成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析 第3課時 一元線性回歸模型及其應用

.2一元線性回歸模型及其應用（3課時，單元教學設計）第一課時劉謙（安徽省淮南第一中學）第二、三課時石偉偉（安徽省壽縣第二中學）1單元內(nèi)容與內(nèi)容解析1.1內(nèi)容模型評價與改進模型應用參數(shù)的最小二乘估計一元線性回歸模型模型評價與改進模型應用參數(shù)的最小二乘估計一元線性回歸模型決定系數(shù)R2殘差分析模型解釋決定系數(shù)R2殘差分析模型解釋模型假設模型假設一元線性回歸模型，一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.第1課時：一元線性回歸模型.第2課時：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計.第3課時：一元線性回歸模型的應用.1.2內(nèi)容解析一元線性回歸模型是描述兩個隨機變量之間相關(guān)關(guān)系的最簡單的回歸模型.當兩個變量具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系時，可以建立一元線性回歸模型來刻畫兩個變量間的隨機關(guān)系，并通過模型進行預測.建立一元線性回歸模型的基礎是對成對樣本數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析.通過散點圖，直觀觀察相關(guān)關(guān)系的類型、方向和強弱；構(gòu)造相關(guān)系數(shù)，定量刻畫兩個變量相關(guān)的正負性和線性相關(guān)關(guān)系的密切程度.在此基礎上，建立一元線性回歸模型，使用最小二乘法估計參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程，進行預測.為了評價和改進模型，引入殘差和殘差圖，以及決定系數(shù)R2對模型進行診斷，使其不斷完善，幫助決策.一元線性回歸模型是統(tǒng)計學中一種最基礎且重要的模型，許多回歸模型都是以一元線性回歸模型為基礎進行研究.其涉及的統(tǒng)計模型的思想、最小二乘思想、方差分析思想（構(gòu)造統(tǒng)計量，評價回歸擬合效果）在統(tǒng)計學中占有重要的地位.在一元線性回歸模型的建立和應用過程中，通過創(chuàng)建回歸方程、估計模型參數(shù)、分析模型有效性、將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型等內(nèi)容的學習，使學生親力親為、參與其中，體會統(tǒng)計的思想，理解統(tǒng)計的概念，了解統(tǒng)計分析的一般方法，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗，增強應用意識.讓學生感悟到根據(jù)實際情況進行科學決策的必要性和可能性，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異、歸納推理與演繹證明的差異，夯實“四基”，提高“四能”，全面培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).基于以上分析，確定本單元的教學重點：（1）一元線性回歸模型的意義；（2）用最小二乘法估計回歸模型參數(shù)的方法；（3）殘差分析和決定系數(shù)R2的意義；（4）一元線性回歸模型的應用.2單元目標與目標解析2.1目標（1）結(jié)合具體事例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理.（2）掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析.（3）掌握殘差分析的方法，理解決定系數(shù)R2的意義.（4）針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.2.2目標解析達成上述目標的標志是：（1）知道線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，知道線性回歸模型中誤差e的含義，知道假設誤差e滿足E(e（2）能依據(jù)使用距離來刻畫接近程度的數(shù)學方法了解最小二乘原理，并利用該原理推導參數(shù)估計值的計算公式.（3）會使用統(tǒng)計軟件繪制散點圖，計算樣本相關(guān)系數(shù)、求回歸方程，能用殘差、殘差圖和決定系數(shù)R2對回歸模型進行評價等.（4）通過具體案例，理解利用一元線性回歸模型可以刻畫隨機變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，在建立一元線性回歸模型解決實際問題的過程中，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、邏輯推理等素養(yǎng).3單元教學問題診斷分析“一元線性回歸模型及其應用”與“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”一樣，都是關(guān)于定量變量進行的研究.