正方形培優(yōu)試題與答案

#/13在RtAEFC中，?.?EF2+FC2=EC2, &)2+〔號(hào)x+x〕2=(而+1)2.〔12分〕解得，X］解得，X］頌,x2=-^2〔舍去負(fù)值).???正方形的邊長(zhǎng)為/W〔13分〕以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH.〔1〕如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀〔不要求證明〕；⑵如圖3,當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ZADC=a(0°<a<90°),試用含a的代數(shù)式表示ZHAE；求證：HE=HG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由.〔1)解：四邊形EFGH的形狀是正方形.〔2〕解：?ZHAE=90°+a,在平行四邊形ABCD中ABIICD,???ZBADT80。-ZADCT80。-a,:△HAD和左EAB是等腰直角三角形，ZHAD=ZEAB=45°,ZHAE=360°-ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-〔180°-a)=90°+a,答：用含a的代數(shù)式表示ZHAE是90°+a.②證明：???△AEB和^DGC是等腰直角三角形，.LAE里匹AB,DG=W^CD,2 2在平行四邊形ABCD中，AB=CD,AE=DG,v△AHD和^DGC是等腰直角三角形,厶HDA=ZCDG=45°,???ZHDG=ZHDA+ZADC+ZCDG=90°+a=ZHAE,v△AHD是等腰直角三角形，???HA=HD,?△HAEM△HDG,?HE=HG.答：四邊形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF,FG=FE,.?HE=HG,GH=GF=EF=HE, 四邊形EFGH是菱形，.?△HAEM△HDG,ZDHG=ZAHE,..ZAHD=ZAHG+ZDHG=90°,...ZEHG=ZAHG+ZAHE=90°,四邊形EFGH是正方形.如圖①所示，A、B為直線1上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線1上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,過(guò)點(diǎn)D作DD】丄1于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EE】丄1于點(diǎn)E].⑴如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線1上時(shí)〔此時(shí)Ei與E重合〕，試說(shuō)明DD]=AB；⑵在圖①中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線1的上方時(shí)，試探求三條線段DDi、EEPAB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線1的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出三條線段DDPEEPAB之間的數(shù)量關(guān)系.〔不需要證明〕解答：⑴證明：???四邊形CADF、CBEG是正方形，二AD=CA,ZDAC=ZABC=90。，..ZDAD]+』CAB=90°,.?DD】丄AB,..ZDD]A=ZABC=90°,..ZDAD]+ZADD]=90°,???ZADD]=』CAB,在左ADD】和左CAB中，'ZDD1A=ZABC{ZAED^ZCAB, △ADD]竺△CAB〔AAS〕，二DD】=AB；tAD=CA⑵解：AB=DDi+EE].證明：過(guò)點(diǎn)C作CH±AB于H,.?DDi丄AB,..ZDD]A=ZCHA=90。，???ZDAD1+ZADDi=90。，四邊形CADF是正方形，二AD=CA,ZDAC=90。，..ZDAD]+』CAH=90。，..ZADDi=ZCAH,在△ADD】和△CAH中，'ZDD1A=ZCHA{ZAED^ZCAH,a△ADD]竺△CAH〔AAS〕，二DD1=AH；同理：EE1=BH,lAD=CAaAB=AH+BH=DD]+eE]；〔3〕解：AB=DD1-EE1.證明：過(guò)點(diǎn)C作CH丄AB于H,vDD1±AB,a厶dd1A=ZCHA=90°,a厶DAD1+zADD1=90°,v四邊形CADF是正方形，aAD=CA,ZDAC=90°,azdad1+ZCAH=90°，azADD1=ZCAH，在△ADD1和^CAH中，rZDD1k=ZCHA{ZAED^ZCAH, △ADD】竺△CAHfAASb/.DD^AH；同理：EE^BH,、AD二CA圖工 圖② 圖⑤13.〔1〕如圖①，在正方形ABCD中，與正方形的邊長(zhǎng)相等，求ZEAF的度數(shù).〔2〕如圖②，在RtAABD中，ZBAD=90°,AB=AD,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且ZMAN=45。，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至左ADH位置，連接NH,試判斷MN,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,假設(shè)EG=4,GF=6,BM=3匝,求MN的長(zhǎng).解：〔1〕在RtAABE和Rt^AGE中，AB=AG,AE=AE,4RtAABEMRtAAGE△AEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AGND,〔3〕AG,同理，ZGAF=ZDAF.??-ZEAF=-|ZBAD=45°3〔3分〕 '〔HL〕.../BAE之GAE.D〔2〕MN2=ND2+DH2..?ZBAM之DAH,ZBAM+ZDAN=45°, 匸..ZHANNDAH+ZDAN=45。...ZHANNMAN.圖①、X/AM=AH,AN=AN, △AMN竺△AHN.MN=HN.S分〕.ZBAD=90°,AB=AD,..ZABD=ZADB=45°.ZHDN=ZHDA+ZADB=90°.?.NH2=ND2+DH2.二MN2=ND2+DH2.〔3〕由〔1〕知，BE=EG,DF=FG.設(shè)AG=x,那么CE=x-4,CF=x-6.在Rt^CEF中，CE2+CF2=EF2,..〔X-4〕2+[x-6〕2=102.解這個(gè)方程，得X]=12,x2=-2〔舍去負(fù)根〕.即AG=12.〔8分〕在RtAABD中，AEFCABD=^/AB2+AD2=72AG2=12^2-在⑵中,B〔6分〕MN2=ND2+DH2,bm=dh,?.?MN2=ND2+BM2.〔9分〕設(shè)MN=a,那么/二（技扼-3如-己）2+（3栃）2即a2=〔9由-a〕2+〔3點(diǎn)〕2,日二以即HN二5*1。分）1313/1314.正方形ABCD中，點(diǎn)0是對(duì)角線AC的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF±CD于點(diǎn)F.如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)，顯然有DF=CF.〔1〕如圖2,假設(shè)點(diǎn)P在線段A0上〔不與點(diǎn)A、0重合〕，PE±PB且PE交CD于點(diǎn)E.①求證：DF=EF；②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在線段0C上〔不與點(diǎn)0、C重合〕，PE丄PB且PE交直線CD于點(diǎn)E.請(qǐng)完成圖3并判斷〔1〕中的結(jié)論①、②是否分別成立？假設(shè)不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論.〔所寫結(jié)論均不必證明〕 其解：⑴如圖2,延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q,',一 '"(1)-.-AC是正方形ABCD對(duì)角線，.??ZQAP=ZAPQ=45。，.??AQ=PQ,.AB=QF,..BQ=PF,/PE±PB,/.ZQPB+ZFPE=90°,/ZQBP+ZQPB=90°,ZQBP=ZFPE,ZBQP=ZPFE=90°,/.△BQPM△PFE,/.QP=EF,.AQ=DF,..DF=EF；②如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PG丄AD. PF丄CD,ZPCF=ZPAG=45。，PCF和△PAG均為等腰直角三角形，四邊形DFPG為矩形，..PA=^PG,PC^J^CF,.PG=DF,DF=EF,/.PA-/2EF,PC=^CF=aJ2[CE+EF]=/^ce+/ef=Mce+pa,即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PcW2CE+PA；2〕結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時(shí)②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PCW2CE.如圖3：①?「PB丄PE,BC丄CE,.LB、P、C、E四點(diǎn)共圓，二ZPEC=ZPBC,在△PBC和△PDC中有：BC=