以函數(shù)為載體的不等式考題例析

以函數(shù)為載體的不等式考題例析數(shù)為載體，綜合不等式交叉匯合處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型不等式證明問題，標(biāo)與已知條件之間的跨度大，使得題型新穎、容綜合、解法靈活、思維抽象，所2004年各地高考試卷中的以函數(shù)為載體的不等式問題選解幾例，以開闊讀者的視野．例1(2004年全國高考卷)設(shè)函數(shù)f(x)=10＜ax＜b，且f(a)=fb)時(shí)，ab＞1．11,1x證明：因f(x)=|1－|=x11.xx(0,1],x,).故f(x)在(0，1]上是減函數(shù)，而在(0，＋∞)上是增函數(shù)．11由f(a)=fb)0＜a＜1＜b時(shí)，－12abab=a＋b．∵a＋b＞2ab，∴2ab=a＋b＞2ab，故ab＞1，即ab＞1．a(chǎn)、b在分段函數(shù)中的兩個(gè)不同區(qū)間，直接影響著解題思路的形成．例2(2004年全國高考卷)已知函數(shù)f(x)=ax－31x的最大值不大于，226又當(dāng)x[1，1]時(shí)，f(x)≥1．428⑴求a的值．⑵設(shè)0＜a＜．＜1，a1=f(a)，nN*，證明：a2n11n1nn33aa21⑴解：由于f(x)=x=－()＋的最大值不大于，所以2222366aa2≤1，即af()=3662≤1．①又x[1，1]時(shí)，f(x)≥1，4281f()2所以f(1)41a31,,8288a≥1．②1.a31.848由①和②得a=1．⑵證明：㈠當(dāng)n=1時(shí)，0＜a＜11，不等式0＜a1＜成立；2n1n211因?yàn)楫?dāng)0＜x＜時(shí)，f(x)＞0，所以0＜a=f(a)≤＜，故n=2時(shí)36321不等式也成立．㈡假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，不等式0＜a＜k1成立，k1因?yàn)閒(x)=x－311x的對稱軸為x=，知f(x)在[0，]為增函數(shù)，2233所以由0＜ak111＜≤得0＜f(a)＜f()，k13k1k于是有0＜ak1131111＜－·()＋－=－2k12k1k2k2k2k4＜1，

2(k2(k2)k2即當(dāng)n=k＋1時(shí)，不等式也成立．根據(jù)㈠㈡只知，對任何nN*，不等式an＜1成立．n1評(píng)析：由于在閉區(qū)間上二次函數(shù)的最大值和最小值必然在函數(shù)圖象的頂點(diǎn)數(shù)列不等式，思路直觀，但從k到(k+1)的變形過程中要有一定技巧，一般結(jié)助函數(shù)單調(diào)性，使解題思路自然．例3(2004年全國高考卷)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足下列條件：對任意實(shí)數(shù)x，x12都有(x1－x)22≤(x－x12)[f(x1)－f(x2)]和|f(x)－f(x12)|≤|x1－x2是大于0的常數(shù)．設(shè)實(shí)數(shù)a0，a，b滿足f(a0)=0和b=a－f(a)．⑴證明：≤1，并且不存在b≠a00，使得f(b0)=0；⑵證明：(b－a)2≤(1－2)(a－a)2；00⑶證明：[fb)]2≤(1－2)[f(a)]2．證明：⑴任取x1，x2R，x1≠x2，則由(x1－x)2≤(x－x212)[f(x1)－f(x2)]①和|f(x)－f(x12)|≤|x－x12|②可知，(x1－x)22≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]≤|x1－x2|·|f(x)－f(x12)|≤|x1－x|22，從而≤1．假設(shè)有b≠a，使得f(b－b)2≤(a)=0，則由①式知0＜(a000000－b0)[f(a0)－f(b0)]=0，矛盾．∴不存在b≠a00，使得f(b0)=0．⑵由b=a－f(a)，③可知(b－a)2=[a－a－f(a)]2=(a－a)2－2(a－a)f(a)＋00002[f(a)]2．④由f(a0)=0和①式，得(a－a)f(a)=(a－a00)[f(a)－f(a0)]≥(a－a)02．⑤由f(a0)=0和②式知，[f(a)]2=[f(a)－f(a0)]2≤(a－a)02．⑥)2≤(a－a)2－22(a－a)2＋2(a－a)2=0000(1－2)(a－a)2．0⑶由③式，可知[fb)]2=[fb)－f(a)＋f(a)]2=[fb)－f(a)]2＋2f(a)[fb)－f(a)]＋[f(a)]2≤(b－a)2－2·ba[fb)－f(a)]＋[f(a)]2=2[f(a)]2－2·ba[fb)－f(a)]＋[f(a)]2≤2[f(a)]2－2··(b－a)2＋[f(a)]2=2[f(a)]2－2·2·[f(a)]2＋[f(a)]2=(1－2)[f(a)]2．評(píng)析：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支緊緊地聯(lián)系在一的解題目標(biāo)與已知條件之間的跨度大，使得題型新穎、容綜合、解法靈活、思維抽象，所以它既是高考的熱點(diǎn)題型，又是頗難解決的重點(diǎn)問題．例4(2004年全國高考省理科試題)已知f(x)=2xa(aR)在區(qū)間[－x221，1]上是增函數(shù)．⑴略；1⑵設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為xx、x12．m2＋tm＋1≥|x－x1|對任意aA2及t[－1，1]恒成立？若存在，求出m的取值圍；若不存在，請說明理由．解：⑵由2xa1=，得x－ax－2=0，2x2x2∵△=a2＋8＞0，∴x、x12是方程x2－ax－2=0的兩實(shí)根，xxa∴1，從而|x2x2x112－x2|=(x1x2)24xx12=a28．∵－1≤a≤1，∴|x－x12|=a28≤3，要使不等式m2＋tm＋1≥|x－x12|對任意aA及t[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2＋tm＋1≥3對任意t[－1，1]恒成立，即m2＋tm－2≥0對任意t[－1，1]恒成立．②設(shè)g(t)=m2＋tm－2=mt＋(m2－2)，方法一：②m≥2或m≤－2．22所以，存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x－x12|對任意aA及t[－1，1]恒成立，其取值圍是m≥2或m≤－2．方法二：當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；m0m0當(dāng)m≠0或m≥2g(mm20gmm2