第四章力學(xué)量用算符表示與表象變換

第四章力學(xué)量用算符表示與表象變換1第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日線性算符：如果算符?滿足下列條件則算符?是線性算符2第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日刻畫可觀測(cè)物理量的算符都是線性算符。（通常）﹟3第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日這是算符最基本的運(yùn)算。對(duì)于任意的波函數(shù)都成立4第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日5第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（4）算符對(duì)易討論兩個(gè)算符是否對(duì)易，一般是將它們作用在任意波函數(shù)上，看它們是否相等。若相等,則對(duì)易。即比如將要討論的位置算符6第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日而因?yàn)閷?duì)任意波函數(shù)ψ：那么7第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日若一力學(xué)量有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，可用這個(gè)關(guān)系導(dǎo)出其對(duì)易式。①對(duì)易關(guān)系的運(yùn)算性質(zhì)：8第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日②角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系角動(dòng)量在直角坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式

9第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日其中10第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日類似可得角動(dòng)量分量與動(dòng)量分量的對(duì)易關(guān)系：

下面證明與角動(dòng)量平方有關(guān)的一個(gè)對(duì)易式。11第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日12第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日得證。﹟13第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日③有關(guān)角動(dòng)量的升降算符及其對(duì)易關(guān)系引進(jìn)升降算符（希望會(huì)證）下面看角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表示14第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日在球坐標(biāo)中，以及利用15第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

從而有﹟16第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日可以理解嗎？17第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日顯然得證。（課下證）18第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日由于又由于所以上述算符方程兩邊同左乘以所以19第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日算符的復(fù)共軛算符將表達(dá)式中的所有量，都換寫成其復(fù)共軛。

例動(dòng)量算符的復(fù)共軛算符

（4）轉(zhuǎn)置算符20第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日利用內(nèi)積的定義，有則轉(zhuǎn)置算符的表達(dá)式也可以寫為即：去掉“~”，換位復(fù)共軛。要會(huì)轉(zhuǎn)換！一維粒子

三維粒子

其中對(duì)體積元：21第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)任意滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的波函數(shù)ψ、φ？22第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（5）厄米共軛算符顯然在坐標(biāo)表象中同樣可以證明作業(yè)：1.P87練習(xí)12.P90練習(xí)323第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日按照轉(zhuǎn)置算符A的定義，有則有～即～故對(duì)任意態(tài)ψ和φ，有～但是24第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日利用轉(zhuǎn)置的性質(zhì)，可以證明：下面介紹一個(gè)特別重要的算符厄米算符：滿足下列關(guān)系的算符是厄米算符或所以提示：可以首先證兩個(gè)算符的關(guān)系25第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日利用厄米共軛算符的定義式結(jié)合上頁(yè)定義可以得到因此，厄米算符的定義式也可以寫為26第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（已經(jīng)知道）﹟27第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日在體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù)。證明：介紹個(gè)定理:﹟28第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日在體系的任何狀態(tài)下，平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。證明：存在逆定理:29第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日所以即30第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上面兩式分別相加減，得滿足厄米算符的定義在物理實(shí)驗(yàn)中所用的物理量與厄米算符有何關(guān)系？31第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日因此相應(yīng)的算符對(duì)應(yīng)于厄米算符物理可觀測(cè)量要求在任何狀態(tài)下的平均值為實(shí)數(shù)即物理可觀測(cè)量用厄米算符表示。﹟而在體系的任何狀態(tài)下，平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符。即厄米算符平方的平均值必是不小于零的數(shù)。32第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日前面我們介紹了幾個(gè)算符：復(fù)共軛算符厄米共軛算符逆算符轉(zhuǎn)置算符單位算符厄米算符算符都有的屬性：?jiǎn)挝凰惴麖?fù)共軛算符轉(zhuǎn)置算符算符可能有的屬性：逆算符厄米共軛算符厄米算符要注意區(qū)別使用。33第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日（6）算符的函數(shù)類似地，可定義算符的函數(shù)34第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：不難看出，利用泰勞展開，有先對(duì)算符求n次導(dǎo)數(shù)再令算符為0求值35第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)或多個(gè)算符的函數(shù)可類似地定義,類似于多元函數(shù)﹟作業(yè)：p131-1321,2p162336第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日§4.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)

