新課標(biāo)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

2011年—2017年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、填空題（2017·11）若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1`的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為（）A.1B.2e3C.5e3D.1（2016·12）已知函數(shù)f(x)(xR)知足f(x)2f(x)，若函數(shù)yx1與yf(x)圖像的交點(diǎn)為(x1,y1)，x(x2,y2)，，(xm,ym)，則m(xiyi)（）i1A．0B．mC．2mD．4m（2015·5）設(shè)函數(shù)f(x)1log2(2x)(x1)，則f(2)f(log212)（）2x1(x1)A．3B．6C．9D．122015·10）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大概為（）A．B．C．D．（2015·12）設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)0，則使得f(x)>0建立的x的取值范圍是（）A．(,1)U(0,1)B．(1,0)U(1,)C．(,1)U(1,0)D．(0,1)U(1,)2014·8）設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0B．1C．2D．3（2014·12）設(shè)函數(shù)f(x)3sinx，若存在f(x)的極值點(diǎn)x0知足x02[f(x0)]2m2，則m的取值范圍是（）A．(,6)U(6,+)B．(,4)U(4,+)C．(,2)U(2,+)D．(,1)U(4,+)（2013·8）設(shè)alog36，blog510，clog714，則（）A.cbaB.bcaC.acbD.abc（2013·10）已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）A.x0R,f(x0)0B.函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(,x0)單一遞減D.若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0（2012·10）已知函數(shù)f(x)1，則yf(x)的圖像大概為（）ln(x1)xyyyy1111o1xo1xo1xo1xA.B.C.D.（2012·12）設(shè)點(diǎn)P在曲線y1ex上，點(diǎn)Q在曲線yln(2x)上，則|PQ|的最小值為2（）A.1ln2B.2(1ln2)C.1ln2D.2(1ln2)（2011·2）以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+）單一遞加的函數(shù)是（）A．yx3B．y|x|1C．yx21D．y2|x|（2011·9）由曲線yx，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為（）A．10B．4C．16D．633（2011·12）函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y2sinx,(2x4)的圖像全部交點(diǎn)的橫坐x1標(biāo)之和等于（）A．2B．4C．6D．8二、填空題2014·15）已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單一遞減，f(2)=0.若f(x-1)>0，則x的取值范圍是_________.2016·16）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=.三、解答題（2017·21）已知函數(shù)f(x)ax2axxlnx,且f(x)0.（1）求a；（2）證明：f(x)存在獨(dú)一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22.（2016·21）（Ⅰ）議論函數(shù)f(x)x2ex的單一性，并證明當(dāng)x>0時(shí)，x2(x2)exx20；（Ⅱ）證明：當(dāng)aexaxa(x0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為[0,1)時(shí)，函數(shù)g(x)=2xh(a)，求函數(shù)h(a)的值域.14．（2015·21）設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.（Ⅰ）證明：f(x)在（-∞，0）單一遞減，在（0，+∞）單一遞加；（Ⅱ）若對(duì)于隨意x，∈[-1，1]，都有｜f(x｜≤，求m的取值范1,x21)-f(x2)e-1圍．15．（2014·21）已知函數(shù)f(x)exex2x.（Ⅰ）議論f(x)的單一性；（Ⅱ）設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，預(yù)計(jì)ln2的近似值（精準(zhǔn)到0.001）.16．（2013·21）已知函數(shù)f(x)exln(xm).（Ⅰ）設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并議論f(x)的單一性；（Ⅱ）當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.17.（2012·21）已知函數(shù)f(x)f(1)ex1f(0)x1x2.2（Ⅰ）求f(x)的分析式及單一區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)1x2axb，求(a1)b的最大值.218．（2011·21）已知函數(shù)f(x)alnxb，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x1xx2y30.