中考數(shù)學(xué)壓軸題：動點(diǎn)類問題

專題復(fù)習(xí)（8）1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B在軸上，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEF，點(diǎn)O，B對應(yīng)點(diǎn)分別是E，F(xiàn).（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)是，請在圖中畫出△AEF，并寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)F落在軸上方時，試寫出一個符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點(diǎn)D在y軸上.直線CB的表達(dá)式為y=－x+，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（－4，0），（0，4）.動點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行.動點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)行，速度均為每秒1個單位.當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們同時停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動t（秒）時，△OPQ的面積為s（不能構(gòu)成△OPQ的動點(diǎn)除外）.（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時s有最大值？并求出最大值.OxOxyABCDPQ（備用圖2）90Ox（備用圖2）90OxyABCDOxyABCD（備用圖1）903、如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為ts，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動？（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求t的值．4、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根（1）求線段BC的長度；（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時，與軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對稱軸與軸的交點(diǎn)為H.（1）求，的值；（2）連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由；（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B在軸上，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEF，點(diǎn)O，B對應(yīng)點(diǎn)分別是E，F(xiàn).（1）若點(diǎn)B的坐標(biāo)是，請在圖中畫出△AEF，并寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)F落在軸上方時，試寫出一個符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).【答案】解：（1）如答圖，△AEF就是所求作的三角形；點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，3)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是.（2）答案不唯一，如B.【考點(diǎn)】開放型；網(wǎng)格問題；圖形的設(shè)計（面動旋轉(zhuǎn)）；點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】（1）將線段AO、AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE、AF，連接EF，則△AEF就是所求作的三角形，從而根據(jù)圖形得到點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo).（2）由于旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(3，3)，所以當(dāng)點(diǎn)F落在軸上方時，只要即即可，從而符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)可以是等，答案不唯一.2、如圖，在直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點(diǎn)D在y軸上.直線CB的表達(dá)式為y=－x+，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（－4，0），（0，4）.動點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)行.動點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BCD上勻速運(yùn)行，速度均為每秒1個單位.當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，它們同時停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動t（秒）時，△OPQ的面積為s（不能構(gòu)成△OPQ的動點(diǎn)除外）.（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時s有最大值？并求出最大值.OxOxyABCDPQ（備用圖2）90O（備用圖2）90OxyABCDOxyABCD（備用圖1）90考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析：（1）把y=4代入y=－x+求得x的值，則可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，把y=0代入y=－x+求得x的值，即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）作CM⊥AB于M，則可求得CM與BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分別從0＜t＜4時，當(dāng)4＜t≤5時與當(dāng)5＜t≤6時去分析求解即可求得答案；（3）在（2）的情況下s的最大值，然后比較即可求得答案．解答：解：（1）把y=4代入y＝－x＋，得x=1．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）．當(dāng)y=0時，－x＋＝0，∴x=4．∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0）．（2）作CM⊥AB于M，則CM=4，BM=3．∴BC===5．∴sin∠ABC==．①當(dāng)0＜t＜4時，作QN⊥OB于N，則QN＝BQ·sin∠ABC＝t.∴S＝OP·QN＝（4－t）×t＝－t2＋t（0＜t＜4）.②當(dāng)4＜t≤5時，（圖1），連接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝t.∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.＝t2－t（4＜t≤5）.③當(dāng)5＜t≤6時，（圖2），連接QO，QP.S＝×OP×OD＝（t－4）×4.＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4時，當(dāng)t＝＝2時，S最大＝＝.②在4＜t≤5時，對于拋物線S＝t2－t，當(dāng)t＝－＝2時，S最?。健?2－×2＝－.∴拋物線S＝t2－t的頂點(diǎn)為（2，－）.∴在4＜t≤5時，S隨t的增大而增大.∴當(dāng)t＝5時，S最大＝×52－×5＝2.③在5＜t≤6時，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S隨t的增大而增大.