第四章 微機(jī)保護(hù)算法

第四章微機(jī)保護(hù)算法1第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日◆根據(jù)繼電器動作方程進(jìn)行判斷電流、電壓相量電流I電壓U阻抗繼電器動作方程阻抗繼電器動作特性采樣值保護(hù)算法特點(diǎn)：不計(jì)算出具體的阻抗值。3.衡量算法的指標(biāo)◆算法的速度 ※算法所要求的采樣點(diǎn)數(shù)（數(shù)據(jù)窗） ※算法的運(yùn)算量◆算法的精度 精度與速度之間的關(guān)系： 精度↑數(shù)據(jù)窗長度增加，計(jì)算量↑◆算法的濾波性能研究算法的實(shí)質(zhì)：如何在速度和精度兩方面進(jìn)行權(quán)衡2第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、假定輸入為正弦函數(shù)的算法

設(shè)i1、i2和u1、u2分別為兩個(gè)相鄰采樣時(shí)刻tK和tK+1的采樣值（tK+1=tK+△T），則有：基于如下假設(shè)：輸入信號為純正弦量，因此采用該類算法要獲得比較理想的結(jié)果，必須與數(shù)字濾波器配合使用。1.兩點(diǎn)乘積算法設(shè)輸入信號為：◆求電流有效值I由（1）和（2）式可得：3第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日由（1）和（5）式可得：◆求電壓有效值U方法與求電流有效值相同，可求得：◆求阻抗（R、X）根據(jù)電流I和電壓U求阻抗R、X的公式為：先求和，將式（1）～（4）兩兩相乘可得：4第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日由式（10）和式（11）可求得：由式（13）、（14）可求得：由式（8）～（11）可進(jìn)一步求得：即：由式（6）、（12）和（15）可求得：5第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日◆特點(diǎn)

※數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個(gè)采樣間隔（兩個(gè)采樣點(diǎn)）； ※算式較復(fù)雜。當(dāng)時(shí)，公式可簡化為：6第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.導(dǎo)數(shù)算法設(shè)輸入信號為：設(shè)t1時(shí)刻電流、電壓信號的瞬時(shí)值為：◆求電流有效值I、電壓有效值U對式（1）、（2）求導(dǎo)，可得：由式（1）～（4）可得：◆求阻抗（R、X）由式（1）、（2）可得：與“兩點(diǎn)乘積算法”中的i2和u2的表達(dá)式：相比，可以發(fā)現(xiàn)：將和表達(dá)式中的用替代可得式（5）和（6）。7第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日因此，將式（16）、（17）中的i2用替代，u2用替代，用替代，可得：◆求電流、電壓信號的導(dǎo)數(shù)基本思想：用差分近似求導(dǎo)。下面以電流信號為例進(jìn)行說明：

如下圖所示，電流信號在t1時(shí)刻的采樣值i1和導(dǎo)數(shù)值i1’可以用與t1時(shí)刻相鄰的兩個(gè)連續(xù)采樣時(shí)刻tK和tK+1的采樣值iK和iK+1近似計(jì)算，即：◆特點(diǎn)：※數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個(gè)采樣間隔（兩個(gè)采樣點(diǎn)）；※求導(dǎo)數(shù)將放大高頻分量；※差分近似求導(dǎo)數(shù)，要求有較高的采樣頻率。8第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日3.半周積分算法

基本思想：一個(gè)正弦信號在任意半周內(nèi)，其絕對值積分（求面積）為常數(shù)S。由上式可得：◆積分值S與積分起點(diǎn)的初相角無關(guān)

