高等代數(shù)線性變換的值域與核

（優(yōu)選）高等代數(shù)線性變換的值域與核當(dāng)前1頁(yè)，總共24頁(yè)。一、值域與核的概念定義1：設(shè)是線性空間V的一個(gè)線性變換，集合

稱為線性變換的值域，也記作或

集合

稱為線性變換的核，也記作

命題:皆為V的子空間.當(dāng)前2頁(yè)，總共24頁(yè)。證明:且對(duì)

有即對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.為V的子空間.

再看

首先，當(dāng)前3頁(yè)，總共24頁(yè)。又對(duì)有從而

即

故為V的子空間.對(duì)于V的加法與數(shù)量乘法封閉.當(dāng)前4頁(yè)，總共24頁(yè)。定義2：線性變換的值域的維數(shù)稱為的秩；的核的維數(shù)稱為的零度.

例1、在線性空間中，令則

所以

的秩為n－1，的零度為1.

當(dāng)前5頁(yè)，總共24頁(yè)。1.(定理10)設(shè)是n

維線性空間V的線性變換，

是V的一組基，在這組基下的矩陣是A，則1）的值域是由基象組生成的子空間，即2）的秩＝A的秩.

二、有關(guān)性質(zhì)當(dāng)前6頁(yè)，總共24頁(yè)。即

又對(duì)

證：1）設(shè)

于是

有

當(dāng)前7頁(yè)，總共24頁(yè)。因此，

的秩，又∴

秩＝秩等于矩陣A的秩.2）由1），的秩等于基象組由p271補(bǔ)充題2的結(jié)論知，的秩當(dāng)前8頁(yè)，總共24頁(yè)。2.

設(shè)為n

維線性空間V的線性變換，則的秩＋的零度＝n即

證明：設(shè)的零度等于r

，在核中取一組基

并把它擴(kuò)充為V的一組基：

生成的.由定理10，是由基象組當(dāng)前9頁(yè)，總共24頁(yè)。但

設(shè)

則有

下證為的一組基，即證它們即可被線性表出.

線性無(wú)關(guān).當(dāng)前10頁(yè)，總共24頁(yè)。設(shè)

于是有

由于為V的基.

的秩＝n－r.因此，的秩＋

的零度＝n.故線性無(wú)關(guān)，即它為的一組基.

當(dāng)前11頁(yè)，總共24頁(yè)。雖然與的維數(shù)之和等于n

，但是未必等于V.

如在例1中,

注意：當(dāng)前12頁(yè)，總共24頁(yè)。ⅰ)是滿射證明：ⅰ)顯然.ⅱ)因?yàn)?/p>

若為單射，則

3.

設(shè)為n

維線性空間V的線性變換，則ⅱ)是單射

反之，若任取若

則即故是單射.從而

當(dāng)前13頁(yè)，總共24頁(yè)。是單射是滿射.

證明：是單射

4.

設(shè)為n維線性空間V的線性變換，則是滿射.

當(dāng)前14頁(yè)，總共24頁(yè)。例2、設(shè)A是一個(gè)n階方陣，證明：A相似于證：設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換在一組基下的矩陣，即

一個(gè)對(duì)角矩陣當(dāng)前15頁(yè)，總共24頁(yè)。由知

任取設(shè)

則

故有當(dāng)且僅當(dāng)

因此有

又

所以有

從而是直和

.當(dāng)前16頁(yè)，總共24頁(yè)。在中取一組基：

則就是V的一組基.

顯然有，

在中取一組基：用矩陣表示即

當(dāng)前17頁(yè)，總共24頁(yè)。所以，A相似于矩陣當(dāng)前18頁(yè)，總共24頁(yè)。線性變換在此基下的矩陣為

1)求及

2)在中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，

并求在這組基下的矩陣.并求在這組基下的矩陣.3)在中選一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基，例3、設(shè)是線性空間V的一組基，已知當(dāng)前19頁(yè)，總共24頁(yè)。解：1）先求設(shè)它在下的坐標(biāo)為故由于有在下的坐標(biāo)為

當(dāng)前20頁(yè)，總共24頁(yè)。解此齊次線性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而

是的一組基.

由于的零度為2，所以的秩為2，又由矩陣A，有即為2維的.再求當(dāng)前21頁(yè)，總共24頁(yè)。2）因?yàn)?/p>

從而有所以，線性無(wú)關(guān)，就是的一組基.

當(dāng)前22頁(yè)，總共24頁(yè)