等腰三角形的性質(zhì)

2、等腰三角形的性質(zhì)若按邊(角)是否相等分類，兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形(isoscelestriangle)．等腰三角形是一類特殊三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合(簡稱三線合一)，特別地，等邊三角形(equilateraltriangle)的各邊相等，各角都為600．解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運用，又不囿于全等三角形，善于運用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑．【例l】如圖，AOB是一鋼架，且∠AOB=100，為使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF、FG、GH……添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管根．(山東省聊城市中考題)思路點撥通過角度的計算，確定添加鋼管數(shù)的最大值．【例2】如圖，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，則∠BAC的度數(shù)為()．A．300B．320C．360D．400(武漢市選拔賽試題)思路點撥圖中有很多相關(guān)的角，用∠BAC的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠BAC的方程．【例3】如圖，在△ABC中，已知∠A=900，AB=AC，D為AC上一點，AE⊥BD于E，延長AE交BC于F．問當(dāng)點D滿足什么條件時，∠ADB=∠CDF，請說明理由．(安徽省競賽題改編題)思路點撥本例是探索條件的問題，可先假定結(jié)論成立，逐步逆推過去，找到相應(yīng)的條件，若∠ADB=∠CDF，這一結(jié)論如何用?因∠ADB與∠CDF對應(yīng)的三角形不全等，故需構(gòu)造全等三角形，而作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是等腰三角形中一條常用輔助線．【例4】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，且求證：BD是∠ABC的角平分線．(北京市競賽題)思路點撥AE邊上的高與∠ABC的平分線重合，聯(lián)想到等腰三角形，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．【例5】如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為△ABC內(nèi)一點，使得∠MCA=300，∠MAC=160．求∠BMC的度數(shù)．(2005年北京市競賽題)思路點撥作等腰△ABC的對稱軸，通過計算，證明全等三角形．1．如圖，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一個條件是．(濟南市中考題)2．等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊的長為．3．一個等腰三角形的一條高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為(2005年河北省競賽題)4．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC的大小是．(煙臺市中考題)5．△ABC的一個內(nèi)角的大小是400，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的大小是()．A．1400B．800或1000C．1000或l400D．800或l4006．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的是()．A．1個B．2個C．3個D．4個(蘇州市中考題)7．如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=()．A．600B．450C．300D．不確定8．如圖，在等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數(shù)是()．A．450B．550C．600D．750(菏澤市中考題)9．在△ABC中，已知AB=AC，且過△ABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)．(廣州市中考題)10．如圖，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形，圖中除已知相等的邊外，請你猜想還有哪些相等線段?并證明你的猜想是正確的．(2005年常州市申考題)11．如圖①，△ABC和△CEF是兩個大小不等的等邊三角形，且有一個公共頂點C，連結(jié)AF和BE．(1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請證明你的結(jié)論；(2)將圖①中的△CEF繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖②，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由；(3)將圖①中的△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請你畫出一個變換后的圖形，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷，不必說明理由；(4)根據(jù)以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)．、12．如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點，BD=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，則∠BED的度數(shù)是．(河南省競賽題)13．如圖，AA/、BB/分別是∠EAB、∠DBC的平分線，若AA/=BB/=AB，則∠BAC的度數(shù)為．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)14．周長為l00，邊長為整數(shù)的等腰三角形共有種．(第7屆“華杯賽”試題)15．已知△ABC的某兩個內(nèi)角的比是4：7，且AB=AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABC交AC于E，則∠EBD的大小是．(第16屆“希望杯”邀請賽試題)16．如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是()．A．200B．260C．300D．45017．如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰相交于E、F，連結(jié)EF與AD相交于G，則∠AED與∠AGF的關(guān)系為()．A．∠AED>∠AGFB．∠AED=∠AGFC．∠AED<∠AGFD．不能確定(《學(xué)習(xí)報》公開賽試題)18．如圖，△ABC中，∠ACB=900，∠A=200，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a角到△A/B/C/的位置，B在A/B/上，CA/交AB于D，則∠BDC的度數(shù)為()．A．400B．450C．500D．600(2004年山東省競賽題)19．如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結(jié)論：①AE=(AB+AD)；②∠DAB+∠DCB=1800；③CD=CB；④S．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()．A．1個B．2個C．3個D．4個、20．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在BA、BC的延長線上，且AD=BE．求證：DC=DE．21．如圖，AE、AD是直線且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE=，求的值．(第20屆香港中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)22．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，0為△ABC內(nèi)一點，且∠0BC=100，∠OCA=200，求∠BA0的度數(shù)．(天津市競賽題)23．如圖，△ABC是邊長為l的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個三角形．求證：△AMN的周長等于2．24．如圖，在△ABC中，已知∠C=600，AC>BC，又△ABC、△BCA、△CAB都是△ABC形外的等邊三