控制工程基礎(chǔ)-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(3)控制工程基礎(chǔ)

控制工程基礎(chǔ)

第四講控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3）清華大學(xué)機(jī)械工程系朱志明教授2023/3/281.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型－內(nèi)容物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述－數(shù)學(xué)模型建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟非線性數(shù)學(xué)模型的線性化拉普拉斯變換控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)信號(hào)流圖2023/3/282.方塊圖及其變換系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖（簡(jiǎn)稱結(jié)構(gòu)圖或方塊圖）：將各個(gè)環(huán)節(jié)用帶有傳遞函數(shù)的方塊表示，再把各個(gè)環(huán)節(jié)之間按信息傳遞方向用箭頭相連。系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖不僅直觀而且形象地表明了系統(tǒng)信號(hào)的作用原理，而且定量地描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，是系統(tǒng)原理方塊圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合，是用圖形表示的數(shù)學(xué)模型。2023/3/283.閉環(huán)控制系統(tǒng)原理方塊圖在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，不僅有從輸入端到輸出端的作用路徑（前向通道），還有從輸出端到輸入端的信號(hào)作用路徑（反饋通道）。由于引入了反饋，系統(tǒng)的方塊圖形成了閉環(huán)，構(gòu)成了閉環(huán)控制系統(tǒng)。2023/3/284.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)示意圖u（t）－電樞電壓，為控制輸入；ml（t）－作用在電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩，為擾動(dòng)輸入；（t）－電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角，為輸出量。假設(shè)電機(jī)軸上總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是常數(shù)，各種機(jī)械轉(zhuǎn)矩全部歸并到負(fù)載轉(zhuǎn)矩中，傳輸軸是剛性軸，電動(dòng)機(jī)電樞電路的電阻、電感全部歸并到電樞總電阻R、電感L中。2023/3/285.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)的基本關(guān)系根據(jù)基爾霍夫定律、牛頓定律、直流電機(jī)特性：R，L－電樞回路總電阻和總電感，，H；

i－電樞電流，A； e－電動(dòng)機(jī)反電勢(shì)，V；

u－電樞電壓，V； Ce－電勢(shì)系數(shù)，V.s/rad；

J－電動(dòng)機(jī)軸上總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg.m2；

m，ml－電磁轉(zhuǎn)矩、負(fù)載轉(zhuǎn)矩，N.m；

Cm－轉(zhuǎn)矩系數(shù)，N.m/A。2023/3/286.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)－1

-+2023/3/287.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)－2

-+2023/3/288.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)－3

-+2023/3/289.恒定磁場(chǎng)他激直流電動(dòng)機(jī)－4

-+-+2023/3/2810.直流他激電動(dòng)機(jī)的方塊結(jié)構(gòu)圖

-+-+2023/3/2811.方塊圖變換-加法交換律

AA-B+CA-BBC+++-AA-B+CA+CCB++-+2023/3/2812.方塊圖變換-加法結(jié)合律

AA-B+CA-BBC+++-AA-B+CCB+-+2023/3/2813.方塊圖變換-乘法交換律

AA*G1*G2A*G1G1G2AA*G1*G2A*G2G2G12023/3/2814.方塊圖變換-乘法結(jié)合律

AA*G1*G2A*G1G1G2AA*G1*G2G1*G22023/3/2815.方塊圖變換-并聯(lián)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)化

AA*G1+A*G2A*G1G1G2AA*G1+A*G2G1+G2++A*G22023/3/2816.方塊圖變換-相加點(diǎn)前移

AA*G-BA*GG1/GA-B/GA*G-BG-+B-A+BB/G2023/3/2817.方塊圖變換-相加點(diǎn)后移

AA*G-B*GA*GG-+B*GGBA-BA*G-B*GG-A+B2023/3/2818.方塊圖變換-引出點(diǎn)前移

AA*GGA*GGAA*GGA*G2023/3/2819.方塊圖變換-引出點(diǎn)后移

AA*GGA1/GAA*GGAA*G2023/3/2820.方塊圖變換-引出點(diǎn)前移越過比較點(diǎn)

AA-BA-B+B-AA-BA-BBB--++2023/3/2821.方塊圖變換-將并聯(lián)的一路變?yōu)?

