計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中相關(guān)證明

t01ttttttt01t0tttt0tt01t01ttttt01ttttttt01t0tttt0tt01t01ttttttttittijiijjijii課本中相關(guān)章的證明程第章有的明程2.1一元性歸型有一元線性回歸模型為：=++上式表示變量和之的真實(shí)關(guān)系。其中y稱解釋變〔因變量稱釋變量〔自變量稱機(jī)誤差項(xiàng)稱數(shù)稱歸系通常未知型可以分為兩部分?！病硽w數(shù)分E()=+x〔〕機(jī)分u。圖

真實(shí)的回歸直線這種模型可以賦予各種實(shí)際意義入與支出的關(guān)系如脈搏與血壓的關(guān)系商品價(jià)格與供應(yīng)量的關(guān)系文件容量與保時(shí)間的關(guān)系區(qū)木材采伐量與木材剩余物的關(guān)系高與體重的關(guān)系等。以入支的系例假設(shè)固定對一個(gè)家庭進(jìn)行觀察著收入水平的不同與出呈線性函數(shù)關(guān)系但際上數(shù)據(jù)來自各個(gè)家庭來自各個(gè)同收入水平使其他條件不變成為不可能以由數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖不在一條直線上〔不呈函數(shù)關(guān)系散在直線周圍，服從統(tǒng)計(jì)關(guān)系。隨機(jī)誤差項(xiàng)中可能包括家庭人口數(shù)不同，消費(fèi)習(xí)慣不同，不同地域的消費(fèi)指數(shù)不，不同家庭的外來收入不同等因素。所以在經(jīng)濟(jì)問上控其因不”際不能?；貧w模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)中一般包括如下幾項(xiàng)內(nèi)容非要解釋變量的省略的隨機(jī)行為〕數(shù)學(xué)模型形式欠妥〕歸并誤差〔糧食歸并〕測量誤差等?；貧w模型存兩特立在某些假定條件不變前提下抽象出來的回歸函不能百分之百地再現(xiàn)所研究的經(jīng)濟(jì)過程正是由于這些假定與抽象才使我能夠透過復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，深刻認(rèn)識(shí)到該經(jīng)濟(jì)過程的本質(zhì)。通線回歸函數(shù)E(y)+是觀察到用樣本得到的只是對E(y)=+的計(jì)，即對和的計(jì)。在對回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前應(yīng)該對隨機(jī)誤差項(xiàng)u做出如下假定。是個(gè)隨機(jī)變量的值服從概率分布。E(u)=0D(u=E[u-u)]2

=u)2

=

。稱具有同方差性。為態(tài)分布〔根據(jù)中心極限定理四個(gè)假定可作如下表達(dá)N

)。Cov(uu)E[(-E(u)(-E())]=uu)=(i)義是不同觀測值所對應(yīng)的隨機(jī)項(xiàng)相互獨(dú)立。稱為u的非自相關(guān)性。x是隨機(jī)的。1

iiiiiiiiiiiiiiiiitt01tt01t??iiiiiiiiiiiiiiiiitt01tt01t???2??????x)=E[(u-E(u)(x-E(x))]=ux-E()]E[-u)]=E(ux)=0.與相互獨(dú)立。否則，分不清是誰對的獻(xiàn)。對多元線性回歸模型，解釋變量之間不能完全相關(guān)或高度相關(guān)〔非多重共線在假定〔1立條件下有E()=+x+u)=+x。小乘計(jì)OLS〕對于所研究的經(jīng)濟(jì)問題通常真實(shí)的回歸直線是觀測不到的集樣本的目的就是要對這條真實(shí)的回歸直線做出估計(jì)。圖2.9怎樣估計(jì)這條直線呢？顯然綜合起來看條線處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置最合理樣用數(shù)學(xué)語言描述“處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置”？設(shè)估計(jì)的直線用=+xt0表示。其中稱的合〔fittedvalue和分是和估計(jì)量。觀測值到t1這條直線的縱向距離用表，稱為差ty==+tt

x+

t稱為估計(jì)的模型。假定樣本容量為用“殘差和最小”確定直線位置是一個(gè)途徑。但很快發(fā)現(xiàn)計(jì)算“殘差和”存在相互抵消的問題“差絕對值和最小”確定直線位置也是一個(gè)途徑。但絕對值的計(jì)算比較麻煩最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置用小二乘法除計(jì)算比較方便外到的估計(jì)量還具有優(yōu)良特這種方法對異常值非常敏感殘平方和用Q表，Q=

T

t

2

=

(y)=tt

(x)t1t

2

，i

ii則通過Q最小定這條直線確和的估計(jì)和為量Q看是和0的函數(shù)，這是一個(gè)求極值的問題。求Q對和的偏導(dǎo)數(shù)令其為零，正規(guī)方，01