◆求面積S面積S可以采用梯形法近似求得：◆特點(diǎn)※數(shù)據(jù)窗長度為10ms；※具有一定的濾出高頻分量的能力；※不能抑制直流分量；※適用于要求不高的電流、電壓保護(hù)中，可以采用差分濾波器濾除信號中的非周期分量。9第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.平均值、差分值的誤差分析在實(shí)際應(yīng)用中，常采用平均值代替瞬時(shí)值，用差分值近似代替微分，用梯形法則近似求積分。當(dāng)輸入信號為純正弦信號時(shí)，用平均值可以求出準(zhǔn)確的瞬時(shí)值，用差分也可以求出準(zhǔn)確的微分值。設(shè)信號為：設(shè)x(t)的兩個(gè)采樣值為x(n)和x(n+1),有：①由平均求瞬時(shí)值結(jié)論：平均值[x(n)+x(n+1)]/2與瞬時(shí)值x(t)之間僅差一個(gè)系數(shù)，該系數(shù)與時(shí)刻t和初相角α無關(guān)，僅與角頻率ω和采樣間隔Ts有關(guān)。對于單一純正弦信號，由平均值求瞬時(shí)值的公式為：10第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日②由差分值求微分值結(jié)論：差分值[x(n+1)-x(n)]/Ts與微分值dx(t)/dt之間僅差一個(gè)系數(shù)該系數(shù)與時(shí)刻t和初相角α無關(guān)，僅與角頻率ω和采樣間隔Ts有關(guān)。對于單一純正弦信號，由差分值求微分值的公式為：當(dāng)ωTs足夠小時(shí)，sin(ωTs/2)越接近于ωTs/2，Kc也越接近于1/Ts。11第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、突變量電流算法

1.基本原理線路發(fā)生故障時(shí)，短路如圖（a）所示。對于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化的線性系統(tǒng)，利用疊加原理可以得到（b）和（c）兩個(gè)分解圖。由疊加原理可得：故障后的測量電流負(fù)荷電流故障電流分量可求得故障電流分量為：對于正弦信號，在時(shí)間上間隔整周的兩個(gè)瞬時(shí)值，其大小相等，即：T:工頻信號的周期因此：在非故障階段測量電流等于負(fù)荷電流，即：則故障分量電流為：短路前后的電流波形示意圖12第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日故障分量電流的采樣值計(jì)算公式為：◆當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)，（1）式的輸出為0；◆當(dāng)系統(tǒng)剛發(fā)生故障的一周期內(nèi)，（1）式輸出的是純故障分量；◆當(dāng)負(fù)荷電流發(fā)生變化時(shí)，（1）式也有輸出。因此（1）式反映的是電流的變化，稱為電流“突變量”。當(dāng)系統(tǒng)頻率發(fā)生變化時(shí)，ik和ik-N對應(yīng)電流波形的相位將有一個(gè)差值△θ，當(dāng)k在電流過零附近時(shí)，由于電流變化較快，不大的△θ引起的不平橫電流較大，因此常采用下式求突變量電流。說明：（2）式對應(yīng)的突變量的存在時(shí)間不是20ms，而是40ms。如果由于頻率偏移，造成ik和ik-N之間有一個(gè)相角差△θ，則ik-N和ik-2N的相角差也應(yīng)基本相同，（2）式右側(cè)中的兩項(xiàng)可以部分抵消。因此采用（2）式可以補(bǔ)償由于頻率偏離產(chǎn)生的不平衡電流。13第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.頻率變化的影響設(shè)一個(gè)工頻周期的采樣點(diǎn)數(shù)為N，分析電網(wǎng)實(shí)際頻率偏離50Hz時(shí)對突變量計(jì)算公式（2）：的影響。以A相電流為例，設(shè)：（3）取最大值的條件是：14第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日按公式（1）：計(jì)算突變量受頻率變化的影響為：按公式（1）和（2）計(jì)算突變量的最大相對誤差如下表所示。f(Hz)最大相對誤差484949.55050.55152（1）式的誤差（%）25.0712.566.2806.2812.5625.07（2）式的誤差（%）6.231.580.3900.391.586.23結(jié)論：采用公式（2）計(jì)算突變量時(shí)，系統(tǒng)頻率變化的影響要小得多。15第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日四、傅里葉算法

N次諧波正弦項(xiàng)系數(shù)N次諧波余弦項(xiàng)系數(shù)基波角頻率根據(jù)傅里葉級數(shù)和三角函數(shù)的正交性，可求出系數(shù)：因此，x(t)中的n次諧波分量可以表示為：1.基本原理