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）假如當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxk，求k的取值范圍.x1x2011年—2017年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（分析版）2x1∴導(dǎo)函數(shù)fx2a2xax1，（2017·11）A【分析】∵fxxax1ex1e∵f20，∴a1，∴導(dǎo)函數(shù)f2x1，令fx0，∴x12，x11，xxx2e當(dāng)x變化時(shí)，fx，fx隨變化狀況以下表：+0-0+極大值極小值從上表可知：極小值為f11.應(yīng)選A（2016·12）B分析：由fxx112fx得fx對(duì)于0，1對(duì)稱，而yx1x也對(duì)于0，1對(duì)稱，∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)ximmmmxi'0，yiyi'=2，∴xiyixiyi0m，i2i1i112應(yīng)選B．（2016·12）B分析：由fxx112fx得fx對(duì)于0，1對(duì)稱，而yx1x也對(duì)于mmmm0，1對(duì)稱，∴對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)xixi'0，yiyi'=2，∴xiyixiyi0m，i2i1i112應(yīng)選B．（2015·5）C分析：由已知得f(2)1log243，又log2121，所以f(log212)2log21212log266，故f(2)f(log212)9．（2015·10）B分析：由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0x4時(shí)，PAPBtan2x4tanx；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即x3，x2時(shí)，44PAPB(11)21(11)21，當(dāng)x2時(shí)，PAPB22；當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)tanxtanx時(shí)，即3x時(shí)，PAPBtan2x4tanx，從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程能夠看出，軌4跡對(duì)于直線x對(duì)稱，且f()f()，且軌跡非線型，應(yīng)選B．242（2015·12）A分析：記函數(shù)g(x)f(x)，則g(x)xf(x)f(x)，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xx2xf′(x)-f(x)<0，故當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)單一遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞,0)單一遞加，且g(-1)=g(1)=0．當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<-1時(shí)，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0建立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1)，應(yīng)選A．（2014·8）D分析：∵y'ax1，且在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率為2，∴1y'|x0a1，即a3.201（2014·12）C分析：∵f(x)3cosx，令f(x)mmxm(1k),kZ，2∴x0m(1k),kZ，即|x0||m(1k)||m|，f(x)222∴[f(x0)]22[f(x0)]2m23，Qx02[f(x0)]23，x04即：m24，故：m2或m2.

3cosx得0mm3sinπx的極值為3，m2，∴m22，m43m（2013·8）D分析：依據(jù)公式變形，alg61lg2，blg101lg2，lg3lg3lg5lg5clg141lg2，lg7lg7因?yàn)閘g7＞lg5＞lg3，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3

，即c＜b＜a.應(yīng)選D.（2013·10）C分析：∵f′(x)=3x2，∴＝f(x)的圖像大致如右+2ax+by圖所示，若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則則在(－∞，x0)上不單一，故C不正確．（2012·10）B分析：易知yln(x1)x0對(duì)x(1,0)U(0,)恒建立，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取等號(hào)，故的值域是(-∞,0).所以其圖像為B.（2012·12）B分析：因?yàn)閥1ex與yln(2x)互為反函數(shù)，所以曲線y1ex與曲線22yln(2x)對(duì)于直線y=x對(duì)稱，故要求|PQ|的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)榍笈c直線y=x平行且與曲線相切的直線間的距離，設(shè)切點(diǎn)為A，則A點(diǎn)到直線y=x距離的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.則y(1ex)1ex1，ex2，即xln2，故切點(diǎn)A22的坐標(biāo)為(ln2,1)，所以，切點(diǎn)A點(diǎn)到直線y=x距離為d|ln21|1ln2，所22以|PQ|2d2(1ln2).（2011·2）B分析：由各函數(shù)的圖像知，應(yīng)選B.31x22x)|0416，故40323選C.