AA*G1+A*G2A*G1G1G2++A*G2AA*G1+A*G2A*G1G11/G2++A*G2G22023/3/2822.方塊圖變換-將反饋系統(tǒng)變?yōu)閱挝环答?/p>

BAG1G2-+ABG1G2-+1/G22023/3/2823.方塊圖簡(jiǎn)化規(guī)則串聯(lián)：并聯(lián)：負(fù)反饋：?jiǎn)挝回?fù)反饋連接：2023/3/2824.定義前向通道傳遞函數(shù)G(s)：輸出量Y(s)/作用誤差信號(hào)E(s)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)：反饋信號(hào)F(s)/輸出量Y(s)開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)=G(s)H(s)：反饋信號(hào)F(s)/作用誤差信號(hào)E(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)W(s)：輸出量Y(s)/輸入量R(s)2023/3/2825.典型反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2023/3/2826.控制作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

2023/3/2827.擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)2023/3/2828.控制作用下的誤差傳遞函數(shù)

2023/3/2829.擾動(dòng)作用下的誤差傳遞函數(shù)2023/3/2830.位置控制隨動(dòng)系統(tǒng)的方塊圖將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)：電橋放大器A直流他激發(fā)電機(jī)G直流他激電動(dòng)機(jī)M齒輪系求各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及方塊圖求系統(tǒng)的方塊圖及傳遞函數(shù)2023/3/2831.電橋的方塊圖

2023/3/2832.放大器的方塊圖K2UeUf

2023/3/2833.直流他激發(fā)電機(jī)示意圖Rf－激磁繞組的電阻，；Lf－激磁繞組的電感，H；Wf－激磁繞組的匝數(shù)；uf（t）－激磁電壓，V；if（t）－激磁電流，A；eg（t）－發(fā)電機(jī)電樞電勢(shì)，V；－氣隙磁通，Wb；－發(fā)電機(jī)角速度，rad/s。2023/3/2834.直流他激發(fā)電機(jī)的基本關(guān)系假設(shè)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速為恒值，且磁滯、渦流、漏磁效應(yīng)忽略不計(jì)。根據(jù)基爾霍夫定律及發(fā)電機(jī)特性，有：2023/3/2835.磁化曲線線性化（1）

描述的是如右圖所示的磁化曲線，它是非線性曲線。為獲得非線性系統(tǒng)的線性化模型，常采用小偏差線性化方法（或稱小增量線性化方法。假設(shè)發(fā)電機(jī)工作在某個(gè)平衡工作點(diǎn)附近時(shí)，各個(gè)變量相對(duì)于該點(diǎn)的值偏離得很小，在這個(gè)平衡工作點(diǎn)附近可用切線近似代替曲線。2023/3/2836.磁化曲線線性化（2）設(shè)平衡工作點(diǎn)為P（if0，0），在P的鄰域內(nèi)將＝f（if）展開成泰勒級(jí)數(shù)：當(dāng)（if－if0）足夠小時(shí)，可略去二階以上各項(xiàng)：0－發(fā)電機(jī)工作在P點(diǎn)處磁通的穩(wěn)態(tài)值，Wb；if0－發(fā)電機(jī)工作在P點(diǎn)處激磁電流的穩(wěn)態(tài)值，A；K12－磁化曲線在平衡工作點(diǎn)P處的斜率。小偏差線性化方法就是在平衡工作點(diǎn)附近的微小范圍內(nèi)，用該點(diǎn)處的切線代替曲線來獲得近似的線性化模型。這里，K12與平衡工作點(diǎn)的位置有關(guān)。2023/3/2837.直流他激發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型（1）