基本思想：假定被采樣的模擬信號是一個(gè)周期性時(shí)間函數(shù)，可以通過傅里葉級數(shù)展開，表示為：同時(shí)，x(t)中的n次諧波分量又可以表示為：比較xn(t)的兩個(gè)表達(dá)式可得：因此可以求n次諧波的幅值和相位：16第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日2.an和bn的特點(diǎn)分析從上式可以得出：采用傅氏算法求出的n次諧波分量xn(t)的正弦項(xiàng)系數(shù)an和bn是xn(t)的初始相角αn的函數(shù)。也就是說，an和bn的值與積分開始時(shí)刻xn(t)的相角有關(guān)。由于x(t)是周期函數(shù)，因此，可以得到計(jì)算an和bn的更一般的表達(dá)式為：上式中若t1=0，即假定取從故障開始起的一個(gè)周期來積分，當(dāng)t1>0時(shí)，x(t+t1)將相對于時(shí)間坐標(biāo)的零點(diǎn)向左平移，相當(dāng)于積分從故障后t1開始。結(jié)論：an超前bn90°改變t1不會改變n次諧波分量的有效值，但初始相角會改變。17第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日 3.求阻抗（R、X） 設(shè)一個(gè)正弦信號為：因此，正弦信號x(t)可表示為向量形式：可表示為向量形式：x(t)的正弦項(xiàng)系數(shù)和余弦項(xiàng)系數(shù)為：將正弦電流、電壓信號表示為向量形式：電阻、電抗計(jì)算公式為：18第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.離散傅里葉算法每工頻周期采樣N點(diǎn)，利用梯形法則可以求得：特點(diǎn)：◆數(shù)據(jù)窗為一個(gè)工頻周期，即20ms；◆運(yùn)算量大，N次乘法和加法；◆抑制恒定直流分量和整數(shù)次諧波分量。半波傅里葉算法的正弦項(xiàng)系數(shù)和余弦項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算式為：特點(diǎn)：◆數(shù)據(jù)窗較短，為10ms；◆計(jì)算量較小，N/2次乘法和加法；◆不能濾除恒定直流分量和偶次諧波分量。19第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日5.遞歸式離散傅里葉算法 根據(jù)離散傅里葉算法的計(jì)算式，考慮n次諧波分量的正弦項(xiàng)系數(shù)在第個(gè)采樣點(diǎn)處的計(jì)算式為：在第個(gè)采樣點(diǎn)的計(jì)算式為：比較式（1）和（2）可得：同理可以求得n次諧波分量的余弦項(xiàng)系數(shù)的遞推表達(dá)式為：特點(diǎn)：◆計(jì)算量小，每次只需要一次乘法和一次加減法運(yùn)算；◆需要考慮累積誤差對算法精度的影響。20第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.傅氏算法的濾波特性傅氏算法中，求正弦項(xiàng)系數(shù)和余弦項(xiàng)系數(shù)的公式如下：上式可表示為：其中PT(t)為門函數(shù)，定義為：因此，(1)式是x(t)與的互相關(guān)，(2)式是x(t)與的互相關(guān)。以(1)式為例：隨著t1的增大，（a）的圖形將不斷的向左平移，對于每一個(gè)t1（1）式中的被積函數(shù)是圖（a）和圖（b）的乘積，其積分值是t1的函數(shù)。分析x(t)與的卷積，根據(jù)卷積的定義有：互相關(guān)的圖解示意圖積分結(jié)果是t1的函數(shù)21第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日因此，(1)式可以看成是輸入信號x(t)經(jīng)過一個(gè)沖激響應(yīng)為的濾波器的輸出。由于濾波器的沖激響應(yīng)寬度為一周期T，所以要經(jīng)過T延時(shí)后，其輸出才能反應(yīng)故障后的情況。從濾波特性上看，（1）式相當(dāng)于一個(gè)50Hz的正弦?guī)V波器。其濾波器特性如上圖中的（d）所示。卷積的圖解示意圖用同樣的方法可以證明：(2)式含有的濾波作用相當(dāng)于將輸入信號x(t)和卷積。相當(dāng)于一個(gè)50Hz的余弦?guī)V波器，特性如下圖中的（b）所示。結(jié)論：（1）和（2）式能夠完全濾除直流分量和所有的整數(shù)次諧波，對由于非周期分量引起的低頻分量抑制能力較差。