2020年高考數(shù)學（文）重難點專練05概率與統(tǒng)計（解析版）

2020年高考數(shù)學（文）

重難點05概率與統(tǒng)計

【命題趨勢】統(tǒng)計與概率是高考文科中的一個重要的一環(huán)高考對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查一般

以實際應(yīng)用題出現(xiàn),這既是這類問題的特點,也符合高考發(fā)展的方向.概率應(yīng)用題側(cè)重于古典

概率,近幾年的高考有以概率應(yīng)用題替代傳統(tǒng)應(yīng)用題的趨勢,該題出現(xiàn)在解答題第二或第三

題的位置，可見概率統(tǒng)計在高考中屬于中檔題.雖為中檔題，但是實際生活背景在加強，閱

讀量大，所以快速閱讀考題并準確理解題意是很重要的.對于這部分，我們還應(yīng)當重視與傳

統(tǒng)內(nèi)容的有機結(jié)合.為了準確地把握2020年高考概率統(tǒng)計命題思想與趨勢，在最后的復(fù)習

中做到有的放矢，提高復(fù)習效率，縱觀近五年的全國文科I卷，我們看到近幾年每年一考,

多出現(xiàn)在19題，分值12分；從難度上看：以中檔題為主，重基礎(chǔ)，考查的重點為統(tǒng)計圖表

的繪制與分析、數(shù)字特征的計算與分析、概率計算、線性回歸分析，獨立性檢驗等知識點，

一般都會以實際問題為載體，代替?zhèn)鹘y(tǒng)建模題目.本專題我們把這些熱點問題逐一說明，并

提出備考指南，希望同學們在復(fù)習時抓住重點、事半功倍.

【熱點預(yù)測以及解題技巧】

熱點一：“統(tǒng)計”背景下的“概率”問題

這類問題一般將統(tǒng)計與概率相結(jié)合.以頻率分布直方圖或莖葉圖為背景來考查概率知識，有

時以表格為背景來考查概率知識，需要從統(tǒng)計圖、表格獲取信息、處理數(shù)據(jù)的能力，并根據(jù)

得出的數(shù)據(jù)求概率.

熱點二：樣本分析并通過樣本分析作決策

進行樣本分析時從統(tǒng)計圖表中獲取數(shù)據(jù)，得出頻率、平均數(shù)、方差，用樣本頻率估計概率、

樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征，有時需以此作出決策.

熱點三：線性回歸分析

根據(jù)最小二乘法得出回歸直線方程，有時需適當換元轉(zhuǎn)化為線性回歸方程.由于計算量很

大，題目一般會給出的參考數(shù)據(jù)，但是注意數(shù)據(jù)設(shè)置的“障眼法”，這時就要認真領(lǐng)會題意,

找出適用的參考數(shù)據(jù)加以計算.

熱點四：獨立性檢驗

尋找數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，下面的解題步驟比較固定，按部就班完成即可.

熱點五：與函數(shù)相結(jié)合的概率統(tǒng)計題

這類題也是近幾年出現(xiàn)較多的一類題，其綜合性強，理解題意后找準變量，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式.

【限時檢測】（建議用時：35分鐘）

一、單選題

1.（2019?四川高考模擬（文））空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是一種反映和評價空氣質(zhì)量的方法，AQI

指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如下表所示：

0-5051-100101—150151?200201?300300以上

AQI

空氣質(zhì)

優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

量

如圖是某城市2018年12月全月的指AQI數(shù)變化統(tǒng)計圖.

