等比數(shù)列的前n項和

#等比數(shù)列的前n項和一、教材分析1.從在教材中的地位與作用來看《等比數(shù)列的前n項和》是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2.從學(xué)生認(rèn)知角度看從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯．學(xué)情分析學(xué)生雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)．重點、難點教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運用．教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運用．三、過程分析學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我設(shè)計了如下的教學(xué)過程：1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？設(shè)計意圖：設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點．此時我問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)122223……給.帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．設(shè)計意圖：在實際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.2.師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：1,2,22,…，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：設(shè)s=122223…23，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，64有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有2s=22223…2324，記為（2）式.比較（1）（2）兩式，64你有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計意圖：留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前口項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機．經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：S二264-1.老師指出：這就是錯位相減法，并64要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？設(shè)計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．3.類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般設(shè)等比數(shù)列｛a｝，首項為為公比為q,如何求前n項和s? 這里，讓學(xué)生自主完成，，并喊一名學(xué)生上黑板，然n后對個別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)．設(shè)計意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感．在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問由Q-/s=a-aqn得s=ai—aqnn1 1 n 1-q對不對？這里的q能不能等于1?等比數(shù)列中的公比能不能為1?q=1時是什么數(shù)列？此時s二？（這里引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下1基礎(chǔ).）再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式a=aqn-1,如何把s用a、a、q表示出來?（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式） n1 n1n設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用．4.討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道,那么我們能否利用這個關(guān)系而求出s呢銀描等國數(shù)列的定*又有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s=a+aq+aq2++aqni=a+q（a+aq++aqn-2）n1 1 1 1 14=4=4=.?.=4=q,能否聯(lián)想到等比定理從而求出sn呢？aaaa1 2 3 n-1設(shè)計意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍.以上兩種方法都可以化歸到S=a+qs,這其實就是關(guān)于sn1 n-1 n的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.5.變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識例1求等比數(shù)列1,1,1，焉,…前8項和；248161、等比數(shù)列i，i，i，白，…前多少項的和是6324816 642、等比數(shù)列1，1，1，熹，…,求第5項到第10項的和.248163、等比數(shù)列1，1，1，熹,…求前2項中所有偶數(shù)項的和.24816首先，學(xué)生獨立思考，自主解題，再請學(xué)生上臺來幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評價，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)．設(shè)計意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計題組，深化學(xué)生對公式的認(rèn)識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識．.例題講解，形成技能例2：求和1+a+a2+a3+ 1-dn-l.設(shè)計意圖：解題時，以學(xué)生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想．.總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)．設(shè)計意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力．.故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84X1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾．設(shè)計意圖：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維．.課后作業(yè)，分層練習(xí)必做：P129練習(xí)1、2、3、4選作：思考題1求和x+2x2+3x3+—+nxn.(2)“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案是多少？設(shè)計意圖：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間．四、教法分析對公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系.在教學(xué)中，我采用“問題一一探究”的教學(xué)模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段．利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生思維活動得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大大提高了課堂教學(xué)效率．五、評價分析本節(jié)課通過推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項和公式．錯位相減：變加為減，