人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊2822第3課時(shí)利用方位角坡度解直角三角形

2019年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第3課時(shí)利用方向角、坡度解直角三角形應(yīng)用舉例第3課時(shí)利用方向角、坡度解直角三角形1．知道丈量中方向角、坡角、坡度的觀點(diǎn)，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(要點(diǎn))2．能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與方向角、坡度相關(guān)的問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i＝hl.坡度往常寫成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有i＝hl＝tanα.明顯，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我們這節(jié)課就解決這方面的問題．二、合作研究研究點(diǎn)一：利用方向角解直角三角形【種類一】利用方向角求垂直距離如下圖，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修建一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)丈量，叢林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知叢林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問：計(jì)劃修建的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參照數(shù)據(jù)：3≈1.732，2≈1.414)．分析：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC都能夠依據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來．依據(jù)AB的長獲得一個(gè)對于PC的方程，求出PC的長．從而可判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC?tan30°，BC＝PC?tan45°.∵AC＋BC＝AB，PC?tan30°＋PC?tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：計(jì)劃修建的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．方法總結(jié)：解一般三角形的問題一般能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榻庵苯侨切蔚膯栴}，解決的方法就是作高線．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“講堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【種類二】利用方向角求水平距離“村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加快了我區(qū)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐．如下圖，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級(jí)公路相連．在公路A處測得C村在北偏東60°方向，沿區(qū)級(jí)公路行進(jìn)500m，在B處測得C村在北偏東30°方向．為節(jié)儉資源，要求所修公路長度最短．畫出切合條件的公路表示圖，并求出公路長度．(結(jié)果保存整數(shù))分析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，從而解得CD.解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足落在AB的延伸線上，CD即為所修公路，CD的長度即為公路長度．在Rt△ACD中，據(jù)題意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan30°3CD.在Rt△CBD中，據(jù)題意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBDCDBD，∴BD＝CDtan60°＝33CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路長度約為433m.方法總結(jié)：在解決相關(guān)方向角的問題中，一般要依據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角其實(shí)不必定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樗枰慕牵兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后穩(wěn)固提高”第4題研究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形【種類一】利用坡角、坡度解決梯形問題如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC＝3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°.求壩底AD的長度．分析：第一過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC為30°，依據(jù)坡度的定義，即可求解．解：分別過B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足為E、F，可得BECF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由題意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：壩底AD的長度為(5＋23)m.方法總結(jié)：解決此類問題一般要結(jié)構(gòu)直角三角形，并借助于解直角三角形的知識(shí)求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“講堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【種類二】利用坡角、坡度解決三角形問題如圖，某地下車庫的進(jìn)口處有斜坡

AB，它的坡度為

i＝1∶2，斜坡

AB的長為

65m，斜坡的高度為

AH(AH⊥BC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為

14°(

圖中的∠

ACB＝14°)

．(1)求車庫的高度

AH；求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精準(zhǔn)到1m，參照數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．分析：(1)利用坡度為i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，從而利用勾股定理求出AH的長；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的長即可．解：(1)由題意可得AH∶BH＝1∶2，設(shè)AH＝x，則BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故車庫的高度AH為6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m.方法總結(jié)：此題考察認(rèn)識(shí)直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的要點(diǎn)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后穩(wěn)固提高”第6題三、板書設(shè)計(jì)1．方向角的意義；2．坡度、坡比的意義；3．應(yīng)用方向角、坡度、坡比解決實(shí)質(zhì)