根據(jù)統(tǒng)計圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.整體上看，這個月的空氣質(zhì)量越來越差

B.整體上看，前半月的空氣質(zhì)量好于后半月的空氣質(zhì)量

C.從AQ/數(shù)據(jù)看，前半月的方差大于后半月的方差

D.從AQ/數(shù)據(jù)看，前半月的平均值小于后半月的平均值

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意可得，AQ1指數(shù)越高，空氣質(zhì)量越差；數(shù)據(jù)波動越大，方差就越大，由此逐項判

斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】

從整體上看，這個月AQI數(shù)據(jù)越來越低，故空氣質(zhì)量越來越好；故A,B不正確：

從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)波動較大，后半個月數(shù)據(jù)波動小，比較穩(wěn)定，因此前半

個月的方差大于后半個月的方差，所以C正確；

從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個月數(shù)據(jù)大于后半個月數(shù)據(jù)，因此前半個月平均值大于后半個月

平均值，故D不正確.

故選C.

【點睛】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.

2.（202。陜西高三月考（理））如圖是某學校研究性課題《什么樣的活動最能促進同學們

進行垃圾分類》向題的統(tǒng)計圖（每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個），以下

結(jié)論錯誤的是（）

什么樣的活動最能促進同學們進行垃圾分類

①公益廣告

②學校要求

③學校團委會宣傳

545.33%

④垃圾分類運輸環(huán)節(jié)得到改善

⑤設(shè)置分類明確的垃圾桶

A.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個

B.回答該問卷的受訪者中，選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶''的人數(shù)最多

C.回答該問卷的受訪者中，選擇“學校團委會宣傳''的人數(shù)最少

D.回答該問卷的受訪者中，選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學校要求''的少8個

【答案】D

【分析】

先對圖表數(shù)據(jù)分析處理，再結(jié)合簡單的合情推理逐一檢驗即可得解.

【詳解】對于選項A,若回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個，則選擇③④⑤的同學人數(shù)

不為整數(shù)，故4正確，

對于選項8,由統(tǒng)計圖可知，選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多，故8正確，

對于選項C,由統(tǒng)計圖可知，選擇“學校團委會宣傳”的人數(shù)最少，故C正確，

對于選項。，由統(tǒng)計圖可知，選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學校要求''的少8%,故。

錯誤，故選D

【點睛】本題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及簡單的合情推理，屬中檔題.

3.（2018.湖南高考模擬（文））已知變量X、＞之間的線性回歸方程為y=-0.7X+10.3,

且變量％、y之間的一-組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法塔族的是（）

X681012

y6m32

A.可以預(yù)測，當x=20時，y=-3.7B.m-4

C.變量X、y之間呈負相關(guān)關(guān)系D.該回歸直線必過點（9,4）

【答案】B

【分析】

將》=20的值代入回歸直線方程可判斷出A選項的正誤；將z的坐標代入回歸直線

方程可計算出實數(shù)機的值，可判斷出B選項的正誤；根據(jù)回歸直線方程的斜率的正負可

判斷出C選項的正誤；根據(jù)回歸直線過點（反G）可判斷出D選項的正誤.

【詳解】

對于A選項，當x=20時，y=-0.7x20+10.3=-3.7,A選項正確；

對于B選項，x------------=9,y=------------=―--，將點的坐標代

/ZZ+11

入1回歸直線方程得--=-0.7x9+10.3=4,程得/77=5.B選項錯誤；

4

對于c選項，由于回歸直線方程的斜率為負，則變量x、y之間呈負相關(guān)關(guān)系，c選項

正確；對于D選項，由8選項可知，回歸有線丁=-0.7%+10.3必過點（9,4）,D選項正

確.故選：B.

【點睛】本題考查回歸直線方程有關(guān)命題的判斷，解題時要熟悉與回歸直線有關(guān)的結(jié)論，

考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2019?莒縣第二中學高考模擬（文））我國現(xiàn)代著名數(shù)學家徐利治教授提出：圖形的對

稱性是數(shù)學美的具體內(nèi)容.如圖，一個圓的外切正方形和內(nèi)接正方形構(gòu)成一個優(yōu)美的幾何

圖形，正方形ABCD所圍成的區(qū)域記為I,在圓內(nèi)且在正方形A8C。外的部分記為0,

在圓外且在大正方形內(nèi)的部分記為in.在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,II,in的

概率分別記為6,鳥,A,則（）

O

A.[=鳥+A

B.4＞鳥＞8

C.6＞鳥=鳥

D.Pt=P2＞P3

【答案】A

【分析】

首先要將小正方形旋轉(zhuǎn)45度，由此看出大正方形與小正方形邊長的比值，進而得到面積

比，從而可確定概率間的關(guān)系.