（2011·12）D分析：y1的對(duì)稱中心是（1,0）也是y2sinx(2x4)的中心，x1x4他們的圖像在x=1的左邊有4個(gè)交點(diǎn)，則x=1右邊必有4個(gè)交點(diǎn).不如把他們的橫坐標(biāo)由小到大設(shè)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，則x1x8x2x7x3x6x4x52，應(yīng)選D.二、填空題（2014·15）(1,3)分析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x1)0f(|x1|)0f(2)，又∵f(x)在[0,)單一遞減，∴|x1|2，解得：1x3（2016·16）1ln2分析：ylnx2的切線為：y1xlnx11（設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1），x111ylnx1的切線為：y1xlnx21x2x1x21x1x1，∴x2，解得22lnx11lnx211x2x11x21blnx111ln2．22，∴三、解答題（2017·21）已知函數(shù)f(x)ax2axxlnx,且f(x)0.（1）求a；（2）證明：f(x)存在獨(dú)一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22.（2017·21）分析：(1)法一：由題知：f(x)xaxalnxx0，且f(x)0，所以ax1lnx0，即當(dāng)x0,1時(shí)，alnx；當(dāng)x1,時(shí)，alnx；當(dāng)x1時(shí)，ax1lnx0成x1x1立.令gxx1lnx，g'x11x1，xxlnx，即：lnx當(dāng)x0,1時(shí)，g'x0，gx遞減，gxg10，所以：x11，x1所以a1；當(dāng)x1,時(shí)，g'x0，gx遞加，gxg10，所以：x1lnx，即：lnx1.x1所以，a1.綜上，a1.法二：洛必達(dá)法例：由題知：f(x)xaxalnxx0，且f(x)0，所以：ax1lnx0.即當(dāng)x0,1時(shí)，alnx；當(dāng)x1,時(shí)，alnx；x1x1當(dāng)x1時(shí)，ax1lnx0建立.lnx，g'x1x1lnx11lnx令gxxx12x2.x1x1令1111xhx1xlnx，h'xx2xx2.當(dāng)x0,1時(shí)，h'x0,hx遞加，hxh10；所以g'x0，gx遞減，gxlimlnxlimlnx'lim1，所以：a1；1x1x1x1x1'x1x當(dāng)x1,時(shí)，h'x0,hx遞減，hxh10；所以g'x0，gx遞減，gxlimlnxlimlnx'lim1，所以：a1.1x1x1x1x1'x1x故a1.（2）由(1)知：f(x)xx1lnx，f'x2x2lnx，設(shè)x2x2lnx，則'x21x.11當(dāng)x0,2時(shí)，'x0；當(dāng)x2,時(shí)，'x0.所以x在0,1遞減，在1,遞加.22又e20，10，10，所以x在0,1有獨(dú)一零點(diǎn)x0，在1,有唯222一零點(diǎn)1，且當(dāng)x0,x0時(shí)，x0；當(dāng)xx0,1時(shí)，x0；當(dāng)x1,時(shí)，x0.又f'xx，所以xx0是f(x)的獨(dú)一極大值點(diǎn).由f'x00得lnx02x01，故fx0x01x0.由x00,1得fx014.因?yàn)閤x0是f(x)在0,1的獨(dú)一極大值點(diǎn)，由e10,1，fe10得fx0fe1e2所以e2f(x0)22.（2016·21）（Ⅰ）議論函數(shù)f(x)x2ex的單一性，并證明當(dāng)x>0時(shí)，x2(x2)exx20；（Ⅱ）證明：當(dāng)a[0,1)時(shí)，函數(shù)exaxa0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為g(x)=x2(xh(a)，求函數(shù)h(a)的值域.（2016·21）證明：⑴fxexx2x42x2ex2，∵當(dāng)x，2U2,時(shí)，x22x2fx0，∴fx在，2和2,上單一遞加，∴x0時(shí)，x2exf0=1，x2∴x2exx20.xa22xexaxaxxex2exax2a(x2)(x2exa)⑵gxexx2，a0，1，由x4x4x3(1)知，當(dāng)x0時(shí)，fxx2ex的值域?yàn)?，，只有一解．使得t2eta，x2t2t0，2，當(dāng)x(0,t)時(shí)，g(x)0，g(x)單一減；當(dāng)x(t,)時(shí)g(x)0，g(x)單一tat1ett1t2ettt增，haet2e，記kte，在t0,2時(shí)，t2t2tt2t22et1kt0，∴kt單一遞加，∴hakt1，e．t22242015·21）設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.（Ⅰ）證明：f(x)在（-∞，0）單一遞減，在（0，+∞）單一遞加；（Ⅱ）若對(duì)于隨意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1，求m的取值范圍．（2015·21）分析：（Ⅰ）f(x)m(emx1)2x，若m0，則當(dāng)x(,0)時(shí)，emx10,f(x)0；當(dāng)x(0,)時(shí)，emx10，f(x)0.若m0，則當(dāng)x(,0)時(shí)，emx10,f(x)0；當(dāng)x(0,)時(shí)，emx10，f(x)0，所以，f(x)在(,0)單一遞減，在(0,)單一遞加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)隨意的m，f(x)在[-1，0]單一遞減，在[0,1]單一遞加，故f(x)在x0處獲得最小值，所以對(duì)于隨意x1,x2[1,1]，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是f(1)f(0)e1，即emme1①.設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則f(1)f(0)e1emme1g(t)et1，當(dāng)t0時(shí)，g(t)0；當(dāng)t0時(shí)，g(t)0，故g(t)在(,0)單一遞減，在(0,)單一遞加.