即可求得F的長(zhǎng)，即可判定，即可解題．，，，，且相像比為2，，，，，2．F是解題的關(guān)鍵．5、方程3x2+xy+y2=3x﹣2y的非負(fù)整數(shù)解〔x，y〕的組數(shù)為〔 〕A、0 B、1C、2 D、3考點(diǎn)：非一次不定方程〔組。專題：計(jì)算題。分析：要求方程3x2+xy+y2=3x﹣2y的非負(fù)整數(shù)解〔x，y〕的組數(shù)，進(jìn)展簡(jiǎn)潔的化簡(jiǎn)得3〔x﹣〕2+〔y+1〕2=，然后進(jìn)展?fàn)幷?，可以得到結(jié)論．解答：解：3x2+xy+y2=3x﹣2y，3x2+xy+y2﹣3x+2y=0，3〔x﹣〕2+〔y+1〕2=當(dāng)0，即，當(dāng)1，即x=2時(shí)，y無(wú)解．x＞2時(shí)，y均無(wú)解，3x2+xy+y2=3x﹣2y的非負(fù)整數(shù)解〔x，y〕2．應(yīng)選C件，敏捷運(yùn)用．6、如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某頂峰時(shí)刻，單位時(shí)間進(jìn)出路口A，B，C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如下圖．圖中x1，x2，x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB，BC，CA的機(jī)動(dòng)車輛〔假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)在上述路段中同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等則〔 〕6頁(yè)1 2 3 1 3 21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕1 2 3 1 3 A、x＞x＞x B、x＞x＞xC、x＞x＞x D、x＞x＞x2 3 1 3 2 1考點(diǎn)：整式的加減。專題：其他問(wèn)題。分析：給出一個(gè)交通環(huán)島，通過(guò)圖形給出一些數(shù)據(jù)，其實(shí)問(wèn)題就是加減法，但要抓住主線，即車輛的來(lái)源．據(jù)此列方程比較其大小一眼可見(jiàn)．3 3 1 1 1 1 解：依題意，有xx﹣x＜x，2xxxx3 3 1 1 1 1 2 2 3 3x﹣xxx．C2 2 3 點(diǎn)評(píng)：x1A50x33 3 1 3 3 ﹣55x1=50+x﹣55=x﹣5，所以x＜x，同理得x＜x，答案為C．二、填空題〔87563 3 1 3 3 7、假設(shè)p和q為質(zhì)數(shù)，且5p+3q=91，則p= 17 ，q= 2 ．考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)。專題：探究型。分析：5p+3q=91可知p、q為一奇一偶，再由p和q為質(zhì)數(shù)可知p、q中必有一數(shù)為2p=2q=25p+3q=91求出另一未知數(shù)的對(duì)應(yīng)值，找出符合條件的未知數(shù)的值即可．，、q為一奇一偶，p和q為質(zhì)數(shù)，、q中必有一數(shù)為，當(dāng)p=2時(shí)，q==27，27為合數(shù)，故舍去，當(dāng)q=2時(shí)，p==17．p=17，q=2．故答案為：17，2．2是質(zhì)數(shù)這一學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．8、設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值為3 ．考點(diǎn)：配方法的應(yīng)用；代數(shù)式求值。專題：配方法。分析：題中有﹣8xy，2x應(yīng)為完全平方式子的其次項(xiàng)，把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式7頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕子與一個(gè)常數(shù)的和，最小值應(yīng)為那個(gè)常數(shù)．解答：解：原式=〔x2+2x+1〕+〔4x2﹣8xy+4y2〕=4〔x﹣y〕2+〔x+1〕2+3，〔y2和2的最小值是0，2﹣4的最小值為．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：考察配方法的應(yīng)用；依據(jù)﹣8xy，2x把所給代數(shù)式整理為兩個(gè)完全平方式子的和是解決此題的關(guān)鍵．9°B與點(diǎn)C的距離等于，則此工件的面積為3 +4π ．考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；三角形的面積；圓心角、弧、弦的關(guān)系。專題：計(jì)算題。扇形分析：作BC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，連接BC、BD，由條件可以推得點(diǎn)D是弧BC所在圓的的圓心，△ABD為直角三角形，設(shè)BD=x，依據(jù)勾股定理可求得x的值，此工件的面積等于S△ABD扇形解答：BCAC于點(diǎn)DBC、BD，，，，設(shè)，，解得2 ，× 3 ，S扇形BDC==4π，扇形BDC=3 +4π．故答案為：3 +4π．8頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕點(diǎn)評(píng)：關(guān)系．10、設(shè)關(guān)于x的﹣元二次方程x2+2kx+﹣k=0有兩個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍為或．考點(diǎn)：根的判別式?；?qū)ｎ}：計(jì)算題；函數(shù)思想。﹣k〕=4k2+4k﹣1，由關(guān)于x的一元二次方程x2+2kx+﹣k=0有兩個(gè)實(shí)根，得△≥0，即4k2+4k﹣1≥0；然后利用二次函數(shù)的圖象解此不等式，解方程4k2+4k﹣1=0k1=范圍．

