材料力學(xué)第8章-能量法4課件

第八章能量法一、桿件的應(yīng)變能二、應(yīng)變能普遍表達式(克拉貝隆原理)三、卡氏定理四、互等定理六、超靜定問題力法七、沖擊應(yīng)力1能量法/互等定理上節(jié)回顧功的互等定理結(jié)構(gòu)的第一力系在第二力系所引起的彈性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的彈性位移上所做的功。2由功的互等定理位移互等定理注意：1.上述互等定理對于所有的線性結(jié)構(gòu)都適用。2.力和位移應(yīng)理解為廣義力和廣義位移。當(dāng)F1=F2=F時（力與位移成線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)）能量法/互等定理上節(jié)回顧3能量法/虛功原理單位力法圖乘法上節(jié)回顧3、單位力法

用途：計算任意點處位移（廣義）

方法：利用虛功原理第一步構(gòu)造一單位力狀態(tài)：（1）去掉原結(jié)構(gòu)全部載荷（只保留所有桿件和約束）；（2）在所求位移處施加一個對應(yīng)單位力；（3）計算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截面的內(nèi)力5能量法/虛功原理單位力法圖乘法上節(jié)回顧

第二步取原結(jié)構(gòu)的實際位移狀態(tài)作為單位力狀態(tài)的虛位移?！稹稹稹稹稹鹪瓎栴}δ實際位移狀態(tài)作為虛位移Kδα單位力狀態(tài)1Kα6能量法/虛功原理單位力法圖乘法上節(jié)回顧d(l),d,

d——原狀態(tài)，真實載荷引起適用：線性、非線性結(jié)構(gòu)。○○○δ實際位移狀態(tài)單位力狀態(tài)1Kα據(jù)虛功原理——單位力引起的內(nèi)力75、圖乘法莫爾積分轉(zhuǎn)化為外載荷引起的彎矩圖的面積和其形心對應(yīng)的單位載荷彎矩的乘積。xcxdxoxCxax+b利用有關(guān)圖形的乘法運算來計算積分的方法,稱為圖乘法或圖形互乘法。能量法/虛功原理單位力法圖乘法上節(jié)回顧9圖乘法注意事項:1、圖乘法是莫爾積分的簡便計算方法,因此它的適應(yīng)范圍和莫爾積分類似。2、圖乘法不僅僅適用于彎矩的Mohr積分,也同樣適用于軸力和扭矩的Mohr積分計算。3、如果單位力和外載荷引起的彎矩符號不一樣,圖乘法得到的代數(shù)值取負(fù)號,反之為正。4、如果外力彎矩圖不光滑，或者單位力的彎矩圖是折線，則應(yīng)分段應(yīng)用圖乘法。梁的彎曲剛度發(fā)生變化時也應(yīng)分段應(yīng)用圖乘法。能量法/虛功原理單位力法圖乘法上節(jié)回顧10ABCqABC1C1C2++例：如圖簡支梁受均布載荷作用，求跨中C點的撓度。解：先作出外力彎矩圖。要求跨中C點撓度，就在C點施加橫向的單位集中力。然后作出單位集中力的彎矩圖。能量法/虛功原理單位力法圖乘法11ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3例：求如圖變截面懸臂梁自由端的撓度。解：使用圖乘法：作出變截面梁在外載荷作用下的彎矩圖。由于要計算自由端的撓度，應(yīng)用單位力法，在梁的自由端施加橫向的單位集中力。作出梁施加單位力時的彎矩圖。能量法/虛功原理單位力法圖乘法13ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3由于是變截面梁，AC段和BC段彎曲剛度不一樣，要分段應(yīng)用圖乘法。又因為AC的外力彎矩圖為梯形，可以把它分解為三角形和矩形的疊加，分別應(yīng)用圖形互乘法，所以彎矩圖分為三部分：能量法/虛功原理單位力法圖乘法14根據(jù)圖乘法，自由端的撓度為：ACBFaa1-2FaFa1W3W2W2a5a/33a/22a/3能量法/虛功原理單位力法圖乘法15ABCaaq1aa2a/33a/41112/3qa2/2形心對應(yīng)的單位力彎矩分別如圖所示。