【詳解】

將小正方形旋轉(zhuǎn)45度，圖像轉(zhuǎn)化為：

由圖像易知：小正方形的面積是大正方形面積的一半，所以耳=￡+6.

則選A.

【點睛】本題考查了幾何概型，著重考查了利用相似比求面積比，突顯了對數(shù)學抽象與直

觀想象的考查.

5.（2019?湖北高考模擬（理））七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是

由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、

一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形，現(xiàn)從該正方形

中任取一點，則此點取自黑色部分的概率是

H

33

A.B.

168

j_]_

C.D.

48

【答案】A

【解析】

設(shè)AB=2，則BC=CD=O￡=￡F=1.

=2x=

SABCI=[XqX《=；，S平行四邊形EFGH=2s岫aT^

乙乙乙，TN

1J_

，所求的概率為3

"2x2-16

故選A.

二、解答題

6.（2019.陜西高考模擬（文））某公司在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷

售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失,

但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.

。）根據(jù)頻率分布直方圖，計算圖中各小長方形的寬度；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計投入4萬元廣告費用之后，銷售收益的平均值（以各組

的區(qū)間中點值代表該組的取值）；

（3）按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表:

廣告投入X（單位：萬元）12345

銷售收益y(單位：百萬元)2327

表中的數(shù)據(jù)顯示，X與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將(2)的結(jié)果填入空白欄，并計算y

關(guān)于4的回歸方程.

__

工七力一〃xy

附公式：6=e.......-,否=7一標

X%,2-nx

i=l

【答案】(1)2；(2)5;(3)y=1.2x+0.2.

【分析】

(I)根據(jù)頻率分布直方圖，由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可計算圖中各小

長方形的寬度；

(II)以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值，即可計算銷售收益的平均值；

(III)求出回歸系數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(I)設(shè)各小長方形的寬度為心，由頻率分布宜方圖各小長方形面積總和為1,可知

(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)-tn—0.5tn—1,故〃？=2:

(II)由(I)知各小組依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],

其中點分別為L3,5,7,9,l1,對應(yīng)的頻率分別為0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,

故可估計平均值為1x0.16+3x0.2+5x0.28+7x0.24+9x0.08+11x0.04=5；

(III)由(]1)知空白欄中填5.

1+2+3+4+52+3+2+5+7

由題意可知，元==3,歹=3.8,

55

5

=1x24-2x3+3x2+4x5+5x7=69,

(=1

5

2222

=12+2+3+4+5=55,

/=1

69-5x3x3.8

根據(jù)公式,可求得分=—=1.22=3.8—12x3=0.2,

55-5x3210

即回歸直線的方程為》=L2x+0.2.

【點睛】本題考查回歸方程，考查頻率分布直方圖，考查學生的讀圖、計算能力，屬于中

檔題.

7.（2019?寧夏高考模擬（文））2014年7月18日15時，超強臺風“威馬遜”登陸海南省.

據(jù)統(tǒng)計，本次臺風造成全省直接經(jīng)濟損失119.52億元，適逢暑假，小明調(diào)查住在自己小

區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，作出如下頻率分布直方圖：

經(jīng)濟損失4000元以經(jīng)濟損失4000元以

合計

下上

捐款超過500

30

元

捐款低于500

6

元

合計

（1）臺風后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如上

表，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于

或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？

（2）臺風造成了小區(qū)多戶居民門窗損壞，若小區(qū)所有居民的門窗均由李師傅和張師傅兩

人進行維修，李師傅每天早上在7:00到8:00之間的任意時刻來到小區(qū)，張師傅每天早上

在7:30到8:30分之間的任意時刻來到小區(qū)，求李師傅比張師傅早到小區(qū)的概率.