在前一節(jié)“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”的學習中，主要介紹了散點圖和相關(guān)系數(shù)，側(cè)重于考查變量之間相關(guān)的形態(tài)和程度，而“一元線性回歸模型及其應用”側(cè)重于考查變量之間的數(shù)量關(guān)系，展示變量之間的具體形態(tài).因此，可以看作是在前一節(jié)基礎上的進一步深入刻畫.為了揭示這種數(shù)量關(guān)系，在第一節(jié)里引入回歸模型這一概念，教學時要注意與函數(shù)模型的區(qū)別，體會統(tǒng)計思維和確定性思維的差異，這也是由于統(tǒng)計學的學科特點決定的.統(tǒng)計學是建立在數(shù)據(jù)的基礎上，通過演繹方式，對隨機現(xiàn)象進行研究的科學.許多樣本數(shù)據(jù)帶有隨機性，因此，在構(gòu)建模型時，特地設置了隨機誤差項e，反映未列入方程的其它各種因素對Y的影響，并對其均值和方差做了要求.學生們在學習隨機誤差時可能會存在理解困難.在第二節(jié)里，介紹了利用最小二乘原理尋求最佳擬合直線的方法，讓學生體會其蘊含的最小二乘思想，認識到最小二乘法是統(tǒng)計分析中一種常用的數(shù)據(jù)處理方法.利用該方法對模型的參數(shù)做出估計時，學生們?nèi)菀渍`將參數(shù)的估計值當作模型的參數(shù)，對參數(shù)的意義理解不夠準確，這是由于對樣本的隨機性了解不夠造成的.教學設計時專門設置解惑環(huán)節(jié)，消除障礙，深化理解.基于以上分析，確定本單元的教學難點：（1）對隨機誤差的理解；（2）最小二乘的原理和方法；參數(shù)的意義及參數(shù)估計公式的推導；（4）殘差變量的解釋與分析；（5）模型的應用以及優(yōu)度的判斷.4單元教學支持條件分析一元線性回歸模型主要研究兩個隨機變量的線性相關(guān)關(guān)系，通過成對樣本數(shù)據(jù)建立模型，尋找數(shù)據(jù)背后隱藏的規(guī)律.在教學時，由于需要處理大量數(shù)據(jù)，涉及畫散點圖、求回歸方程、畫回歸直線、計算殘差和決定系數(shù)R2以及數(shù)據(jù)變換等等，計算量大.《課標（2017年版）》里明確要求“會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件”.因此，在本單元教學中，需要使用GeoGebra、Excel、圖形計算器等統(tǒng)計軟件幫助處理數(shù)據(jù).利用信息技術(shù)工具輔助教學,不僅僅是教學的需要，也是現(xiàn)如今大數(shù)據(jù)時代，對于每個受教育者掌握必備的信息技術(shù)提出的要求.借助大數(shù)據(jù)的東風，創(chuàng)建信息技術(shù)高效課堂.5課時教學設計1第一課時5.1教學內(nèi)容1.構(gòu)建一元線性回歸模型.2.理解一元線性回歸模型．5.2教學目標1.理解一元線性回歸模型的表達式及模型中參數(shù)的意義.2.能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型并會進行預測.3.知道一元線性回歸模型建立的必要性.5.3教學重點與難點教學重點：一元線性回歸模型的概念，隨機誤差的概念,表示與假設.教學難點：回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別，隨機誤差產(chǎn)生的原因與影響.5.4教學過程設計引言通過前面的學習我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強弱等.進一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當?shù)慕y(tǒng)計模型刻畫兩個隨機變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個模型研究兩個變量之間的隨機關(guān)系，并通過模型進行預測.下面我們研究當兩個變量線性相關(guān)時，如何利用成對樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型，并利用模型進行預測的問題.5.4.1復習舊知，導入新課問題情境：我們在長大的過程中，經(jīng)常聽到家長囑咐孩子不要在家里打傘，不然會長不高，類似的還有不要站在門框下，不要在橋下走，不要從晾曬的褲子面走過等，這些聽了幾十年的話，長大了自然都知道是因為家長不愿讓孩子調(diào)皮搗蛋才“編造”的?！獜目茖W角度來看，孩子的身高是由父母共同決定的。但是，孩子的身高并不是完全靠遺傳影響，實際上遺傳因素只占身高的60-70%，剩下的30-40%是受后天因素影響的。所以說兒子的身高與父親的身高有關(guān)。一般來說，父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高，但會受到其他因素的影響。為了進一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學生的身高及其父親的身高，得到數(shù)據(jù)如表所示：5.4.2直觀感知，引入新知問題1：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？