，k2= 4k2+4k﹣1≥0的解集，這樣就得到了所求的k的x的﹣元二次方程+﹣0有兩個(gè)實(shí)根，24〔﹣〕﹣．解方程4k2+4k﹣1=0，得k1= ，k2= ，所以4k2+4k﹣1≥0的解集為k≤ 或k≥ ．所以k的取值范圍為k≤或k≥ ．故答案為k≤或k≥．9頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕此題考察了一元二次方程a2〔a0，，c為常數(shù)〕0，0時(shí)考察了利用二次函數(shù)解一元二次不等的方法．11、如圖，△ABC為等邊三角形，ADBC邊上的高，且AB=2，則正方形ADEF的面積為3．考點(diǎn)：勾股定理。專題：計(jì)算題。分析：ADEFAD長(zhǎng)度即可，在直角△ABDAB=2，BD=1，AD即可．解答：ADBCADBC邊上的中線，DBC的中點(diǎn)，BD=DC=1，，2，即AD== ，ADEFS=AD2=3，3．了正方形面積的計(jì)算，此題中計(jì)算AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．12、如圖，用紅，藍(lán)，黃三色將圖中區(qū)域A、B、C、D著色，要求有公共邊界的相鄰區(qū)域不能涂一樣的顏色．滿足恰好A涂藍(lán)色的概率為．考點(diǎn)：幾何概率。專題：計(jì)算題。分析：首先分析出全部滿足條件的涂法，然后找出恰好A涂藍(lán)色的涂法，它們的比值即為所求的概率．解答：解：要使有公共邊界的相鄰區(qū)域不能涂一樣的顏色，則可有A紅、B藍(lán)、C黃、D紅；A紅、B藍(lán)、C黃、D藍(lán)；A紅、B黃、C藍(lán)、D紅；A紅、B黃、C藍(lán)、D4種狀況，A4種狀況，A4種狀況，恰好A涂藍(lán)色的概率為=．10頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕故答案為．成的大事；用到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)為：概率=所求狀況數(shù)與總狀況數(shù)之比．122、如圖，在C，過(guò)B作A1，過(guò)A1作A1B122

