高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問(wèn)題22數(shù)列與不等式的相結(jié)合問(wèn)題含解析

問(wèn)22數(shù)與等的結(jié)問(wèn)一、考情分析數(shù)列與不等式的交匯題,是考學(xué)的常見(jiàn)題型.

對(duì)數(shù)列不等式綜合題的解答,往要求能夠熟練應(yīng)用相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)應(yīng)具備比較嫻熟的代數(shù)變換技能和技.近年數(shù)列與不等式交匯題考查點(diǎn)：1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交.2．解答題以中檔題或壓軸題形式考查數(shù)列與不等式的交匯,有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何三角函數(shù)的知識(shí)等深考查不等式的證(要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證和邏輯推理能力及分類(lèi)討論、化歸的數(shù)學(xué)思試題新穎別,難度相對(duì)較.3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考,主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.數(shù)列求和是歷年高考命題的熱,可以以客觀題形式考也可以以解答題形式考查數(shù),公式求和裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減法求和是?？紗?wèn).二、經(jīng)驗(yàn)分享常見(jiàn)的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有,其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種：①形如（為常數(shù)形；③形如；④形如（為常數(shù).依據(jù)---不等式的性質(zhì)：（不式的傳遞性,（性質(zhì)為放縮法的基,即若要證明但法直接證明則尋找一中間,使得,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證即可）（）量加不等量為不等量：,則此性質(zhì)可推廣到多項(xiàng)求和：若則（）需要用到乘,則對(duì)應(yīng)性質(zhì)為：則此性質(zhì)也可推廣到多項(xiàng)連,但要求涉及的不等式兩均為正數(shù)常用的放縮手段：增加（或減少）某些項(xiàng)；增大分子（或減小分母（減小）被開(kāi)方數(shù)；利用二項(xiàng)式定理；用基本不等式；利用函數(shù)的單調(diào).常用的放縮技巧：（）見(jiàn)的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：①等差數(shù)列求和公式,（關(guān)于的一次函數(shù)或常值函數(shù)）

②等比數(shù)列求和公式,（關(guān)于的指數(shù)類(lèi)函數(shù)）③錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差等比”的形式④裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可拆成兩個(gè)相鄰項(xiàng)的差,且數(shù)列的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消進(jìn)而在和后式子中僅剩有限項(xiàng)（）求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：①在數(shù)列中“和看通項(xiàng)”所在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手②在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方,這將決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小（應(yīng)與所證的等號(hào)同方向）③在放縮時(shí),對(duì)通項(xiàng)公式的變形向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏,常的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏④若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了,即所證矛盾通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不,其余項(xiàng)放縮.而減小放縮的程,使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻原有放縮,重新進(jìn)行設(shè)計(jì)選擇放縮程更小的方式再進(jìn)行嘗.（）縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：①裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí),所構(gòu)造通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn),即作差的兩項(xiàng)可視為同一列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）②等比數(shù)列：所面對(duì)的問(wèn)題通常為“常數(shù)”的形式所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿(mǎn)足,如果題目件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo),則從所證不等式的常數(shù)入手,常數(shù)可視為的形式,然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)的首項(xiàng)與公比,進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較,看不等號(hào)的方向是否符合條即可.例如常,即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng),比為即通項(xiàng)公式.注：此方法會(huì)存在風(fēng),所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效,所是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放,數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（）數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問(wèn)題：①此類(lèi)問(wèn)題往往從遞推公式入,若需要放縮也是考慮對(duì)遞推公式進(jìn)行變形②在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中,可求和問(wèn)題進(jìn)行劃歸,即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式即（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè),一側(cè)為求和的結(jié)果,進(jìn)而完成證明三、知識(shí)拓展常見(jiàn)的放縮變形：

（）其：可稱(chēng)為“進(jìn)可,可守”,可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選.注：對(duì),可聯(lián)想到平方差公式,而在分母添加一個(gè)常即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù),如：這種放縮的尺度要小于1）中的式子此外還可以構(gòu)造放縮程度更小,如：（）從有：注：對(duì)于還可放縮為：（）子分母同加常數(shù)：此結(jié)論容易記混通常在解題,種方法作為一種思考的方到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式再驗(yàn)證不等關(guān)系（）可推廣為：同類(lèi)放縮常見(jiàn)的有：（）（（）；（）或（平方型、立方型、根式型都可放縮為裂項(xiàng)相消模型）（）數(shù)可放縮為等比模型）（（偶放縮為可求積）.補(bǔ)充：一般地形或(這里的數(shù)列在證明（為常數(shù)）時(shí)都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮等比模型四題分一)最問(wèn)求解數(shù)列中的某些最值問(wèn),有須結(jié)合不等式來(lái)解,其具體解法有）建立目標(biāo)函,通過(guò)等式確定變量范圍,進(jìn)而求得最值）先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性然后定最值）用條件的不等式關(guān)系確定最值【例1】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和,,,的最大值______.