附：臨界值表

k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

P(K>k0)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

n(ad-bc)1

參考公式：K2,n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)有把握；(2)y.

【分析】

⑴由自:萬圖得到2x2%聯(lián)衣.利H］公式求得犬的價，與臨界值比技即可作出判定，得

到結(jié)論.(2)設(shè)李師傅、張師傅到小區(qū)的時間分別為乂了，得到試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)

域及事件A表示“李師傅比張師傅早到小區(qū)”，根據(jù)幾何概型，利用面積比可求

7

-

8-則李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的分布列為二項分布，利用二項分布的期

望公式可得結(jié)果.

【詳解】

(1)如下表：

經(jīng)濟損失4000元以下經(jīng)濟損失4000元以上合計

捐款超過500元30939

捐款低于500元5611

合計351550

50x(30x6-9x5)2

K2*4.046>3.841

39x11x35x15

所以有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000

元有關(guān).

⑵

設(shè)李師傅、張師傅到小區(qū)的時間分別為x，y,則（X,y）可以看成平面中的點.試驗的全部

結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Q={（x,y）|7WxW8,7.5WxW8.5},則5。=1,事件A表示“李師

傅比張師傅早到小區(qū)”，所構(gòu)成的區(qū)域為4={&,y）|y4，7<r<8,7.5<j<8.5},

即圖中的陰影部分面積為S.=l—Lx,xL=Z,所以尸（A）

2228“8，

721

李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的分布列為二項分布4~,￡^=3x-=—.

88

【點睛】

本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，以及幾何概型概率的計算問題,以及二項分布的數(shù)學

期望公式的應(yīng)用，屬于中檔試題.“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義

求期望.對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二

項分布X?,則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式

（E（X）=叩）求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.

8.（2019?江西高二月考（文））通過隨機詢問某地100名高中學生在選擇座位時是否挑同

桌，得到如下2x2列聯(lián)表:

男生女生合計

挑同桌304070

不挑同桌201030

總計5050100

（1）從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，現(xiàn)

從這5人中隨機選取3人做深度采訪，求這3名學生中至少有2名要挑同桌的概率；

（2）根據(jù)以上2x2列聯(lián)表，是否有95%以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑

同桌”有關(guān)？

下面的臨界值表供參考：

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.82W

k。

（參考公式：K2=-----八/----------------T-----,其中〃=。+>+c+"）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

7

【答案】（I）?=歷（II）見解析

試題分析：（I）根據(jù)分層抽樣原理求出樣本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列

舉法求出基本事件數(shù)，計算對應(yīng)的概率值：（II）根據(jù)2x2列聯(lián)表計算觀測值，對照臨

界值表得出結(jié)論.

解析：

（I）根據(jù)分層抽樣方法抽取容量為5的樣本，挑同桌有3人，記為A、B、C,

不挑同桌有2人，記為&e；

從這5人中隨機選取3人，基本事件為

ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,Ade,BCd,BCe,Bde,Cde共10種；

這3名學生中至少有2名要挑同桌的事件為概率為

ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,BCd,BCe?共7種；

7

故所求的概率為尸=r；

（【I）根據(jù)以上2x2列聯(lián)表，計算觀測值

100x(30xl0-20x40)2

K2?4.7619>3.841,

70x30x50x50

對照臨界值表知，有95%以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑同桌”有關(guān).

9.（2019?四川棠湖中學高三（文））省環(huán)保廳對A、B、C三個城市同時進行了多天的

空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個，三城市各自空氣質(zhì)量

為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示：

A城3城C城

優(yōu)（個）28Xy

良（個）3230Z

已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個，恰好抽到記錄3城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率

為02

（I）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進行后續(xù)分析，求在C城

中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù)；

（II）已知yN23,zN24,求在。城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)

的概率.