則有：撓度為負(fù)值表示與單位集中力作用方向相反。能量法/虛功原理單位力法圖乘法17第八章能量法六、超靜定問題力法18能量法/超靜定問題力法1、超靜定結(jié)構(gòu)靜不定次數(shù)靜定基。一個結(jié)構(gòu),如果它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一確定,就稱為靜定結(jié)構(gòu)。一個結(jié)構(gòu),如果它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定,就稱為超靜定結(jié)構(gòu)(內(nèi)力超靜定,外力超靜定)。超靜定次數(shù)——超靜定結(jié)構(gòu)中多余約束的個數(shù)。靜定基——去除多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)。193、力法正則方程求解思路和前面求解超靜定結(jié)構(gòu)變形的方法類似,只是在求解靜定基的變形時使用單位力法和圖形互乘法。求解過程(1).判定超靜定次數(shù)(2).解除多余約束,構(gòu)造靜定基(3).由單位力法和圖形互乘法求解靜定基的變形(4).補充變形協(xié)調(diào)方程求解多余約束力能量法/超靜定問題力法21ABFCABFX1ABFX1例如圖超靜定梁,EI為常數(shù),試求B點的約束反力。解:(1)判斷超靜定次數(shù):

一次超靜定!(2)解除多余約束,構(gòu)造靜定基:B.解除B點的可動鉸支座,補充橫向集中反力A.解除A點固定端的轉(zhuǎn)動約束變?yōu)楣潭ㄣq支座,補充反力偶作用采用方案B。能量法/超靜定問題力法22ABFX1+-cABFC(3)用單位力法求解靜定基的變形由于要在B出建立幾何協(xié)調(diào)方程,所以需求B點的橫向撓度,故在B點施加橫向單位力(假設(shè)與支反力方向相同)外載荷=力F+支座反力X1單位力(與支座反力X1方向相同,大小為1)圖形互乘法作彎矩圖:由于單位力和支座反力方向相同,同為集中力,所以彎矩圖相似,僅僅數(shù)值相差X1倍。能量法/超靜定問題力法23ABFX1+-cABFC由圖形互乘法:代入:得:對于多次超靜定問題有:能量法/超靜定問題力法25DABCF231aa例：簡支梁AB,其跨中作用有橫力F,因剛度不足,用三根桿加強。已知梁的彎曲剛度為EI,各桿（1，2，3）的拉壓剛度為EA,且I=Aa2/10，求跨中C截面的撓度。解：（1）判斷超靜定次數(shù)。在靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加入三根桿，多加了三個未知內(nèi)力，由D點的平衡可得到兩個附加平衡方程，所以本問題是一次超靜定問題。這類超靜定是由多余維持平衡所必需的桿件引起的，稱為內(nèi)力超靜定問題。能量法/超靜定問題力法26同時考慮1，2，3桿的軸力和AB梁的彎矩有：靜定基上僅作用有單位力時有：靜定基上僅作用有力F時：又：所以有：能量法/超靜定問題力法29+-彎矩圖互乘有：將軸力和彎矩互乘結(jié)果代入力法正則方程，有：這樣就求得了桿一的內(nèi)力。能量法/超靜定問題力法30ABCD1桿1的內(nèi)力求出后，梁AB上的彎矩是力F引起的彎矩和桿1內(nèi)力引起的彎矩的疊加。++-+=為求C點撓度，在C點處施加單位力（在靜定基上，桿1已經(jīng)等價為外力X1），得到彎矩圖如下。-*￥能量法/超靜定問題力法31+-作用在C點的單位力不引起桿1，2，3的軸力，將兩彎矩圖互乘有：能量法/超靜定問題力法32利用結(jié)構(gòu)的對稱性判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)力。能量法/超靜定問題力法332baaFFDABCFSAMAFNAMAFSAFSBMBFNBMBFSBFF圖a所示的是一平面封閉框架，其彎曲剛度為EI，試作其彎矩圖。解：此結(jié)構(gòu)為內(nèi)力超靜定問題。