=2y)(-1)0t1ti

(2.7)

=2)t0ti

(-x)0(2.8)下面用數(shù)和矩陣兩種形推計(jì)算結(jié)果。首先用代數(shù)形式推導(dǎo)。由2.7式得，2

22T

x)=0t01t

(2.9)i1Ti1

x)x0(2.10)t01tt〔2.9式兩側(cè)用除，理，=y01

x

(2.11)把〔2.11〕代入2.10式并理，得，T

yt

y)

0(2.12)1ttiT

t

t1

T

t

0(2.13)ti1

i11

=

xy)tttt

(2.14)因?yàn)?/p>

T

x(yt

y)=，

T

t

=0，[采離差和為零的結(jié)論：

T

t

0

，i1

i1

iT

t

y)0

]。i1所以，通配方法別在〔2.14式的分子和分母上減

T

x(yt

y)

T

t

x)得，i1

i11

=

xttt

t

x(ytt

x)

(2.15)=

ytt2t

(2.16)即有結(jié)果：1

=

yx)

)

〔2.17=y01

x

這觀值式如果離形表就加潔記1

=

xttxt=y01

x3

??tt0=ttttttt??tt0=ttttttt?t?矩陣形式推導(dǎo)計(jì)算結(jié)果：由正規(guī)方程，

=2y)t1ti=2)t0ti

(-1)=0(-x)0+(

T)t

tii

t

+(

t

2

)=

tti

i

iT

x

t

2t

ytt

t

x2t

xytt

=

t

2

1)t

T

xtt

2ytttttx)ttxttttx)tt

注：鍵是求逆矩陣

T

x

t

x2t

。它等于其伴隨陣除以其行列式，伴隨陣是其行列式對應(yīng)的代數(shù)余子式構(gòu)成的方陣的轉(zhuǎn)置。寫觀值式=

()(y)tttt)2t=x如，離形表更簡：=

xyt

t=x4

iiiiiiiiiiixx??12iiiiiii?2iiiiiiiiii1iiiiiiiiiiiiiiiiiixx??12iiiiiii?2iiiiiiiiii1iiiiiii2iii2iiiiiiiixxiiiiiiii?22ii?22ii2ii2.3一元性歸型特．線性性將果差化觀值現(xiàn)式〕

xY)

xx2iiXXK1YKXYn

1n

K．無偏KYK(u)KKu其中：

K

x

X)

KX

x(X)2ii

(X)X

2X2

i

2

故有：

u(

K)Eu5

ii1iiiiiiiiiiiiii11ii1?2?2))2iiiiii1iiiiiiiiiiiiii11ii1?2?2))2iiiiii11nn1nniiijijiiiiijijiiiii?

1Kn

1n

iXi

XXKKuKKXK

()u(K)．效首先討論參數(shù)估計(jì)量的方差。

Var(

)E

E

?2()u))()2uu)(Ku)()2KuuijE

Ku)E

(Ku)

E

KKuij

KEu

xx

x即：

Var()

x

i6

ii??))(iiiii2iijij?iii222i2iiiii22ii2iii??))(iiiii2iijij?iii222i2iiiii22ii2i同理有：Var()

X2xVar(

)E(

(

?2

KX)

1n

2K

1n

2

u

ij

1n

1n

X

uuVar

)

KX

(

X)

2

X

2

2i

n

()2nx

(

2)(

X

2

)(2

)7

ii?1iiiiiiii2iiii?ii2i??i2ii2iiii?1iiiiiiii2iiii?ii2i??i2ii2ii2iii?ii2i?2ii2iii22

X顯然各自的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：(

)

x

i

，

(

)

2n2標(biāo)準(zhǔn)差的作用：衡量估計(jì)值的精度。由于σ為總體方差，也需要用樣本進(jìn)行估計(jì)。

證明過程如下：回顧:YX因此有：

YX那么：

)(

Xu)(

X)

x()ex根據(jù)定義：，〔實(shí)際觀測值與樣本回歸線的差值〕則有：(x(u))x))兩邊平方，再求和：e

()

u)(x

))

(

)

2

x2(uu2()uu)x

i對上式兩邊取期望有：E(

e)()2((iu)

22

i

u)x

i

8

2iiijiiiiiiiii?2ii2iiijiiiiiiiii?2iiiiiiiC其中：

A

i

i

u

i

1nE(n

u)

n

1(n

u

ij

uu)n(n)(n1)

x2E

x

E

xux2

2E()

2

x22

故有：

E

(

即有：

E

2n2

，令

，則問題得證。關(guān)于

的計(jì)算：9

ii?iii22ii?iii22222tt

e

?i

R關(guān)證：RR

a1R

2

，其中：

a。當(dāng)

kR1

11

1當(dāng)

k1a10，當(dāng)時(shí)，有：RRRaR

a21aRR

Q.E.D.關(guān)

R

可小0的明設(shè)：

Y則有：

minminX??