1、本征值與本征函數(shù)處于ψ

態(tài)中，測(cè)量力學(xué)量A，可得到各種值，這些值有一定的幾率分布。對(duì)于都用ψ來(lái)描述其狀態(tài)的大量相同體系進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均將趨向于一個(gè)確定的值。見下表：37第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日多次測(cè)量定義每一次測(cè)量結(jié)果范圍繞平均值的漲落--38第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日即由上式得39第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日上述方程加上相應(yīng)的數(shù)學(xué)和物理要求（邊界條件），構(gòu)成了量子力學(xué)的本征值問(wèn)題，解此問(wèn)題可得力學(xué)量的本征值和本征函數(shù)。由此有此時(shí)40第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日量子力學(xué)的又一基本原理：41第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日下面介紹兩個(gè)定理：定理1厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)（要會(huì)證）定理2厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。證明：42第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日以上兩式相減，得對(duì)方程﹟43第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2、舉例解：這是個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，z為轉(zhuǎn)軸，變量為φ本征值方程為44第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解之得利用周期性邊界條件45第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日所以，相應(yīng)的本征函數(shù)為﹟46第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解：與以上問(wèn)題的區(qū)別—這里求的是能量的本征值和本征態(tài)考慮繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面轉(zhuǎn)子(如右圖)。式中I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其Hamiltonian為47第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日或簡(jiǎn)寫為其正交歸一化的解可取為L(zhǎng)z的本征態(tài)相應(yīng)的本征能量為與第一章習(xí)題4(p14)結(jié)果進(jìn)行比較。48第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日也就是說(shuō)，能量是二度簡(jiǎn)并的。發(fā)現(xiàn)：平面轉(zhuǎn)子的角動(dòng)量z分量本征態(tài)和能量本征態(tài)可具有相同的函數(shù)形式。為什么？﹟49第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日解：動(dòng)量的x分量的本征值方程動(dòng)量的本征值上式改寫為其解為50第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日 若粒子位置不受限制，則可以取一切實(shí)數(shù)值。歸一化的平面波，與連續(xù)的本征值相應(yīng)的波函數(shù)所表示的是不能習(xí)慣上取則有平面波的“歸一化”就用δ函數(shù)的形式表示了出來(lái)。51第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日在三維情況下，動(dòng)量算符的本征值方程是動(dòng)量算符的本征值在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量px,py和pz均為實(shí)數(shù)。動(dòng)量本征值方程的解是為的單色平面波。52第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日在量子力學(xué)中，平面波代表粒子處在動(dòng)量一定、在空間各處出現(xiàn)的概率都相同的狀態(tài)，這是一種理想化的模型。它不能用通常的辦法歸一化，而是采用函數(shù)的形式“歸一化”。53第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日一維自由粒子的Hamiltonian為或簡(jiǎn)寫為54第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日相應(yīng)的能量本征值為﹟問(wèn)題：為啥具有相同的本征態(tài)？一維粒子動(dòng)量與能量算符具有相同的本征態(tài)發(fā)現(xiàn)：有何意義？55第五十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2、簡(jiǎn)并度問(wèn)題如果屬于本征值的本征態(tài)是即力學(xué)量A的本征值方程為在出現(xiàn)簡(jiǎn)并時(shí)，簡(jiǎn)并態(tài)的選擇并不是唯一的。則稱本征值是重簡(jiǎn)并的。稱fn為簡(jiǎn)并度。56第五十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日而且一般說(shuō)這些簡(jiǎn)并態(tài)不一定彼此正交。下面介紹的Schmidt正交化方法就是經(jīng)常采用的方法。但是，可以證明，總可以把它們適當(dāng)?shù)鼐€性疊加使之彼此正交。57第五十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日58第五十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于正交條件取組合59第五十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日盡管如此，我們總可以說(shuō)，厄米算符的本征函數(shù)彼此正交，不管