又g(1)0，g(1)e12e0，故當(dāng)t[1,1]時(shí)，g(t)0.當(dāng)m[1,1]時(shí)，g(m)0,g(m)0，即①式建立；當(dāng)m1時(shí)，由g(t)的單一性，g(m)0，即emme1；當(dāng)m1時(shí)，g(m)0，即emme1，綜上，m的取值范圍是[-1,1].2014·21）已知函數(shù)f(x)exex2x.（Ⅰ）議論f(x)的單一性；（Ⅱ）設(shè)g(x)f(2x)4bf(x)，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，預(yù)計(jì)ln2的近似值（精準(zhǔn)到0.001）.（2014·21）分析：（Ⅰ）Qf(x)xxxxx1x1ee2x，xR，f(x)ee2=eex22eex20.∴當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)建立，所以函數(shù)f(x)在R上單一遞加．（Ⅱ）Qg(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4x4b(exex2x),∴當(dāng)x>0時(shí)，e2xe2x4x4b(exex2x)0,g(x)2[e2xe2x2b(exex)(4b2)]2(exex2)[exex(2b2)]，Qexex2exex2，2(exex2)0，(1)當(dāng)b2時(shí)，g(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)建立.所以此時(shí)g(x)在R上單一遞增，而g(0)=0，所以對(duì)隨意x>0，有g(shù)(x)>0.(2)當(dāng)b2時(shí)，若x知足2exex2b2時(shí)，即0xln(b1b22b)時(shí)，g(x)0，而g(0)=0，所以當(dāng)0xln(b1b22b)時(shí)，g(x)<0.綜上可知，當(dāng)b2時(shí)，才對(duì)隨意的x>0，有g(shù)(x)>0，所以b的最大值為2.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，g(ln2)322b2(2b1)ln2，2當(dāng)b=2時(shí)，g(ln2)3426ln20，ln28230.6928；212當(dāng)b321時(shí)，ln(b1b22b)ln2，g(ln2)322(322)ln20，42ln2182，所以ln2的近似值為0.693.280.69342013·21）已知函數(shù)f(x)exln(xm).（Ⅰ）設(shè)x0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并議論f(x)的單一性；（Ⅱ）當(dāng)m2時(shí)，證明f(x)0.（2013·21）分析：（Ⅰ）f′(x)＝ex1xm

.由x＝0是f(x)的極值點(diǎn)得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex-ln(x+1)，定義域?yàn)?-1，+∞)，f′(x)＝ex1x1

.函數(shù)f′(x)＝ex1在(-1，+∞)單一遞加，且f′(0)＝0.所以當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x1x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0.所以f(x)在(-1,0)單一遞減，在(0，＋∞)單一遞加．（Ⅱ）當(dāng)m≤2，x∈(-m，+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只要證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x)＞0.當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f′(x)=exx1在(-2，+∞)單一遞加．又f′(-1)＜0，f′(0)2＞0，故f′(x)=0在(-2，+∞)有獨(dú)一實(shí)根x0，且x0∈(-1,0)．當(dāng)x∈(-2，x0)時(shí)，′(＜；當(dāng)∈0，+∞)時(shí)，f′(x)＞0，進(jìn)而當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)獲得最小值．由f′(x0fx)0x(x)=0x0=1，ln(x0+2)=-x0，故f(x)≥f(x0)=1x012得e2x02+x0=＞0.綜上，當(dāng)m≤2x0x02時(shí)，f(x)＞0.（2012·21）已知函數(shù)f(x)f(1)ex1f(0)x1x2.2（Ⅰ）求f(x)的分析式及單一區(qū)間；（Ⅱ）若f(x)1x2axb，求(a1)b的最大值.2（2012·21）分析：（Ⅰ）f(x)f(1)ex1f(0)x，令x=1得，f(x)=1，再由f(x)f(1)ex1f(0)x1x2，令x0得f(1)e.所以f(x)的分析式為f(x)exx1x2，22∴f(x)ex1x，易知f(x)ex1x是R上的增函數(shù)，且f(0)0.所以f(x)0x0，f(x)0x0，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,)，減區(qū)間為(,0)..故當(dāng)a1（Ⅱ）若f(x)1x2axb恒建立，即h(x)f(x)1x2axbex(a1)xb0恒建立，22Qh(x)ex(a1).(1)當(dāng)a10時(shí)，h(x)0恒建立，h(x)為R上的增函數(shù)，且當(dāng)x時(shí)，h(x)，不合題意；(2)當(dāng)a10時(shí)，h(x)0恒建立，則b0，(a1)b0；(3)當(dāng)a10時(shí)，h(x)ex(a1)為增函數(shù)，由h(x)0得xln(a1)，故f(x)0xln(a1)，f(x)0xln(a1)，當(dāng)xln(a1)時(shí)，h(x