那么

J02ttt010

t??t2tt2tttttttttttt2tt2??22?2t2t2?2222t??t2tt2tttttttttttt2tt2??22?2t2t2?2222??222tt2e0但：，為沒有

存在。同時(shí)，還有：

2

eYXteYnY2

t

其中：Xee

Xe

X

ne

n

，和

X0

則：nXeXnXne2ene2nXe2n2e11

考慮到：?e?2tt?2??2t?2??2Xe考慮到：?e?2tt?2??2t?2??2Xetts??nY2ne22tet2

2tt假設(shè)定義TSS

X

2Xe2RSSTSS

te2RSSTSSn2Xe

X

t2??2t22

X

tn1

X2tXtXts

tts可能小于0。參考書：DennisJ.AignerBasicEconometrics,Prentice-Hall,EnglewoodCliffs,N.J.1971,pp85-8812

^ixiii^ixiii第章單性歸小乘計(jì)小差質(zhì)證明對于OLS估式

1

和

2

,已其方差為Var(

1

NiVar

)

2i這里只證明

(

2

)

最小，

(

1

)

最小的證明可以類似得出。設(shè)

的另一個(gè)線性無偏估計(jì)為

*

，即*2

ii其中

,iiiii(

*

)(wY)ii[

i

)]1ii1i

Xi

i因?yàn)?/p>

*

也是無偏估計(jì)，即

E(

)22

，必須有

wi

，

wXi

i

同時(shí)

*2

)Var)iiVar()ii

wi

[因?yàn)?/p>

Var)i

2

]

(w)iii()ii

k)iiii

(2ii

i

()iii上式最后一項(xiàng)中

wkiii

xi

(

22)2i13

i而，為i時(shí)，*^^i而，為i時(shí)，*^^))^

w(X)iix2i

12i

wXiiixi

1xi

〔因?yàn)?/p>

wXi，ii

〕所以

(

)2

(w)ii

2

[

x(2)i

]

()2ii

2i

()ii

2

(

22w

i

(w，則有ii

2

，為此(

2

)(

)2只有

wii

(

2

)Var(

)2

由2是任意設(shè)定的的性無偏估計(jì)式這說明

的OLS估式具有最小方差性。

2

最二估的明用離差形式表示模型時(shí)yii

X)2ii

X)2ui

x2i而且

ii

^i1^2

xi因此

xiiii2i則有

u)x]2iii14

E[(^^iixii^E[(^^iixii^)i

2

22

2

i

u)2ii取

e2i

的期望(2i

)E[u)i

]2i

(

(u)]2ii式中(1)

E[)i

]E[i

()

](2)i

(i

2

(1

2n

uuu)12n

21

2n

)n(2)

xi

(

i

2i

(3)

[(

^uu][(x)]2iiiiii[

)2i

2

][(

2i

]

E(i

22

2

所以

(2)i

如果定義

^

2

i其期望值為

^E(

E[

i

]這說明

^2

2i

是的偏估計(jì)。15

^^βVar^^βVarVar(^^ββ^第章元性歸小乘計(jì)偏的明因?yàn)閷蛇吶∑?

β=(XX=(XX+U)(X(Xβ=+(β)β+X(U)]=β

[由假定1:

E=

]^即是的無偏估計(jì)。元性歸小乘計(jì)小差的明設(shè)

β*

為的另一個(gè)關(guān)于Y的線性無偏估計(jì)式，可知β*

AY

〔為數(shù)矩陣〕由無偏性可得所以必須有

*)E(AY)=[A(X=E(AXβ)+=E(β)AX=I要證明最小二乘法估計(jì)式的方差

)

小于其他線性去偏估計(jì)式的方差

*

)

只證明協(xié)方差矩陣之差E[(β

*β)(β*

β)(ββ)(ββ)^為半正定矩陣，則稱最小二乘估計(jì)是的最小方差線性無偏估計(jì)式。因?yàn)?/p>

*

β=U)所以

AXβ+AU=β+βE[(β*β)(*β)(AUUAA

2由于

β=(XXβ(XX16

^^^^^^^^CC^^^E[(ββ)(ββ)[XXE[(X-1X](XX)X(X

-1

-1X

-1

所以

[β*β)(β*β)ββ)(ββ)

