2023年高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)不等式(3)均值不等式

2023年高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)不等式（3）均值不等式考綱要求1、利用均值不等式證明其他不等式2、利用均值不等式求最值命題規(guī)律常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度通常為中低檔。由于應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，所以經(jīng)常與其他內(nèi)容綜合出題。在高考中不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等，難度一般不會太高?？键c(diǎn)解讀考點(diǎn)1利用基本不等式、均值不等式求最值利用基本不等式求函數(shù)最值時，注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”．常用的方法為：拆、湊、代換、平方．考點(diǎn)2利用基本不等式、均值不等式證明不等式利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，近幾年很少直接考了，但隨著選學(xué)內(nèi)容進(jìn)入高考，這種題型有可能重新進(jìn)入高考。證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題．考點(diǎn)3解決恒成立問題當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解．考點(diǎn)突破考點(diǎn)1利用基本不等式、均值不等式求最值典例1(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為________；(2)當(dāng)x＞0時，則f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值為________．解題思路第(1)問把eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)中的“1”代換為“2x＋y”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解題過程(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2x＋y,x)＋eq\f(2x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(2x,y)時，取等號．(2)∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時取等號．易錯點(diǎn)撥解題過程中注意隱含條件的挖掘，特別是“1”和“0”的挖掘和使用變式1(1)已知x＞1，則f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)的最小值為________．(2)已知0＜x＜eq\f(2,5)，則y＝2x－5x2的最大值為________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．點(diǎn)撥(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝eq\f(1,5)·5x·(2－5x)，∵0＜x＜eq\f(2,5)，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x＋2－5x,2)))2＝1，∴y≤eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2－5x，即x＝eq\f(1,5)時，ymax＝eq\f(1,5).(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝10＋eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＝10＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥10＋2×2×eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝18，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時取等號，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴當(dāng)x＝12，y＝6時，x＋y取最小值18.答案(1)3(2)eq\f(1,5)(3)18變式2已知，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.點(diǎn)撥由，得，則，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)“”時，取等號），故的最小值為7答案7考點(diǎn)2利用基本不等式、均值不等式證明不等式典例1已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.解題思路先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到．解題過程∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c；eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ab,c))＝2b；eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(ca,b)·\f(ab,c))＝2a.以上三式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.變式1已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.答案∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，取等號．考點(diǎn)3解決恒成立問題典例3若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________．解題思路先求eq\f(x,x2＋3x＋1)(x＞0)的最大值，要使得eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a(x＞0)恒成立，只要eq\f(x,x2＋3x＋1)(x＞0)的最大值小于等于a即可．解題過程若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，只需求得y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值即可，因?yàn)閤＞0，所以y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x)))＝eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))變式1已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是________．點(diǎn)撥由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值為10.答案10綜合突破突破1添項拆項求最值典例1求下列函數(shù)的最值（1）；（2）（3）（4）已知0<x<eq\f(π,2)，f(x)＝eq\f(1,sinx)＋；（5）已知，，，求的最小值.解題思路運(yùn)用均值不等式求最值時，“正”“定”“等"三個條件缺一不可.將各函數(shù)變形整理后能運(yùn)用均值不等式求解.解題過程（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值（3）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取最大值（4）當(dāng)且僅當(dāng)，時取最小值（5），，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值.易錯點(diǎn)撥以上幾類問題為利用均值不等式求最值的常見題型.(3)要注意這一條件，否則極易出錯，（4）要觀察到，運(yùn)用乘“1”法求解；（5）不能直接用，因?yàn)槿〉降忍柕臈l件是，而突破2數(shù)列與不等式結(jié)合考查典例1已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）求；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；（3）是否存在最大的整數(shù)，使得對任意的均有總成立？若存在，求出，若不存在，說明理由.解題思路前兩問主要是考察等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，（3）問恒成立問題，分離參數(shù)后利用基本不等式求最值.解題過程（1）是等差數(shù)列，，又所以，是方程的兩個根，又所以，.，，，（2），，.(3)由（2），，對恒成立.對恒成立，，最大的整數(shù)為15.快樂訓(xùn)練1、如果，那么的最小值是（）A．4 B． C．9 D．182、設(shè)，則的最小值是（）A、2B、4C、D、53、設(shè)若的最小值為（）A.8B.4C.1D.4、已知，則的最小值是（）A．2 B． C．4 D．55、已知,則函數(shù)數(shù)的最小值為6、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是7、函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為________．8、已知下列四個結(jié)論：①若則；②若,則；③若則；④若則。其中正確的是提高訓(xùn)練1、已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的最小值為（） A．2 B．3 C．4 D．52、“”是“對任意的正數(shù)，”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3、已知不等式對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為()A.2B.4C.6D.84、已知正數(shù)a、b、c滿足的最小值是_____________．5、對于實(shí)數(shù)，，若，，則的最大值為.6、已知函數(shù)，定義域都是，若恒成立，求的范圍.7、已知集合＝，，是定義在上的函數(shù)，當(dāng)時，恒有，且，求在上的最大值.8.已知函數(shù)f(x)＝kx＋b的圖象與x、y軸分別相交于A、B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2i＋2j(i、j分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量)，函數(shù)g(x)＝x2－x－6.(1)求k、b的值；(2)當(dāng)x滿足f(x)＞g(x)時，求函數(shù)eq\f(g(x)＋1,f(x))的最小值．超越訓(xùn)練1、若,則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．2、下列不等式一定成立的是（）A． B．C．