第十章曲線積分與曲面積分

第三 及其應 積 平面上曲線積分與路徑無關的條分-1第三 及其應—設D為平面區(qū)域,如果D第十都屬于D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為章DD

-2第三 及其應定理1.DL圍成Px,y),Qx,y)D上具有連續(xù)一階偏導數(shù) P章 章D曲

dxdy

PdxQdy L積線證明:1)若D既是Y-積與 D:1(y)x2(與

x

(

cyd

(y)

x1( c則分 則分

xdxd

dy

(y cQ(2(y),y)dycQ(1(y),y)d-3第三 及其應LQ(x,y)dyc

y dQ(1(y),y)dy

Q(2(y),

x(

x1( 章所以線

xdxdyLQ(x,y)dD

分 PD面 D面積分

dxd

P(x,L(QP

dxdy

PdxQd

-4第三 及其應2)若D不滿足以上條件,, ALA2 2E線E積分 與 與

Q

(

)dxdy

(

)dxdy

(

積 分

PdxQdy

Pdx

AB

AEBLPdx-5第三 及其應QPdxdy

PdxQdD L yD L第十推論LD章 A ydx1xdyy xa分例如橢圓L與曲

y

,02積 A積

xdyyL1

absin2

2-6第三 計算曲線積分

及其應(2xy2y)dx(x

4其中L為正向圓周x2y2 十第 取P2xy2 Qx24 十章 Q

(2x4)(2x2) 線分積分與曲面

(2xy2y)dx(x

4分 分D-7第三 及其應 計算曲線積分(x2y2)dx(x LL為以點O(0,0A(1,0B(0,1) 章邊界 線

取Px2y2 Qx 12 曲 曲 ( y)dx(x (12 1dx (12y) 1 -8第三 及其應 計算曲線積分

(xy)dx(x x2yL為逆時針方向的圓周x2y2a2 xy x2線

yx2y2

x2y2a 積不滿與

的條件，但在L上x2y2 (xy)dx(xy)dy

(xy)dx(xa積 x2 2a積 aa2D

-9第三 及其應例

sinymy)dx

xcosyL為由點A(1,1)沿曲線y

到點第 十

D線段LBA, 11積 11積與 與

(exsinymy)dx(excosy

L

面 面

(excosyexcosy1

1(e1

sin1

dx2

(ee1)sin1 (ee1)sin13

-10第三例5

及其應(2xyex2)dx(eL

其中L為由點O(0,0)沿曲線y 2x

到點第解 解章曲曲

1線段1分

L2BA,2曲 (2xyex2)dx(e2曲積 積

mx)dy LL1

D

00dx1

1

me14

-11例6計算

第三 及其應xdyydx其中L x2第章解令P章曲

yx2y2

,Q

x2y2 P積線則當x2y20時積分與

(x2y2 曲設L所圍區(qū)域為D,當(0,0)D時, y面y xdyydx x2 -12第三 及其應當(0,0D時,在D內作圓周l:x2y2r2取逆時針方向,LlˉD1D1應用格十第 , 十章xdyydx章

xdy x2線 xdy

x2 1與 Ll1與曲

x2

0dxdy xdy xdy積

x2

r2cos2r2sin2r-13

第三 及其應 平面上曲線積分與路徑無關的條定理2.設D函數(shù)Px,yQxy)在D第具有一階連續(xù)偏導數(shù),則以下四個條件等價章曲(1)DPQ積 積與分(2DL有LPdxQdy0.與曲面(3DL曲線積分曲積 與路徑無關,只與起止點有關

PdxQd(4)PdxQdyDuxy)的全微分 du(x,y)PdxQd-14第三 及其應證明 設L為D中任一分段光滑閉曲線D十(如圖),D十 P線 線積

D利 ,與

面 ?PdxQdy面 分

xy)dxd-15證明

第三

及其應BL1,L2為D內任意兩條由A到BB第線十章

PdxQdy

PdxQd 112線 PdxQdy112線積

PdxQd L L與 與曲

L1

PdxQdy PdxQdyBAPdxQd2 積 PdxQdyBAPdxQd2 積分說明積分與路徑無關時-16證明

第三

及其應在D內取定點Ax0y0和任一點Bxy第與路徑無關曲

B(x,yA(x0,y0

C(xx,y線 xuu(xx,y)u(x,積 分(xx,y 分 (x,y Pd 曲

Pd lim

P(,limP(,y)P(x,u(x,y)(x,yu(x,y)(x,y(x,yPdxQd 同理可證uQx,y),因此有duPdxQd-17證明

第三

及其應uxy十 duPdxQd十 uP(x, uQ(x,曲 線 P

Q

P,

x y

在D內具有連續(xù)的偏導數(shù),所以 x

y從而在D內每一點都P

-18第三 及其應說明:LP(x,y)dxQ(x,第與路徑無關,則在此單連通域內PdxQdy十章的計 線 u(x,y)線積

(x,yP(x,y)dxQ(x,(x0,y0 與 00 00

P(x,y yQ(x, x 分(x2,y2

yQ(x0,y)dy

P(x,

PdxQdyu(x2,y2)u(x1,y1)-19第三 及其應例7計算曲線積分

(5x4

4xy3)dx(6x2y2

5y4其中LA(1,0)x2十到點十

41章 P5x44xy3,Q6x2y25y4,Py12xy2 因此積分與路徑無關 積 (5x44xy3)dx(6x2y25y4 曲x (5x44xy3)dx(6x2y25y4 x 分 (5x44xy3)dx(6x2y25y4205x4dx(5y4)dy2 -20第三 及其應2例8證明:積分

(1

y)dx

yy

yL L只與L的起點和終點有關,而與所取路徑無關,其中章不經(jīng)過y章(2,

線 (1,)(1x2cosx)dx(sinxxcosx線

Qsinyycos P1 cos曲 曲 2

分 Py分2

x2cos

sin

1(1

x2

x

1-21第三 及其應例9計算曲線積分

xy)dxxy)dy x2L為從點A(1,0)沿橢圓

y P線積

xyx2y2x2y22

Q yxx2y2

P分P曲 (x2y2曲1取Lxcostysin1積

t從0 原式0

[(costsint)sint(costsint)cost]dt-22

第三 及其應du(2xcosyy2sinx)dx(2ycosxx2sin求ux,十 線 u線積

(x,y)(2xcosyy2)dx(0,0)

(2ycosx

x2siny)dy ( (0,0)

(x,y (x 2xdx

(2ycosxxsiny)dyx2cosyy2cosx-23

第三 及其應第du2xcosydxy2sinxdx2ycosxdyx2sin第 cos y2dcosxcosxdy2x2dcos章 d(x2cos d(y2cos線 d(x2cosyy2cos分曲 ux2cosy