第四章 交通流理論

第四章交通流理論第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日重點、難點1、排隊論“M/M/1系統(tǒng)”2、跟馳理論和流體動力學(xué)理論3、車流波動理論及其應(yīng)用第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、

交通流的統(tǒng)計分布特性

隨機(jī)性描述方法第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日二、排隊論應(yīng)用

1、排隊系統(tǒng)，

排隊2、排隊系統(tǒng)的三個組成部分：①輸入過程：各種類的顧客（車或行人）按怎樣的規(guī)律抵達(dá)；定長輸入（D）、泊松輸入（M）、愛爾朗輸入（Ek）

②排隊規(guī)則：到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。損失制、等待制、混合制③服務(wù)方式——服務(wù)臺個數(shù)和顧客服務(wù)時間定長分布（D）負(fù)指數(shù)分布（M）愛爾朗分布（Ek）第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日

k-愛爾朗分布

是一種連續(xù)型概率分布，交通流理論中用來描述高流量

車頭時距的概率分布。如果k個隨機(jī)變量Xi，i=1，2，…,k,分別服從指數(shù)分布，那么隨機(jī)變量X=X1+X2+…+xk服從愛爾朗分布。即：具有k-愛爾朗分布的隨機(jī)變量可以看作具有同一指數(shù)分布的獨立的k個隨機(jī)變量之和。

第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日3、排隊系統(tǒng)的幾個重要指標(biāo)：①隊長：系統(tǒng)中正在接受服務(wù)和等待服務(wù)的顧客數(shù)；②等待時間：顧客到達(dá)——接受服務(wù)的時間；③忙期：服務(wù)臺連續(xù)繁忙的時期。第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日三、M/M/1系統(tǒng)設(shè)平均到達(dá)率為λ，則到達(dá)的平均時距為設(shè)平均服務(wù)率為μ，則平均服務(wù)的時間為比率，交通強(qiáng)度或利用系數(shù)（服務(wù)強(qiáng)度）當(dāng)ρ＜1，則排隊系統(tǒng)是平穩(wěn)的；ρ≥1，則排隊系統(tǒng)是不平穩(wěn)的；第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日當(dāng)ρ＜1，則排隊系統(tǒng)是平穩(wěn)的；ρ≥1，則排隊系統(tǒng)是不平穩(wěn)的；系統(tǒng)中沒有車輛的概率：P（0）=1-ρ系統(tǒng)中有n輛車的概率：

P（n）=ρn（1-ρ）=ρnP（0），第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日①平均顧客數(shù)（隊長）：②顧客數(shù)的方差：③平均排隊長度：④平均等待時間為（接受服務(wù)前在系統(tǒng)中的等待時間）：⑤平均消耗時間（等待時間+服務(wù)時間）：第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日例1一收費站，車輛到達(dá)是隨機(jī)的，單面車流量為300輛/小時，收費員平均每10秒完成一次收費并放行一輛汽車，符合負(fù)指數(shù)分布。試后計在檢查站上擠占隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)。平均排隊長度，平均消耗時間及平均等待時間。第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日求解步驟這是一個M/M/1系統(tǒng)，

第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日作業(yè)某一收費亭，收費時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛汽車的交費時間為7.2s，汽車到達(dá)率為400輛/h，并服從泊松分布，求：①收費亭空閑的概率；②收費亭前有車輛排隊的概率；③收費亭前有車輛排隊的概率是排隊車超過6輛的概率；第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日四、

跟馳理論一、車輛跟馳模型的研究：方法：動力學(xué)方法范疇：單一車道，無法超車，一列車隊，后車跟隨前車第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日1、非自由行駛狀態(tài)——在道路上行駛的一隊高密度汽車，車間距離不大，車隊中任一輛車的車速都受到前車速度的制約，司機(jī)只能按前車提供的信息采用相應(yīng)車速。第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日2、非自由行駛狀態(tài)的車隊的三個特征：①制約性：“車速”和“間距”；②延遲性：后車司機(jī)對前車運行狀態(tài)的改變的適應(yīng)時間為T，前車在時刻t的動作，在時刻t+T后車才能作出相應(yīng)的動作。③傳遞性：脈沖波動（第1輛車傳遞給第2輛車，第2輛車傳遞給第3輛車，第3輛車傳遞給第4輛…………）第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日五、