師生活動：學生閱讀教材，回答問題，教師補充——在表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個和第8個觀測父親的身高均為172cm，而對應的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個觀測中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.設計意圖：通過分析發(fā)現(xiàn)，兩者不滿足函數(shù)關(guān)系，由此引入新的模型來刻畫兩者關(guān)系.5.4.3復習舊知，探究新知利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標系，將表格中的成對樣本數(shù)據(jù)表示為散點圖，如下圖所示：問題2：經(jīng)過剛才的分析，你覺得兒子身高與父親身高的關(guān)系是怎樣的？師生活動：教師引導學生回憶之前學過的變量間的相關(guān)關(guān)系的內(nèi)容，給出答案——兒子身高與父親身高不是函數(shù)關(guān)系，而是相關(guān)關(guān)系.追問：兒子身高與父親身高的關(guān)系是正相關(guān)還是負相關(guān)？是線性相關(guān)還是曲線相關(guān)？師生活動：引導學生積極討論，給出結(jié)論——散點大致分布在一條直線附近,表明兒子身高和父親身高有較強的線性相關(guān)關(guān)系.問題3：能否進一步驗證剛才的結(jié)論？師生活動：引導學生回憶樣本相關(guān)系數(shù)公式計算可得相關(guān)系數(shù),表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較強.設計意圖：復習樣本相關(guān)系數(shù)公式，進一步明確兒子身高和父親身高有較強的線性相關(guān)關(guān)系.問題4：除父親身高外，還有哪些因素影響兒子的身高？師生活動：通過組織學生討論問題，形成以下主要結(jié)論：影響兒子身高的因素，除父親的身高外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機的因素，兒子身高不是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機的因素.設計意圖：找出父親身高和兒子身高不能用函數(shù)模型刻畫的原因.問題5：如何理解隨機誤差對兒子身高的影響？師生活動：教師指出，如果用表示父親身高，表示兒子的身高，用表示各種其他隨機因素影響之和，稱為隨機誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，假設沒有隨機誤差，則兒子身高只受父親身高影響，則，事實上，相關(guān)系數(shù)，故，也可以記作.設計意圖：理解影響兒子身高的因素，并用數(shù)學語言刻畫它們之間的關(guān)系.圖3問題6：隨機誤差有哪些特征？圖3師生活動：通過組織學生討論問題，形成以下主要結(jié)論：可取正或取負，有些無法測量，不可事先設定，故是一個隨機變量.由于隨機誤差表示大量已知和未知的各種影響之和，是隨機的，即取各種正負誤差的可能性一樣，他們會相互抵消（如圖3），所以它們均值的理想狀態(tài)應該為零.為使問題簡潔，可以假設隨機誤差的均值為零，方差為與父親身高無關(guān)的定值.設計意圖：了解隨機誤差特征，雖然單個隨機誤差是無法預先設定的，但是隨機誤差的總體可以定量刻畫.5.4.4形成概念，構(gòu)建模型通過以上分析，我們用類似于函數(shù)的表達式，構(gòu)建統(tǒng)計模型，來表達兒子身高與父親身高的關(guān)系。師生活動：教師引導學生寫出稱(1)式為的一元線性回歸模型（simplelinearregressionmodel）.其中稱為因變量或響應變量,稱為自變量或解釋變量，為模型的未知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機誤差；模型中的是隨機變量，其值雖然不能由變量的值確定，但卻能表示為與的和（疊加），前一部分由唯一確定，后一部分是隨機的.如果，那么之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.設計意圖：了解隨機現(xiàn)象，并嘗試用數(shù)學語言描述隨機現(xiàn)象.追問1：為什么要假設而不假設為某個不為零的常數(shù)？追問2：為什么要假設方差為與父親身高無關(guān)的定值？師生活動：教師引導學生分析問題，并適時指出，隨機誤差通常服從正態(tài)分布，如果隨機誤差的均值為一個不為零的常數(shù)，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實際建模中，也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機誤差.而e為隨機誤差，跟父親身高無關(guān)，而是跟母親身高、飲食、鍛煉等有關(guān)，所以假設方差為與父親身高無關(guān)的定值。設計意圖：理解研究隨機問題的重要思想，即將一個隨機變量表示成一個主要的確定性的量與一個次要的隨機量之和，只要控制次要的隨機量在一定的范圍之內(nèi)，那么隨機問題就可以通過研究確定性問題得到理想的結(jié)果.5.4.5模型理解問題7：（1）函數(shù)模型與回歸模型有什么區(qū)別？（2）已知父親身高，能用一元線性回歸模型確定兒子身高嗎？