【分析】根據(jù)條件將前項(xiàng)與和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的不等,然利用此不等關(guān)系確定公差的范圍,由此可確定的最.（）題意可知，設(shè)在數(shù)列中的項(xiàng)為，則由題意可知，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)，易解得，當(dāng)時(shí)因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】解決數(shù)列恒成立問(wèn)題一般會(huì)涉及到基本不等式及數(shù)列單調(diào).【小試牛刀東省華南師范學(xué)附屬中學(xué)2018屆高三綜合測(cè)試】等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)若恒成立則數(shù)的最大值是（）A.B.C.D.【答案】三)證問(wèn)此類(lèi)不等式的證明常用的方法）比較法,別是差值比較法是最根本的方法）析法與合法一般是利用分析法分析,再用綜合法分析）放法主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目.【例3】設(shè)數(shù)列滿(mǎn),,其中為實(shí).（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；(設(shè)證（Ⅲ）設(shè)證明：【分析題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第(Ⅱ)題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；第（）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)然后利用前項(xiàng)和求再進(jìn)行適當(dāng)放.（Ⅱ）當(dāng)時(shí).顯,此時(shí)不存在正整,使得成立.當(dāng)時(shí),.令即

解得或（舍去）此時(shí)存在正整數(shù)使得成立,的最值為41.綜上,當(dāng)時(shí)不在滿(mǎn)足題意的；當(dāng)時(shí),存在滿(mǎn)足題意,其最小值41.【點(diǎn)評(píng)】本題的表示式有兩種,需對(duì)著兩種情況討論再確定是否存在滿(mǎn)足題意的.解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條,合函數(shù)與不等式的知識(shí)求解；數(shù)列是殊的函數(shù)以列為背景的不等式證明問(wèn)題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問(wèn)題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命的特點(diǎn)．3西省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2019屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值圍為A．B．C．D．【答案】【解析】當(dāng)n為偶時(shí)，由恒成立，得恒成立，由所，當(dāng)n為奇時(shí)，由恒成立，得恒立，由，所以，即，綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選D.4東省泰安市2019屆高三學(xué)期期中】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)積，并且滿(mǎn)足條件，給出下列結(jié)論的最值為，其中確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．3B．C．D．0【答案】5徽省宿州市2018屆三學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在等差數(shù)列,若的前項(xiàng)和有最大則當(dāng)時(shí)的大值為（）A.11B.12C.13D.14【答案】【解析】數(shù)列為等差數(shù)列,若則可得,,,,則當(dāng)時(shí)的大值為故

9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式若對(duì)任恒成立,則的取值范圍____________．【答案】10西太原市2018屆三3模擬】數(shù)列,若數(shù)列滿(mǎn)足則列的最大項(xiàng)為第_________項(xiàng)．【答案】【解析】因?yàn)?所以根據(jù)疊加法,所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),因此數(shù)列的大項(xiàng)為第6項(xiàng)11肅2018屆三第一次診斷性考試】已知數(shù)列滿(mǎn),,則的最小值__________．【答案】12西川縣中學(xué)2018屆高開(kāi)學(xué)考試】已知函,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)向i=(0,1),是量與的夾角,則使得恒成立的實(shí)數(shù)t的值范圍_________.【答案】【解析】根據(jù)題意得﹣θ是線(xiàn)OA傾斜,∴=tan（﹣）=∴要使恒成立則實(shí)數(shù)t的值圍是t≥．故案為：t≥．13一聯(lián)考2017—2018學(xué)高中畢業(yè)班階段性測(cè)試（四知差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前和,若不等式恒成立,則的最小值為_(kāi)_________【答案】14蘇省南師大附中2019屆三年級(jí)第一學(xué)期期中】己知實(shí)數(shù)，[04]，如果x，，

是公差為2的差數(shù)列，則的最小值_