流體動力學(xué)模擬理論1955年，英國學(xué)者萊脫希爾和惠特漢將交通流比擬為流體P81表4-3第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、車流的連續(xù)性方程流入量-流出量=△X內(nèi)車輛總數(shù)的變化即：[Q-（Q+△Q）]△t=[K-（K-△K）]·△X或又∵Q=KV，則：（連續(xù)性方程）上式表明：當(dāng)Q隨距離而降低時，K則隨時間而增大。第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日區(qū)域Ⅰ內(nèi)：V最高，而K最低；Ⅱ內(nèi)：V↓，K↑；Ⅲ內(nèi)：V↑，K↓。二、車流波動理論第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日Q1、Q2——前后兩種車流狀態(tài)的流量；K1、K2——前后兩種車流狀態(tài)的密度。兩車車間間距為L2-L1，第1輛車行駛的距離為L1=V1t第2輛車行駛的距離為L2=V2t又∵第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日∴微弱波的波速公式（前后車流狀態(tài)變化不大）：第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日A→B集結(jié)波前進(jìn)波B→A消散波B→C集結(jié)波后退波C→B消散波第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日24六、車流波動理論的應(yīng)用例：道路上的車流量為720輛/h，車速為60km/h，今有一輛超限汽車以30km/h的速度進(jìn)入交通流并行駛5km后離去，由于無法超車，就在該超限車后形成一低速車隊，密度為40輛/km，該超限車離去后，受到擁擠低速車隊以車速50km/h，密度為25輛/km的車流疏散，計算：

(1)擁擠消散時間ts；(2)擁擠持續(xù)時間tj；(3)最大排隊長度；(4)排隊最長時的排隊車輛數(shù)；(5)參與過排隊的車輛總數(shù)。第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日25四、車流波動理論的應(yīng)用

解：三種狀態(tài)的Q、K、V分別如圖所示：

超限車進(jìn)入后，車流由狀態(tài)變Ⅰ為狀態(tài)Ⅱ

，將產(chǎn)生一個集結(jié)波：（注意集結(jié)波的方向?。?km

Q1=720V1=60K1=12

Q2=1200V2=30K2=40

Q3=1250V3=50K3=25

w1

w2ⅠⅡⅢ第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日26四、車流波動理論的應(yīng)用

超限車插入后，領(lǐng)頭超限車的速度為30km/h，集結(jié)波由超限車進(jìn)入點以w1=17.14km/h的速度沿車流方向運動。如果這種狀況持續(xù)1h，1h后跟在超限車后的低速車隊長度為：30-17.14=12.86km。但超限車行駛5km后離去，超限車行駛5km所用集結(jié)時間為：ta=5/30=0.167h，在超限車駛離時刻超限車后的低速車隊長度應(yīng)為：5-w1ta=2.14km。5km

w1w1ta

5-w1ta=2.14km第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日27

超限車離去后，車流由狀態(tài)Ⅱ變?yōu)闋顟B(tài)Ⅲ，在超限車駛離點產(chǎn)生一個消散波：

注意：超限車離去，低速車隊前端以-3.33km/h的速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)。5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日28

由此可見，在超限車離去的時刻低速車隊最長！因此，最大排隊長度為2.14km（為什么？），這2.14km上的車輛數(shù)即為最大排隊車輛數(shù)：

2.14K2=2.14×40=86（輛）（為什么是K2？）超限車離去的時刻，低速車隊前端以-3.33km/h的速度消散，后端還在以17.14km/h的速度集結(jié)，設(shè)要消散長度為2.14km的低速車隊需要的時間為ts5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日29由圖可見，消散長度為2.14km的低速車隊需要的排隊消散時間ts應(yīng)采用下式計算：

排隊持續(xù)時間tj為集結(jié)時間ta與排隊消散時間ts之和

tj=ta+ts=0.167+0.105=0.272（h）5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第二十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日30要求出參與過排隊的車輛總數(shù)，首先要確定排隊消散處距超限車駛?cè)胩幍奈恢?，由下圖可見：可見，排隊消散處距超限車駛?cè)胩帪?.69km。5kmw1tj=4.69km

5-w1tj=w2ts

=0.31km5km

w1

w2w1ta

5-w1ta=2.14km第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日31在超限車駛?cè)胫僚抨犗⒌呐抨牫掷m(xù)時間tj內(nèi)，從左面駛?cè)氲牧髁繛椋涸谶@196輛車中，上圖藍(lán)車以后的車輛沒有參與過排隊，其數(shù)量為：4.69K1=4.69×12=56（輛）因此，參與排隊的車輛總數(shù)為：

196-60=140（輛）5kmw1tj=4.69km

5-w1tj=w2ts

=0.31km第三十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日32

參與排隊的車輛總數(shù)的另一種算法：