師生活動：教師引導學生分析問題，并得出結(jié)論：（1）函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系?；貧w模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性的關(guān)系。即回歸模型刻畫的是兩個變量之間的隨機關(guān)系。不能，因為隨機誤差不可事先設定.追問1：你能結(jié)合父親與兒子身高的實例，說明回歸模型(1)的意義？追問2：對于父親身高為的某一名男大學生，他的身高一定為嗎？——（1）可以解釋為父親身高為的所有男大學生身高組成一個子總體，該子總體的均值為，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系.當父親身高為，對應的兒子身高不是唯一確定的,而是有很多可能的取值，記作，它們的均值為：（2）對于父親身高為的某一名男大學生，他的身高并不一定為，它僅是該子總體的一個觀測值，這個觀測值與均值有一個誤差項.設計意圖：通過具體實例，加深學生對一元線性回歸模型的理解.追問3：你能結(jié)合具體實例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機誤差項的原因嗎？師生活動：組織學生展開討論，形成共識，在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時，產(chǎn)生隨機誤差的原因有：（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習慣和鍛煉時間等.（2）在測量兒子身高時，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差.（3）實際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機誤差的原因.設計意圖：通過具體實例，加深學生對隨機誤差的理解.5.4.6總結(jié)歸納問題8：一元線性回歸模型有何作用?師生活動：教師引導學生分析問題，并適時指出：當父親身高為時可以通過了解兒子身高的總體情況，從而預測兒子的身高.設計意圖：通過具體實例，使學生了解一元線性回歸模型的作用.5.4.7應用新知，學以致用例1、若某地財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入10億元，年支出預計不會超過多少？解：因為財政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到y(tǒng)＝0.7x＋3＋e，當x＝10時，得y＝0.7×10＋3＋e＝10＋e，而|e|≤0.5，即－0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預計不會超過10.5億元．師生活動：教師引導學生分析題意，抓住|e|≤0.5這個關(guān)鍵.學生動筆，完成整個計算．在刑偵學領域，腳印專家利用遺留在現(xiàn)場的足跡長度，推測出罪犯的大致身高，這是符合科學的一種推斷方法。在《犯罪現(xiàn)場分析》一書中就記載了我國成年人的足跡長與身高之間的推算公式，即Y=4.45x+63.7（Y為身高，x為平面赤足足跡長）。那么，參數(shù)4.45的含義是什么？解：因為我國成年人的足跡與身高滿足一元線性回歸模型，參數(shù)4.45的含義可以解釋為解釋變量x對響應變量Y的均值的影響，解釋變量x每增加1個單位，響應變量Y的均值將增加4.45個單位.即赤足長每增加1厘米，成年人身高的均值增加4.45厘米.追問：4.45和63.7這兩個數(shù)據(jù)是怎么得到的？用什么方法得到的？有沒有什么根據(jù)？推測的結(jié)果準不準？——通過一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計來得到的，并借助決定系數(shù)R^2來檢驗模型的擬合效果，進而判斷出推測的結(jié)果是否準確。師生活動：教師引導學生分析問題，并指出：赤足長每增加1厘米，成年人身高的均值增加4.45厘米.設計意圖：通過具體實例，使學生認識一元線性回歸模型中參數(shù)的統(tǒng)計意義。并承上啟下，激發(fā)學生的學習興趣，為下一節(jié)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計的引入做好鋪墊。跟蹤訓練1思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)（1）兩個變量之間產(chǎn)生隨機誤差的原因僅僅是因為測量工具產(chǎn)生的誤差()（2）在一元線性回歸模型中，可以假設隨機誤差e的均值為某個不為0的常數(shù)()跟蹤訓練2某人計算出父親身高與兒子身高的一元線性回歸模型中參數(shù)b=0.839，請說明參數(shù)b的含義是什么？師生活動：教師引導學生分析問題，并適時指出：父親身高每增加1厘米，兒子身高的均值增加0.839厘米.設計意圖：通過具體實例，使學生認識一元線性回歸模型中參數(shù)的統(tǒng)計意義.跟蹤訓練3將圖8.2-1中的點按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖象是一個折線圖，可以用這條折線表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？師生活動：不能.一是父親的身高與兒子的身高之間