22第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日7.傅里葉算法舉例電壓：電流：⑴全波傅里葉算法①輸入信號中無諧波分量23第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日電壓：電流：②輸入信號中有諧波分量24第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日電壓：電流：⑵半波傅里葉算法①輸入信號中無諧波分量時(shí)25第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日電壓：電流：②輸入信號中有諧波分量（2次和3次）時(shí)26第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日電壓：電流：③輸入信號中有諧波分量（3次）時(shí)27第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日8.衰減直流分量對傅氏算法的影響及補(bǔ)償方法設(shè)輸入信號為：λ=1/τ，τ為衰減時(shí)間常數(shù)設(shè)每周波采樣N點(diǎn)，即采樣間隔為Ts=T/N，則第m次采樣值為：式中：因此，對上式兩端在一周期內(nèi)積分，用矩形積分近似，有：考慮到交流分量在一個(gè)周期內(nèi)的積分為0，即，因此有：經(jīng)過一個(gè)采樣間隔后由（2）/（1）可得：因此根據(jù)采樣值，利用（1）和（3）式，可以計(jì)算出衰減直流分量的初始值C和時(shí)間常數(shù)τ。28第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日考慮n次諧波分量的正弦項(xiàng)系數(shù)an在第m個(gè)采樣點(diǎn)處的計(jì)算式為:故障信號中n次諧波的正弦項(xiàng)系數(shù)將帶入上式，可得：因此可求得：同理可求得：因此，當(dāng)衰減時(shí)間常數(shù)已知時(shí)，修正系數(shù)KA和KB可以離線求得。29第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日考慮n次諧波分量的正弦項(xiàng)系數(shù)an和余弦項(xiàng)系數(shù)bn在第m個(gè)采樣點(diǎn)處的計(jì)算式為:an和bn在第m+1個(gè)采樣點(diǎn)處的計(jì)算式為:下面分析an(m)、bn(m)、an(m+1)、bn(m+1)之間的關(guān)系：（6）式可變形為：①式②式30第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日因此，可得：同理，根據(jù)（7）式可求得：根據(jù)（10）、（11）式可以求得：31第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日兩種遞歸算法仿真分析電壓：電流：輸入信號：遞歸算法二遞歸算法一遞歸算法二：遞歸算法一：32第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日計(jì)算阻抗電壓：電流：輸入信號：遞歸算法二遞歸算法一33第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日衰減直流分量的影響輸入信號：算法二算法二時(shí)間常數(shù)已知的情況，r按下式計(jì)算：34第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日衰減直流分量的影響輸入信號：算法二算法二時(shí)間常數(shù)未知的情況，r按下式計(jì)算：35第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日五、解微分方程算法1.基本原理對于一般的輸電線路，在短路情況下，線路分布電容產(chǎn)生的影響主要表現(xiàn)為高頻分量，采用低通濾波器將高頻分量濾除，就可以忽略線路分布電容的影響，因此，輸電線路等效為R-L模型。在短路時(shí)，下列方程成立，即：上式中：R1、L1分別為故障點(diǎn)至保護(hù)安裝處線路段的正序電阻和電感；u、i為保護(hù)安裝處的電壓和電流。