3

【答案】（1）9：（2）

8

X

【試題分析】⑴由元;=0.2計算出x,再由總數(shù)計算出y+z,按比例計算得應(yīng)抽人數(shù).⑵

180

由（I）知y+z=54,且yN23,z224,利用列舉法和古典概型計算公式計

算得相應(yīng)的概率.

【試題解析】

Y

（1）由題意得——=0.2,即x=36.

180

y+z=180-28-32-36-30=54,

30

在C城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為—x54=9.

180

⑵由⑴知y+z=54,y,zeNjlyN23,z>24.

.?.滿足條件的數(shù)對（y,z）可能的結(jié)果有（23,31）,（24,30）,（25,29）,（26,28）,

（27,27）,（28,26）,（29,25）,（30,24）共8種.

其中“空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)”對應(yīng)的結(jié)果有（28,26）,（29,25）,

（30,24）共3種.

...在C城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率為弓3.

8

10.（2019?江西高考模擬（文））某書店為了了解銷售單價（單位：元）在［8,20］］內(nèi)的圖

書銷售情況，從2018年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機抽取100本，獲得的所有樣本數(shù)據(jù)

按照［8/0）,［10,12）,［12,14）,［14,16）,［16,18）,［18,20］分成6組，制成如圖所示的

頻率分布直方圖，已知樣本中銷售單價在［14,16）內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價在［18,20］內(nèi)的圖

書數(shù)的2倍.

（1）求出x與丁，再根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)（同一組

中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）：

（2）用分層抽樣的方法從銷售單價在［8,20］內(nèi)的圖書中共抽取40本，求單價在6組樣

本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量；

（3）從（2）中抽取且價格低于12元的書中任取2本，求這2本書價格都不低于10元的

概率.

2

【答案】（1）見解析；（2）6本；（3）y

【解析】

（1）先求出X與y,再根據(jù)直方圖求出平均值；

（2）根據(jù)分層抽樣是按比例抽樣可得結(jié)果；

（3）用列舉法和古典概型概率公式求出結(jié)果

【詳解】

(1)樣本中圖書的銷售單價在［14,16)內(nèi)的圖書數(shù)是x2x100=200%,

樣本中圖書的銷售單價在［18,20)內(nèi)的圖書數(shù)是y2x100=200y,

依據(jù)題意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.1x2+Q025+x+0.05+y)x2=l,②

由①②得x=0.15,y=0.075.

根據(jù)頻率分布直方圖估計這100本圖書銷售單價的平均數(shù)為

8+10emuc10+12…c12+14八，?14+1616+18、18+20,、，、”

-------x0.025x2+---------x0.05x2+---------x0.1x2+---------x0.115Cx2n+---------x0.1x2+---------x0.075x2

222222

=0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元）

(2)因為銷售單價在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的圖書的分層抽樣

比為1：2：4：6：4：3,故在抽取的40本圖書中，銷售單價在

[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]內(nèi)的圖書分別為

124643

40x——=2,40x——=4,40x——=8,40x——=12,40x—=8,40x——=6(本)

202020202020

(3)這40本書中價格低于12元的共有6本,其中價格低于10元的2本，記這2本為A”4,

另外4本記為旦，鳥,名,B4,從中抽取2本的基本事件有：

AiA2,AlB^AiB2,AiBi,AlB4,A2Bi,A2B2,A2Bi,A2B4,BlB2,BiB3,B,B4,B2B3,B-,B4,B3B4

共15個，其中價格不低于10元的有6個，所以：

這2本書價格都不低于10元的概率P=2=|.

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖、分層抽樣及概率問題，較為簡單

H.(2019?四川高考模擬(文))目前有聲書正受著越來越多人的喜愛.某有聲書公司為

了解用戶使用情況，隨機選取了10()名用戶，統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額(金額為整

數(shù))情況如下圖.

年齡分布條形圖

有聲書公司將付費高于20元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在30歲及以下的用戶定

義為“年輕用戶已知抽取的樣本中有：的“年輕用戶'’是“愛付費用戶

(1)完成下面的2*2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認為用戶“愛付費''與其

為“年輕用戶”有