由于結(jié)構(gòu)和載荷均對稱，可將結(jié)構(gòu)沿AB截開。一般來說，截面A和B處均有軸力，剪力和彎矩三個未知內(nèi)力，方向如圖所示。由結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性有：MA=MBFX1X1F/2F/2結(jié)構(gòu)由三次超靜定轉(zhuǎn)化為一次超靜定問題。能量法/超靜定問題力法34111Fa/2FX1X1F/2F/2為求MA，需要建立A點（或者B點）處的幾何協(xié)調(diào)方程，同樣地，由對稱性可知，A點或者B點的轉(zhuǎn)角都為零。在A，B兩點分別施加單位集中力偶，如圖：分別作出框架在力F和集中力偶作用下的彎矩圖：單位力偶作用下的彎矩圖力F作用下的彎矩圖能量法/超靜定問題力法35Fa/2-Fa2/[4(a+b)]Fa2/[4(a+b)]111Fa/2根據(jù)力法正則方程：M10MF根據(jù)圖形互乘法：所以有：則：彎矩圖如圖所示能量法/超靜定問題力法36A，B兩點有無相對水平位移？如何計算？FX1X1F/2F/2能量法/超靜定問題力法37解：此結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，由結(jié)構(gòu)對稱性：或無法由靜力平衡求得。必須借助幾何協(xié)調(diào)方程。解除C，D兩點的鉸支座得到靜定基。能量法/超靜定問題力法38T-T112a-aa分別作出靜定基在外力偶T和單位力作用下的扭矩圖和彎矩圖。由力法正則方程：其余強度計算略。由圖形互乘法有：代入力法正則方程有：能量法/超靜定問題力法39qa2/2qa2/2aa1a1解：為兩次超靜定問題。解除A點的約束，并作用水平和鉛垂的單位集中力。在靜定基上分別作均布力和兩個單位集中力的彎矩圖如下圖所示。令水平力為‘第一’個未知反力，鉛垂力為第二個。能量法/超靜定問題力法40根據(jù)圖形互乘法有：代入力法正則方程：有：能量法/超靜定問題力法41思考:1.該方程有什么物理意義？能量法/超靜定問題力法力法正則方程：2.為什么有42第八章能量法七、沖擊應(yīng)力43能量法/沖擊應(yīng)力一、沖擊載荷沖擊應(yīng)力應(yīng)力波當(dāng)載荷以極短的時間(一般在ms級)作用在結(jié)構(gòu)上時,這種載荷稱為沖擊載荷。結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下產(chǎn)生的應(yīng)力叫沖擊應(yīng)力。沖擊應(yīng)力一般是以波的形式由沖擊載荷作用點向結(jié)構(gòu)其它點傳播。這種波叫應(yīng)力波。跟結(jié)構(gòu)的靜平衡不同的是，結(jié)構(gòu)在沖擊載荷作用下的平衡一般要考慮各個質(zhì)量點的慣性力。比如說，用鐵錘錘釘子，船身撞擊橋墩，傳動軸緊急制動等。44二、材料力學(xué)分析結(jié)構(gòu)沖擊應(yīng)力的基本假設(shè)材料力學(xué)在對結(jié)構(gòu)進行沖擊分析時，一般不考慮應(yīng)力波的傳播等現(xiàn)象，而是基于一些假設(shè)對結(jié)構(gòu)的沖擊應(yīng)力進行整體評估，得到比較實用的結(jié)果。1、將撞擊物視為剛體，忽略被撞結(jié)構(gòu)的重量，撞擊后兩者連成一體；2、撞擊的應(yīng)力立即傳到結(jié)構(gòu)各個部分，即應(yīng)力波的速度無窮大；3、撞擊時動能完全轉(zhuǎn)化為勢能，不考慮能量的耗散。三、材料力學(xué)分析結(jié)構(gòu)沖擊應(yīng)力的基本方法能量法:考慮撞擊物的動能,并認(rèn)為它完全轉(zhuǎn)化為被撞結(jié)構(gòu)的彈性能。能量法/沖擊應(yīng)力45圖a,b分別表示不同支撐方式的鋼梁，有重量均為P的物體自高度H自由落下至梁AB的跨中C點，支撐彈簧的剛度系數(shù)k=100N/m,l=3m,H=50mm,P=1kN,鋼梁的慣性矩I=3.40*107mm4,截面系數(shù)（模量）W=3.09×105mm3,彈性模量E=200Gpa,試求兩種情況下鋼梁的沖擊應(yīng)力。