對于相間短路時(shí)，應(yīng)采用u△和i△，如AB相間短路時(shí)，取為uab和ia-ib對于單相接地短路時(shí)，取相電壓和相電流加零序補(bǔ)償電流，以A相為例，（1）式可改寫為：（2）式中，Kr、Kx分別為電阻和電感分量的零序補(bǔ)償系數(shù)，可用下式求出：其中：r0、r1、L0、L1分別為輸電線路每公里的零序和正序電阻和電感。36第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日D表示求得：2.短數(shù)據(jù)窗算法采用插值法可求得電流、電壓信號在t1和t2時(shí)刻的值為：采用差分近似求導(dǎo)求得：以（1）式為例，兩個(gè)不同采樣時(shí)刻t1和t2分別測量u、i和，得到兩個(gè)獨(dú)立的方程：3.長數(shù)據(jù)窗算法采用插值法可求得電流、電壓信號在t1和t2時(shí)刻的值為：采用差分近似求導(dǎo)求得：37第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.算法的穩(wěn)定性分析實(shí)質(zhì)就是分析R1和L1的計(jì)算公式會不會出現(xiàn)的情況。當(dāng)在出口附近短路時(shí)，分子將趨近于0，因此，如果分母出現(xiàn)兩個(gè)非常接近的數(shù)相減，就會出現(xiàn)的情況，從而導(dǎo)致算式的不穩(wěn)定，出現(xiàn)很大的誤差。為便于分析，假設(shè)電流和電流的導(dǎo)數(shù)都是正弦的，即：上式中：α1為t1時(shí)刻電流的相角，αD為電流的導(dǎo)數(shù)超前電流的角度，θ為t2滯后t1的角度。同理可求得：電壓超前電流的角度◆對分母的分析從（1）式可以看出：分母的值與與t1時(shí)刻電流的相角α1無關(guān)；在相間短路時(shí)，電流的導(dǎo)數(shù)總是超前于電流90°，即αD=90°，帶入（1）式可得：38第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日4.算法特點(diǎn)◆僅用于計(jì)算線路阻抗，應(yīng)用于距離保護(hù)中；◆不受電網(wǎng)頻率變化的影響；◆不需要濾除非周期分量；◆具有分布電容的長線路，將對算法產(chǎn)生誤差；◆差分近似求導(dǎo)帶來的誤差。上式與兩點(diǎn)乘積算法一樣。因此，為了提高分母的數(shù)值，以便提高算法的穩(wěn)定性，常采用長數(shù)據(jù)窗算法因此，θ越接近90°，分母的值越大。當(dāng)θ=90°時(shí)，D1=ωi2，D2=-ωi1，有：◆對電感計(jì)算公式的分析電感L的計(jì)算公式中的分子為：當(dāng)金屬性短路時(shí)，φ≈90°，因此上式同分母一樣，其值與α1無關(guān)?！魧﹄娮栌?jì)算公式的分析電阻R的計(jì)算公式中的分子為：當(dāng)金屬性短路時(shí)，很小，可能出現(xiàn)兩個(gè)相近的數(shù)相減。因此，電阻分量的計(jì)算相對誤差一般要比電抗分量的誤差大。39第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日五、最小二乘方算法假設(shè)故障時(shí)，電流信號中含有衰減直流分量和各次諧波分量，即i(t)可表示為：可用泰勒級數(shù)展開為：1.基本原理將輸入信號y(t)與一個(gè)預(yù)設(shè)函數(shù)f(t)按最小二乘方（或稱最小平方誤差）的原理進(jìn)行擬合。i(t)可表示為：對于每一個(gè)采樣值都應(yīng)滿足上式，取的N個(gè)采樣值可以得到N個(gè)方程，用矩陣表示為：40第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日表示為矩陣形式：當(dāng)時(shí)，A為方陣，可求得：當(dāng)時(shí)，A不是方陣，可求得：2.特點(diǎn)◆可任意選擇預(yù)設(shè)函數(shù)的模型 ※可能獲得很好的濾波性能和很高的精度； ※模型越復(fù)雜，則計(jì)算時(shí)間越長； ※利用一個(gè)預(yù)設(shè)模型，同時(shí)計(jì)算出各種所需的分量?！羲惴ǖ木群陀?jì)算時(shí)間與采樣頻率、數(shù)據(jù)窗的大小、時(shí)間參考點(diǎn)的合理選擇有密切關(guān)系

41第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日六、算法的特性及其選擇1.算法的動態(tài)特性 輸出結(jié)果隨采樣點(diǎn)數(shù)變化◆數(shù)據(jù)窗長度不滿足算法的要求時(shí)◆數(shù)據(jù)窗