貴州省貴陽市花溪二中八年級數(shù)學競賽講座第十講 全等三角形 2

第講

全三形全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發(fā)點，運用全等三角形，可以證明相、線段和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題．利用全等三角形證明問題，關鍵在于從復雜的圖形中找到一對基礎的三角形，這對基礎的三角從實質上來說，是由三角形全等判定定理中的一對三角形變位而來，也可能是由幾對三角形組成，間的關系互相傳遞，應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：例求【例1】如，∠E=∠F=90°∠B=∠，AC＝AF，給出下列結論：①1=∠；BE=CF；eq\o\ac(△,③)≌△ABM；④CD=DN，中正確的結論是把你認為所有正確結論的序號填上)．(廣州市考)思點對一個復雜的圖形，先找出比較明顯的一對全等三角形，并發(fā)現(xiàn)用的條件，進而判斷推出其他三角形全等．注

兩個三角形的全等是指兩個圖形之間的一種‘對應”關系應’兩字，有“相當”的含意，對應關系是按一定標準的一對一的關系重合”是判斷其對應部分的標準．實際遇到的圖形個全等三角并不重合在一起中一個三角形是由另一個三角形按平行移動、翻拆、旋轉等方法得到，這種改變位置，不改變形狀大小的圖形變動叫三角形的全等變換．【例2】在△中AC＝5，線AD＝4，則邊AB的取范圍()A．1<AB<9．3<AB<13C．5<AB<13．9<AB<13(連云港市中考)思點線AC、ADAB不是同一個三角形的三條邊，通過中線倍長將散的條件加以集中．【例3】如，BD、CE分是△ABC邊AC和AB的高，點P在BD的長上，BP＝AC，點Q在CE上CQ=AB第1頁（共7頁）

求證：；⊥AQ．(江蘇省競賽題)思點(1)明對應的兩個三角形全等(2)在1)的礎上，證明PAQ=90°【例4】若兩三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應相等，試判斷這兩個三角形的第三邊對的角之間的關系，并說明理由．(“五杯”競賽題改編)思點運用全等三角形的判定和性質，探討兩角之間的關系，解題的關是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．注

有時圖中并沒有直接的全等三角形，需通過作輔助線構造全等三角形，完成恰當添輔助線的任，我們的思堆要經歷一個觀察、聯(lián)想、構造的過程．邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個條件使之組合可到關于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假，課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩元素．【例5】

如圖，已知四邊形紙片ABCD中AD，將∠ABCDAB分別對折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一E，你能獲哪些結?思點折前后重合的部分是全等的，從線段關系、角的關系、面積關系等不同方面進行探索，以獲得更多的結論．注例5融作、觀察、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說明道理，也探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑．善于在復雜圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構造基本的全等三角形是解題的關鍵，需要注的是，通常面臨下第2頁（共7頁）

情況時，我們才考慮構造全等三角形：(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結論需要全等三角形；(2)從題設條件無法證明圖形中三角形全等，證明需要另行構造全等三角形．學訓1．如圖，、′′別是銳和eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′C′中BC、′邊的高，且AB=′′AD′D，若使△≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′B′′請你補充條只需要填寫一個你認為適當?shù)臈l件)．(黑龍江省中考題)2．如圖，在△ABD和△ACE中有下列個論：AB=AC；AD＝；∠B=∠；BD=CE，以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出一個真命題(用號eq\o\ac(○,○)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,→)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,的)eq\o\ac(○,)形寫出)．海南省中考題3．如圖，把大小為4×4的正形方格圖形分割成兩個全等圖形，例如圖1．請在下圖中，沿著線畫出四種不同的分法，把4×的正形方格圖形分割成兩個全等圖形．4．如圖，⊥，⊥，＝，＝，BE和CD相交于O，則∠的數(shù)是．第3頁（共7頁）

5．如圖，已知OA=OB，OC=OD，列結論中：①A=B；②DE＝；連OE，OE平分∠，確的是()A．①②B．②③C．①D①②③6．如圖，A在DE上F在AB上且AC=CE∠＝∠＝∠，則DE的長等于()A．DCB．BCC．ABDAE+AC年武漢市選拔賽試)7．如圖AE∥CD，AC∥，與BC交AEBC于EDF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形(對A．5B．C．788．如圖，把eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC繞C順針旋轉35，得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′′′A′′AC于點D，已知∠′°，求∠A的度．(貴州省中)9如圖在△和ACD中給以下4個論①AB=AC②＝AE③＝④AD⊥AEBE以其中3個斷為題設，填人下面“已知”欄中，一個論斷為結論，填人下面的“求證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．已知：求證：(荊州市中考題)10．如圖，已知1=∠2，⊥AD于，交延長線于M第4頁（共7頁）

求證：∠M=

（∠ACB－∠(天津市競)11．在△ABC中，AD和BE交點，BHAC則∠ABC＝．12．如圖，已知AE平∠BAC，⊥AE于EEDAC∠BAE36°，那么∠BED．(河南省競賽題)13．如圖，D是ABC的邊AB上點DF交C點，給出3個斷：①DE=FE；②AE＝CE；③∥AB，以其中一個論斷為結論，其余兩個論斷為條件，可作出個命，中正確命題的個數(shù)是．(武漢市選拔賽試)14．如圖，∥，∠＝∠2，3∠，AD=4BC=2，那AB=．15．如圖，在中，是∠的角平分線P是AD上于A的意一點，設＝，＝，AB=c，AC=b，則（m+n）(b+c)大關(A．m+n>b+c．m+n<b+cm+n=b+c．不能確定16．如圖，在四邊形ABCD中對角線AC平分AB>AD下列結論中正確的()．BAD>CB－CDB．AB－＝—第5頁（共7頁）

C．AB—AD<CB—CDD．AB－與—CD的大關系不確定．(江蘇省競賽題)17．考查下列命()(1)全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等；(2)兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中對應相等的兩個三角形全等；(3)兩角和其中一角的角平分或第三角的角平分對應相等的兩個三角形全等；(4)兩邊和其中一邊上的高(或第邊上的)對應相等的兩個三角形全等．其中正確命題的個數(shù)()A．4個B．個C．2個D1個18．如圖，在四邊形中AC平∠BAD過⊥AB于E，并且AE=的度數(shù)．(上海市競賽題

(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC19．如圖，△ABC中，D是BC的點DE⊥DF試判斷BE+CF與EF的大關系，并證明你的結論．20．如圖，已知AB=CD=AE＝，ABC=∠AED=90，求五邊形ABCDC的面．(江蘇省競賽題)21．如圖，在中∠°，AD、CE分別分BAC、∠ACB，證AC=AF+CD．(武漢市選拔賽試)22．(1)已△和eq