PABC（a)HPABC（b)H能量法/沖擊應(yīng)力46PABC（a)H解：對于圖（a），假設(shè)重物與梁撞擊后兩者連成一體，梁的變形保持為線彈性，當(dāng)梁的撓度達到最大值時，撞擊物的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為梁的彈性能。相應(yīng)的沖擊載荷和動位移分別為：則根據(jù)能量守恒有：設(shè)沖擊載荷與動位移之間滿足靜力平衡關(guān)系。則根據(jù)簡支梁跨中受橫向集中力時的撓度求解公式有：所以：代入上式有：即：能量法/沖擊應(yīng)力47簡支梁受集中力P作用時的靜撓度(僅考慮重物的重量)為:則代入中有:所以:稱為動載系數(shù)。沖擊載荷和沖擊應(yīng)力可寫為：將本題已知數(shù)值代入,則C截面的靜撓度和動載荷系數(shù)分別為:能量法/沖擊應(yīng)力48靜載荷作用下梁的最大彎曲正應(yīng)力為:則最大沖擊應(yīng)力為:當(dāng)H=0時,即把重物突然放在梁上時,有:能量法/沖擊應(yīng)力49對于圖(b)所示的情況,截面C的靜撓度應(yīng)該包括彈簧的靜變形,其值和動載系數(shù)分別為:PABC（b)H所以采用彈簧支座是減小沖擊應(yīng)力的有效方法。能量法/沖擊應(yīng)力50對于自由落體的物體撞擊線彈性體時，前面的公式均適用。能量法/沖擊應(yīng)力51當(dāng)重物P以速度v水平撞擊彈性體時，有：能量法/沖擊應(yīng)力推導(dǎo)過程略。52解：用10秒制動時有：飛輪角加速度為:飛輪轉(zhuǎn)動慣量為:所以扭矩為:mNsradNmsJT.61.3/257.187.222=*==·w能量法/沖擊應(yīng)力53則軸內(nèi)最大切應(yīng)力為:()MPammNWTp147.005.0.61.3163max=′==pt當(dāng)飛輪緊急制動時有,飛輪的動能全部轉(zhuǎn)化為軸的應(yīng)變能:兩種制動方式軸內(nèi)的最大切應(yīng)力可以相差1000倍以上!能量法/沖擊應(yīng)力54本章小結(jié)一、桿件的應(yīng)變能克拉貝隆原理應(yīng)變能的求法:1、外力功線彈性結(jié)構(gòu)(載荷-位移成線性關(guān)系):上式是針對單一的廣義力和廣義位移的,如果線彈性體上作用有多個廣義力和廣義位移,則外力功和彈性體儲存的內(nèi)能可以寫為:這就是克拉貝隆原理,適用于線彈性結(jié)構(gòu)。55本章小結(jié)2、應(yīng)變能的內(nèi)力功求法。優(yōu)點：不用計算外力作用點的位移。缺點：一般只適用于線彈性結(jié)構(gòu)。上式只適用于線彈性結(jié)構(gòu)！上式用到了疊加法，一般情況下求能量時不能運用疊加法！因為有交叉項！例求能量的各種方法！56二、卡氏定理互等定理本章小結(jié)對于線彈性結(jié)構(gòu)，其應(yīng)變能對于任一獨立廣義外力的偏導(dǎo)數(shù)，等于該力的相應(yīng)（廣義）位移。即：卡氏第二定理重點，如何應(yīng)用卡氏第二定理來求結(jié)構(gòu)任意一點的位移。卡氏第一定理對于任意可變形固體，其應(yīng)變能是獨立廣義位移的函數(shù)，即：應(yīng)變能對某一廣義力對應(yīng)的廣義位移的偏導(dǎo)數(shù)，就等于該力。57本章小結(jié)功互等定理：結(jié)構(gòu)的第一力系在結(jié)構(gòu)第二力系所引起的彈性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起彈性位移上所做的功。位移互等定理：單位廣義力一所引起的與單位廣義力二相對應(yīng)的廣義位移，在數(shù)值上等于單位廣義力二引起的與單位廣義力一相對應(yīng)的