，得221陰影AB1；再過(guò)1作BA2，過(guò)2作A221

B，得陰影

BB；…如此下去．請(qǐng)猜測(cè)這樣得到的全部陰影三角形的面積之和為2 ．考點(diǎn)：勾股定理；相像三角形的判定與性質(zhì)。專題：規(guī)律型。16：25，那么全部的陰影局部面積之和可求了．AAB，1 11AB5，那么陰影局部面積與空白局部面積之比為16：25，同理可得到其他三角形之間也是這個(gè)狀況，那么全部的陰影局部面積之和應(yīng)等于=3×4÷2×=．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了相像三角形的性質(zhì)，相像三角形面積的比等于相像比的平方．14在一個(gè)3×3的方格表中填有1～9這9個(gè)數(shù)字現(xiàn)將每行中數(shù)字最大的那個(gè)格子涂紅色，數(shù)字最小的那個(gè)格子涂綠色．設(shè)M為三個(gè)紅色方格中數(shù)字最小的那個(gè)數(shù)，m是三個(gè)綠色方格中數(shù)字最大的那個(gè)數(shù)，則M﹣m可以有8 個(gè)不同的值．考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類。專題：規(guī)律型。分析：三個(gè)紅色方格中所填的數(shù)都是它們所在行中最大的數(shù)．因此它們不行能是1與2．又M8與9．即M不行能為12理，m1，2，8，9Mm37M﹣m3﹣7=4與74之間〔包括4與4．M與m分別是紅色方格與綠色方格中的數(shù)，故﹣．m可能有8個(gè)不同的值：，3，，4．M﹣m8個(gè)不同的值．故答案為：8．點(diǎn)評(píng)：3×3的方格表考察了規(guī)律型：數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是先得出Mm可能的取值，再依此算出M﹣m可能的取值．11頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕三、解答題〔452分〕B是一次函數(shù)xA2C在直線B為等腰三角形，求C點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題。專題：分類爭(zhēng)論。分析：此題要分三種狀況進(jìn)展?fàn)幷?，OA為腰，A為等腰三角形的頂點(diǎn)，那么C點(diǎn)必定在第一象限，且縱坐標(biāo)的值比AOA=ACACC的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)以及AC的長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理以及所在直線的函數(shù)關(guān)系式求出C的坐標(biāo)．OA為一腰，O為三角形的頂點(diǎn)，那么C點(diǎn)可以有兩個(gè)，一個(gè)在第一象限，法同第一種狀況．第三種狀況：以O(shè)A為底，OC，AC為腰，此點(diǎn)在第一象限，那么這點(diǎn)的縱坐標(biāo)必為1〔頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，那么依據(jù)所在函數(shù)的關(guān)系式，可求出這個(gè)C點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：OA為一腰，且以AAO=AC1=2．設(shè)C〔x，則得+x222，1解，得1，OA為一腰，且以O(shè)OC2=OC3=OA=2，設(shè)C〔x，則得+x2，解得 ，2C∴〔 ，C23又由點(diǎn)C3與點(diǎn)C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得C〔 ，34假設(shè)此等腰三角形以A為底邊，則4的縱坐標(biāo)為，從而其橫坐標(biāo)，得C，所以，滿足題意的點(diǎn)C 有4 個(gè)，坐標(biāo)分別為4C4．12頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕形的腰和底邊時(shí)，要分類進(jìn)展?fàn)幷摚灰z漏掉任何一種狀況．、如圖，四邊形DO過(guò)正方形的頂點(diǎn)A和對(duì)角線的交點(diǎn)，分別交、AD于點(diǎn)F、E．求證：DE=AF；假設(shè)O的半徑，= ，的值．考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題；證明題。分析〔連接D，，則，即可得到；〕連，由得到F為O的直徑即= ，所以22〔 2，而DE=AF，所以DE2+AE2=EF2=〔 〕2=3；再由AD=AE+ED=AB= ，這樣得到關(guān)于DE，AE的方程組，解方程組求出DE，AE，即可得到的值．〔〕證明：連接，如圖，ABCD為正方形，，，，，，，AB=AD，13頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕；〔2〕EF，，F(xiàn)O的直徑，而O的半徑= ，22〔而DE=AF，DE2+AE2=3；，

〕2，= ，由聯(lián)立起來(lái)組成方程組，解之得：AE=1，ED= 或AE= ，ED=1，所以：或．〕連接、、〔2〕設(shè)：AE=x，ED=AF=y可得：x2+y2=3解得： 或所以：或點(diǎn)評(píng)：的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及方程組的解法．177×764些正方形的面積有多少個(gè)不同的值？考點(diǎn)：簡(jiǎn)潔的枚舉法。0≤a+b〔值，14頁(yè)21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷〔2試〕再分析舍去〔0，0〕特別點(diǎn)，即可得出答案．解答：解：由于正方形的頂點(diǎn)都是方格網(wǎng)中的格點(diǎn)，如圖中的陰影正方形的面積為：a2+b2，其中0≤a+b≤7，不失一般性，設(shè)a≥b，可以枚舉全部可能的〔a，b〕值：，1020〔0〔，560〔0；，2131〔1〔，6；，3242〔2；，43．其中〔0，0〕不合題意舍去，此外，52=42+32，即〔5，0〕與〔4，3〕給出一樣的面積．檢驗(yàn)可知，其他面積值兩兩不同，18個(gè)不同的面積．決問(wèn)題題的關(guān)鍵．18、k、a、b為正整數(shù)，ka2、b2整除所得的商分別為m，m+116．a(chǎn)，b互質(zhì)，證明a2﹣b2a2、b2都互質(zhì)；a，b互質(zhì)時(shí)，求k的值．a(chǎn)，b5，求k的值．考點(diǎn)：最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)；質(zhì)數(shù)與合數(shù)。專題：特定專題。1〕假設(shè)出s是﹣2與2的最大公約數(shù)，得出，b的關(guān)系為互質(zhì)，得出