第二十講直線與平面、平面與平面垂直原卷版

第二十講：直線與平面、平面與平面垂直【考點(diǎn)梳理】1.直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝α,l⊥α))?l⊥α【典型題型講解】考點(diǎn)一：直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)【典例例題】例1.（2022·廣東珠?！じ呷谀┤鐖D，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，P在平面的投影為邊的中點(diǎn)O，，，，．求證：平面.例2．（2022·廣東東莞·高三期末）如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).證明：；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形、正方形對(duì)角線互相垂直；④直徑所對(duì)的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)；⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；④平行線垂直平面的傳遞性（）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）．【變式訓(xùn)練】1.如圖，圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于的點(diǎn)，且，為上底面圓的一條直徑，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，．證明：平面；2.如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面．證明：平面3.如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，D為PC上一點(diǎn)，且．（1）若E為AC的中點(diǎn)，求三棱錐與三棱錐的體積之比；（2）若，，證明：平面ABD．4.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，設(shè)，若平面，試確定的值．5．（2022·廣東深圳·高三期末）如下圖所示，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為等邊三角形．證明：；6.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．證明：7.如圖，已知直三棱柱，，，分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，．若，試證；考點(diǎn)二：面面垂直的判定定理和性質(zhì)【典例例題】例1．（2022·廣東汕頭·高三期末）如圖，直三棱柱（即側(cè)棱與底面垂直的棱柱）內(nèi)接于一個(gè)等邊圓柱（軸截面為正方形），AB是圓柱底面圓O的直徑，點(diǎn)D在上，且．若AC=BC，求證：平面平面.例2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.【方法技巧與總結(jié)】1.面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時(shí)，先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決．2.面面垂直的性質(zhì)關(guān)鍵找兩個(gè)平面的交線并且和交線垂直的直線.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．證明：平面平面．2．（2022·廣東汕尾·高三期末）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，求證：平面ADE平面ABCD；3.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，．在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．6.如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)】一、單選題1．棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A． B．EF∥平面C．EF⊥平面 D．四面體的體積等于2．為正方體對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，下面結(jié)論不正確的是（

）A． B．若平面PAC，則C．若為鈍角三角形，則 D．若，則為銳角三角形二、多選題3．如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個(gè)等腰直角三角形ABC和一個(gè)有一內(nèi)角為30的直角三角形ACD拼接而成，將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，下列結(jié)論中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD4．如圖所示，在四棱錐中中，為正方形，，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度三、填空題5．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，寫出以之間的部分位置關(guān)系為條件（除外），為結(jié)論的一個(gè)真命題：_____________．6．如圖，在直三棱柱中，底面是為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，當(dāng)_______時(shí)，平面．7．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC與BD交于點(diǎn)O，將△ACD沿直線AC翻折，形成三棱錐D-ABC，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得OB⊥AD，則x的取值范圍是___________．四、解答題8．在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面．證明：平面；9．如圖所示，在四棱錐中，平面底面，，，，，，．設(shè)平面與平面的交線為，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求的值．10．如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．11．如圖1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖2中的位置，使平面平面BC