第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)

第五節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱為原來函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱為高階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對的二階偏導(dǎo)數(shù).對的混合對二階偏導(dǎo)數(shù).第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日二階偏導(dǎo)數(shù)的記號:

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項.第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).解第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例2求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問題:混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時,第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日當(dāng)時,第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日顯然第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日問題:在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點處連續(xù),則這樣以來,如果二元函數(shù)對求次,對求次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對自變量求偏導(dǎo)時可不分順序,它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類似.第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日例2設(shè)求解第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日例3所確定的函數(shù)求解則故第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日例:還是的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時,仍為抽象復(fù)合函數(shù).第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例4設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日令則第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日例6設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解記第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例7設(shè)求解第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日例8設(shè)可把方程:簡化為求常數(shù)解,若由第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日例9設(shè)求解第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例10設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解記則第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例11設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解記則第二十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日第三十頁，共三十一頁，2022年，8月28日