eg0＝K1102023/3/2838.直流他激發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型（2）公式：令：eg0＝K110－發(fā)電機(jī)工作在P點(diǎn)時(shí)電樞電勢(shì)的穩(wěn)態(tài)值；uf0－發(fā)電機(jī)工作在P點(diǎn)時(shí)激磁電壓的穩(wěn)態(tài)值；uf，eg，if－uf，eg，if相對(duì)于平衡點(diǎn)處穩(wěn)態(tài)值的微小增量。2023/3/2839.直流他激發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型（3）經(jīng)過簡(jiǎn)化、線性化、增量化的直流他激電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型：－工作點(diǎn)P處的微偏時(shí)間常數(shù)，s；－工作點(diǎn)P處的微偏電壓放大系數(shù)。Tf，Kg與磁化曲線在平衡工作點(diǎn)P處的斜率K2有關(guān)。簡(jiǎn)便模型（省略）：2023/3/2840.發(fā)電機(jī)G的方塊圖2023/3/2841.直流他激電動(dòng)機(jī)的方塊圖

-+-+2023/3/2842.電動(dòng)機(jī)的方塊圖2023/3/2843.發(fā)電機(jī)的電樞電阻和電感

2023/3/2844.齒輪系的方塊圖2023/3/2845.隨動(dòng)系統(tǒng)的方塊圖2023/3/2846.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型－內(nèi)容物理系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)描述－數(shù)學(xué)模型建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟非線性數(shù)學(xué)模型的線性化傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖及其變換系統(tǒng)的信號(hào)流圖2023/3/2847.系統(tǒng)的信號(hào)流圖信號(hào)流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的網(wǎng)絡(luò)圖，也是一種用圖形表示的數(shù)學(xué)模型。信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。信號(hào)流圖可由系統(tǒng)的方塊圖按對(duì)應(yīng)關(guān)系得到；也可按微分方程繪制。2023/3/2848.系統(tǒng)的方塊圖和信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系2023/3/2849.信號(hào)流圖術(shù)語節(jié)點(diǎn)：圓圈－變量支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段輸入支路：指向節(jié)點(diǎn)的支路輸出支路：離開節(jié)點(diǎn)的支路源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)（輸入量）匯節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)（輸出量）混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)（中間變量）前向通道：從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)經(jīng)過任一節(jié)點(diǎn)不超過一次的通道?；芈罚浩瘘c(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的閉環(huán)通路。不接觸回路：相互間沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路。支路傳輸（增益）：一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。2023/3/2850.信號(hào)流圖簡(jiǎn)化規(guī)則2023/3/2851.Mason（梅遜）公式信號(hào)流圖可不經(jīng)過簡(jiǎn)化，直接求出輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)之間的總增益（總傳輸），即閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。P－總增益；n－從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的前向通道數(shù)；Pk－第k條前向通道的增益；－信號(hào)流圖的特征式；－所有不同回路增益之和；－所有兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；－所有三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；k－第k條前向通道的特征式余因子，也就是除去了與第k條前向通道接觸的回路后，殘余信號(hào)流圖的特征式。2023/3/2852.Mason公式應(yīng)用舉例前向通道（3）：P1=abcdef；P2=ahdef；P3=abgf；單獨(dú)回路（4）：L1=-di；L2=-bgj；L3=-hdej；L4=-bcdej；特征式：＝1－（L1+L2+L3+L4)+(L1L2)特征余因子：1＝1；2＝1；3＝1－L1；閉環(huán)傳遞函數(shù)：2023/3/2853.本章小結(jié)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。本章主要介紹用機(jī)理法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法以及數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。同一個(gè)系統(tǒng)可以用不同的數(shù)學(xué)模型來描述，但究竟建立那種數(shù)學(xué)模型則取決于建立數(shù)學(xué)模型的目的。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般要經(jīng)過簡(jiǎn)化、線性化、增量化處理，使模型在保證具有足夠精確度的前提下具有較簡(jiǎn)單的形式。小偏差線性化方法作了以下假設(shè)：系統(tǒng)的各個(gè)變量在平衡工作點(diǎn)附近作極微小的變動(dòng)。應(yīng)用數(shù)學(xué)模型時(shí)，必須注