AA

(X

-1]由于[(X

-1X(XX(XXX(X

AA

(XX

AX(X+(XX

-1-1AA(X由線性代數(shù)知，對任一非奇異矩陣，為半正定矩陣。如果令

[-(X

-1

XC則

CC

=(XX-(XX

(X

-1由于半正定矩陣對角線元素非負(fù)，因此有

AA

(X

-1

即

(2(jjjj

〔

j1,2,

〕這證明了

j

的最小二乘估計(jì)

j

在

j

的所有無偏估計(jì)中是方差最小的估計(jì)式。差方

e

i

的值

n

的明由殘差向量的定義及參數(shù)的最小二乘估計(jì)式，有Y-Y=Y-Xβ-X(XXX(X

-1

X可以記

P=I-X(XX

，則==[I-X(XXXβX+容易驗(yàn)證，為稱等冪矩陣，即P=17

??iiiii2iii??iiiii2iii2ii2?iiii222P

==殘差向量的協(xié)方差矩陣為(

[PU(PU)

[P(UU[E(UU2

I)P

PP

利用矩陣跡的性質(zhì)，有兩邊取期望得

e2(iE(

e2i

)(etr(eetr[E(tr[]

tr[IX(XX

{I)tr[

-1

X

[n(I)]n

2第章、參估的偏仍成設(shè)模型為

YXiiii

,n

〔〕用離差形式表示

yi

x2i

i

(其中

uii

)

〔2〕參數(shù)

的估計(jì)量

為xy()2x2iii2i()()()2xii

18

?iixiiijiiiii???zi????iiiiii?iixiiijiiiii???zi????iiiiii在證明中僅用到了假定

xii

。、參估的效不立var(u)X假設(shè)〔〕存在異方差，且iii，則參數(shù)估計(jì)

2

的方差為Var(

2

u2i

E

u2i

2

E

i

2uxxiiijij(i

i

E(2x(uu)iiijij(i

E(u2ii(x2i

)

2ii(2)i

2X(2)i

i

i

xi

i

(5)(u)ijij在上述推導(dǎo)中用了假定。下面對〔2〕式運(yùn)用加權(quán)最小二法WLS權(quán)為uiiiziii

wi

zi

，對〔〕變換為〔6〕可求得參數(shù)的估計(jì)

2

根本章第四節(jié)變量變換法的論時(shí)新的隨機(jī)誤差項(xiàng)

ii

為同方i)z差，即i，

的方差為var(

)2wls

i

2

〔7〕為了便于區(qū)別(

)

表示加權(quán)最小二乘法估計(jì)的

用(

)

表示OLS法估的

。比較5〕式與7〕式，即在異差下用OLS法得到參數(shù)估計(jì)的方差與用WLS法到參數(shù)估計(jì)的方差相比較為

)var()

i2i

i22i

ii

i

2zii

〔8〕19

xixz??????????Yxixz??????????YYY??e*??令

xizi

,biiii

，由初等數(shù)學(xué)知識(shí)有

2

，因此〔10〕式右端有

xii

22ii

〔9〕從而，有)2

)2ols這就證明了在異方差下，仍然用普通最小二乘法所得到的參數(shù)估計(jì)值的方差不再最小。對數(shù)換殘為對差證事實(shí)上，設(shè)樣本回歸函數(shù)為Yi12ii

〔10〕其中

eii

為殘差，取對數(shù)后的樣本回歸函數(shù)為lnY1

2

*

〔11其中殘差為

*lnYln

，因此

*

lnlnln(

YY)ln()ln(1)???

〔12對〔12〕的右端，依據(jù)泰勒展

X2

X4

4

n

Xn

n

〔13將〔13〕中的用

YY

替換，則可似地表示為*

YY

〔14即說明〔〕中的誤差項(xiàng)為相誤差。20

?)?2?)?2x第章存自關(guān)參估值差的明Var(

)E(

22E

ΣxttΣxt

1Σx

t

(xuu)22n

1Σx

2r

2

[(22u12

22nn

)+

2(xxux121233

n

xu)]n

1Σ

2t

[(E(2)x2u2)E(u)1n+

2xE(uxxEuux12111

n

xEun

n

un

2Σx2(22tt

[xxx2

x

]

t

(1

xttt2t

xtttt

xx1n2t

)t

t

t

t21

^11iiiinniin^11iiiinniin2iiE)第章

概極性的明plimn

plim2n

plim2n

3

x2ii2i

limn

(2ii2iplimlim(u)nn11plimxlimx2nn

CovCovuii2iiVarXXii

其中：

x2i

為X的本方差，

x2i3i

為X和的樣協(xié)方差，

x()2ii

為X和

u

i

的樣本協(xié)方差。數(shù)一性證p

lim

p

()(u))xx(uiiii3iiix2x)2ii2i3i

lim)((u))