∴當(dāng)t＝6時，S最大＝2×6－8＝4.∴綜合三種情況，當(dāng)t＝6時，S取得最大值，最大值是4.點(diǎn)評：此題考查了點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，三角形面積的求解方法以及利用二次函數(shù)的知識求函數(shù)的最大值的問題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時要注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3、如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為ts，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動？（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求t的值．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：（1）通過比較線段AB，BC的大小，找出較短的線段，根據(jù)速度公式可以直接求得；（2）由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來，三角形的高可由相似三角形的性質(zhì)也用含t的代數(shù)式表示出來，代入三角形的面積公式可得到一個二次函數(shù)，即可求出S的最值；（3）通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，由勾股定理用含t的代數(shù)式把△PQB三邊表示出來，根據(jù)線段相等列出等式求解，即可求的結(jié)論．解答：解：（1）作CE⊥AB于E，∵DC∥AB，DA⊥AB，∴四邊形AFVE是矩形，∴AE=DE=5，CE=AD=4，∴BE=3，∴BC=，∴BC＜AB，∴P到C時，P、Q同時停止運(yùn)動，∴t=（秒），即t=5秒時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．（2）由題意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，∴，即，∴BF=，∴S=QB?PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），∵﹣＜0，∴S有最大值，當(dāng)t=4時，S的最大值是；（3）∵cos∠B=，∴BF=t?cos∠B=，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，∴QP===4①當(dāng)PQ=PB時，即QP═4，解得t=（舍去負(fù)值）∵t=＞5，不合題意，②當(dāng)PQ=BQ時，即4=8﹣t，解得：t1=0（舍去），t2=，③當(dāng)QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．綜上所述：當(dāng)t=秒或t=4秒時，△PQB為等腰三角形．點(diǎn)評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、列函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)，能根據(jù)已知條件把所需線段用含t的代數(shù)式表示來，靈活用用三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵，要注意分類思想、方程思想的應(yīng)用．4、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根（1）求線段BC的長度；（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長度；（2）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA2=OC?OB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標(biāo)；（4）A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標(biāo)即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB?OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，∴D的縱坐標(biāo)為1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），（4）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直線BD的解析式為：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，當(dāng)PA=AB時，如圖1，此時，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P與E重合，∴P的坐標(biāo)為（﹣3，0），當(dāng)PA=PB時，如圖2，此時，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），當(dāng)PB=AB時，如圖3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，記此時點(diǎn)P為P1，過點(diǎn)P1作P1F⊥x軸于點(diǎn)F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時，記此時點(diǎn)P為P2，過點(diǎn)P2作P2G⊥x軸于點(diǎn)G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．5、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時，與軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對稱軸與軸的交點(diǎn)為H.（1）求，的值；（2）連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由；（3）現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與軸相交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA=BC.又∵△ABC的面積=BC×OA=4，即=4，∴OA=2.∴A，B，C.∴，解得.∴.（2）△OEF是等腰三角形.理由如下：如答圖1，∵A，B，∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為，又∵平移后的拋物線頂點(diǎn)F在射線BA上，∴設(shè)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+2）.∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為.∵拋物線過點(diǎn)C，∴，解得.∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為，即..當(dāng)y=0時，，解得.∴E（10，0），OE=10.又F（6，8），OH=6，F(xiàn)H=8.∴，，∴OE=OF，即△OEF為等腰三角形.（3）存在.點(diǎn)Q的位置分兩種情形：情形一：點(diǎn)Q在射線HF上，當(dāng)點(diǎn)P在軸上方時，如答圖2.∵△PQE≌△POE，∴QE=OE=10.在Rt△QHE中，,∴Q.當(dāng)點(diǎn)P在軸下方時，如答圖3，有PQ=OE=10,過P點(diǎn)作于點(diǎn)K，則有PK=6.在Rt△PQK中，,∵，∴.∵，∴.又∵，∴.∴，即，解得.∴Q.情形二：點(diǎn)Q在射線AF上，當(dāng)PQ=OE=10時，如答圖4，有QE=PO,∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標(biāo)為10.當(dāng)時，，∴Q.當(dāng)QE=OE=10時，如答圖5.過Q作軸于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N，設(shè)Q的坐標(biāo)為，∴.在中，有,即，解得.當(dāng)