工科大學(xué)高等數(shù)學(xué)試題與答案

試卷學(xué)期：20062007學(xué)年度第2學(xué)期

課程：高等數(shù)學(xué)(II)競賽專業(yè)：

姓名：

完整學(xué)號(hào)：題號(hào)得分一、得分

5~101213141516填空題小題分，總計(jì)16分）

總分1設(shè)函數(shù)fx)在x0點(diǎn)處具有二階連續(xù)數(shù)且，f，f則limx

f(x)x2

＝。2求y

sin

的導(dǎo)數(shù)y

。3區(qū)域Dxy，積分

＝

.D4設(shè)()，lim則＝nn

.二、得分題號(hào)答案

單項(xiàng)選擇題答案填入下表小題分，總計(jì)分）56810x5設(shè)f)kx

x

在x＝0處連續(xù)，＝()1,x（A－（B）16如果函數(shù)f()，則f1

n)

（C）－2x)＝()

（D）（A

2)

（B

2)

（C

(n)n

（D）

2(1)7如果

fx)dxsin，＝)111（Acos（Bcos（）cosx（D）2xx8若fxyy)x2xy，則

f()()（A－

（B）y2(＋y(D)

nnn9設(shè)D是曲線y及直線y＝圍，則nnnDe（D）1（A（B（C）22

dxdy＝()10．下列數(shù)中，絕對(duì)收斂的是()（A

（B（）n

1nn23

（）

2三、分

解答題（每題10，總計(jì)分）11．二元函數(shù)zf(x)x

(4)在直線，軸和軸所圍成閉區(qū)域上極值、最大值與最小值。12．過曲y

（x≥0）上某點(diǎn)A作一條切線，之與曲線及軸成的圖形的1面積為，求：(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)過切點(diǎn)A切線方程；12(3)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)體體V。

lnxlnx13求極限limnn(nn14．求x2的和函數(shù)，并計(jì)算的和數(shù)。(2n1)!

設(shè)y,t)而,y)是由方程(,t所確定的函數(shù)其中fF都具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求

dydx

。設(shè)是大于的常數(shù)且

11證明對(duì)于任意x＞0有xpqq

22(xx)0200

試卷答一、填空題每小題4分總計(jì)16分）1－2．sinx(cosxx

sinx5)3x3

4As二、單項(xiàng)選題，答案填入下表小題4，總計(jì)24）題號(hào)

56

7910答案

DBBAAC三、解答題每小題10，總計(jì)分）11．(1)fyxy(4y2f)2)2yx解聯(lián)立方程

ff)

得駐點(diǎn)（4）及所有橫坐＝，縱坐標(biāo)滿足0≤y≤6的點(diǎn)。易知這些駐中，只有點(diǎn)（2，1在D的部，且A＝f

xx

(2,1)＝6，Bf

xy

＝－4，C＝＝－8＜0yy∵B－AC＝－32＜0

∴（，1為極大值點(diǎn)極大值為＝(2)再求在D的界上的值①在邊界＝，0≤6，z＝0②在邊界＝，0≤6，z＝0③在邊界＋＝上，將y＝6－代f(y中，有f(x,y)2xx2(0x6)令f24x得駐x＝0及＝，相應(yīng)的函值為f在區(qū)間[0，點(diǎn)處有，比較這些函數(shù)值可得x

x

，

x

函數(shù)在閉區(qū)D上最大值為f＝4最小值為＝6412．(1)如圖，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)A,x0

)，而

)x，所以切方程為y(x)0令y＝0得切線與x交點(diǎn)為（，0是2x110212解得x，故A的標(biāo)為（1，1(2)將代入2

(x)得切線方程為0

lnxtxyttttyxttx，即yxlnxtxyttttyxttx(3)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V

10

x

2

)

2

11dx33013limlim令0x

11ln1t

＝limt

tlntln＝limt

111ln1

＝limt0

t＝t0

11＝214∵sin

(x2(2n1)!

∴當(dāng)x，

(nnn1)!

t

n

＝

nt2n＝n

(x2(2n1)!2n＝

(2(21)!n

1＝22∴(x

cosx2x

0

0,

(nn1當(dāng)x＝時(shí)，得＝sin1cos1n2n

15用全微分法求解。1由dF(,y,t，即FdxdyF解出dt(FdxF)Ftf于是dydf(x,)fffdxt(Fdx)，F(xiàn)tfFfF得(Ff)ff)dx故ttFFtty

1611令f(x)x