復(fù)數(shù)與復(fù)平面

復(fù)數(shù)與復(fù)平面第1頁/共50頁以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。研究對象第2頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。第3頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源1、16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者Cardan在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家。第4頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。第5頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源2、給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。第6頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源3、數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。第7頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源4、瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！钡?頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源5、法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在1747年指出，如果按照多項式的四則運(yùn)算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么它的結(jié)果總是a+ib的形式（a、b都是實數(shù)。6、法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的棣莫佛定理。第9頁/共50頁7、歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位?！疤摂?shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。復(fù)變函數(shù)的起源第10頁/共50頁8、挪威的測量學(xué)家成塞爾在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。復(fù)變函數(shù)的起源第11頁/共50頁

9、德國數(shù)學(xué)家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“阿甘得平面”。復(fù)變函數(shù)的起源第12頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源10、高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。第13頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的起源統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。第14頁/共50頁

經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集。復(fù)變函數(shù)的起源第15頁/共50頁隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。復(fù)變函數(shù)的起源第16頁/共50頁復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用1、系統(tǒng)分析、信號分析；2、流體力學(xué)；3、反常積分；4、量子力學(xué)；5、相對論；6、應(yīng)用數(shù)學(xué)。第17頁/共50頁第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一講復(fù)數(shù)及復(fù)平面學(xué)習(xí)要點掌握復(fù)數(shù)的意義及代數(shù)運(yùn)算掌握復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示方法掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根第18頁/共50頁§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)z的實部

Re(z)=x;虛部

Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)第19頁/共50頁

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)相等2.四則運(yùn)算z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第20頁/共50頁復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律和分配律。第21頁/共50頁

共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義若z=x+iy,稱z=x-

iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)3.共軛復(fù)數(shù)第22頁/共50頁第23頁/共50頁第24頁/共50頁解：第25頁/共50頁§2復(fù)數(shù)的幾何表示1.點的表示橫坐標(biāo)軸稱為實軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。第26頁/共50頁2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0時，幅角無意義。

第27頁/共50頁幅角無窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，第28頁/共50頁

當(dāng)z落于一,四象限時，不變。

當(dāng)z落于第二象限時，加p。

當(dāng)z落于第三象限時，減p.

第29頁/共50頁根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識，我們可以得到兩個重要的不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z1第30頁/共50頁3.三角表示法可以用復(fù)數(shù)的模與輻角來表示非零復(fù)數(shù)z4.指數(shù)表示法yox第31頁/共50頁例1例2例3第32頁/共50頁例1解：第33頁/共50頁例2解：第34頁/共50頁例2解：第35頁/共50頁例3證明：第36頁/共50頁例3證明：第37頁/共50頁§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘積與商利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法集合相等定理：第38頁/共50頁對除法，有將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法的幾何意義第39頁/共50頁例1解：第40頁/共50頁第41頁/共50頁2.復(fù)數(shù)的乘冪則有：——德摩弗(DeMoivre)公式第42頁/共50頁3.復(fù)數(shù)的方根第43頁/共50頁而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。第44頁/共50頁例2例