可降的高階微分方程_第1頁
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可降階的高階微分一、ynfx解法yn1

fxdxC1.yn2

fxdx

fxdxdxC1xC2,y

fxdx x

xn1 dxn其中~1,~2, C~ 例1yexcosx的通解yexsinxC1,yexcosxCxC yexsinx1CxCxC 例 求方程xy(5)y(4)0的通解解設(shè)y(4)P( y(5)P(代入

xPP0,（P解線性方程PC1

即y(4)C1兩端積

1Cx2C y x5C2x3C3x2Cx 原方程通解為yd1x5dx3dx2dxd yfx,y)型（不顯含變y）解法令ypx,yp,代入原方程得:dpfx,p px,C又pdy

dyx,C 兩邊積分yx,C1dxC2其中C1,C2為任意常數(shù)例3求微分方程x2yxy1滿足初 y11的特解.解令yp( x2pxp

pp1 1dx 1

Ce其通解pe

x2

dxC1

lnx 22

C1dy11lnx

yln

12

x2y10,C2

得方程特解yln

12

x2 yfyy解法：yp

不顯含xypdpydydpydpdypdp 代入方pdpfyppy,C dyy,C原方程的通解:

y,C1

xC2 4求方程yyy20的通解解yp

則ypdp代入

ypdpp2分離變量得dpdy 兩邊積分并化pC

即dyC 分離變量得dyC

yCeC1x 解法

求方程yyy20的通解兩端同乘不為零因子1yyy2

dxy C

yC1從而通解為yC2e 解法 原方程變

yy 兩邊積分,得lnylny 即yC1C原方程通解為yC2e 例 求通解y

12

.(方程不顯含yp

ypdp 1 代入方

2

, dp1 2

dy,1p2C1y,p

即dy C1yC1yC1yC1yC1y

xC2 例6求方程x1yylnx1解ypx),則y

代入原方程dp p

lnx x xp x1lnx1x1Cx1 1即dylnx11 xyx1C1lnx12xC2例 已知

121

fx

fxx

xddt,

d1x代入原方程

xftdt0

12

x兩邊對x求導(dǎo)可得fx2

fx1fx2一階線性非齊一階線性非齊 x2例8fxfxexexx2

ftdt,

x注意此條件的確定方解令x 得f注意此條件的確定方

0 exexexexftdtx20

ex

x fxfxexfxfxfxexfxfx2fxfx

1ex 即y2yy1ex,令zy1, dz

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