2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)12命題其關(guān)系充分條件與必要條件講義理

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必需條件1．命題的觀點(diǎn)用語言、符號或式子表達(dá)的，能夠判斷真假的陳說句叫做命題．此中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其關(guān)系四種命題間的互相關(guān)系四種命題的真假關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們擁有同樣的真假性；(2)兩個命題為互抗命題或互否命題，它們的真假性沒相關(guān)系?3．充分條件、必需條件的判斷充分條件與必需條件的定義從會合角度理解若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必p建立的對象的會合為A，q建立的對象要條件的會合為Bp是q的充分不用要條件p?q且q?/pA是B的真子集p是q的必需不充分條件?/q且q?pB是A的真子集p會合與充要條件p是q的充要條件p?qA＝B的關(guān)系?p是q的既不充分也不用要?/?/p，互不包括pq且qAB條件否命題對題設(shè)和結(jié)論都進(jìn)行否認(rèn)．在判斷充分、必需條件的時候，必定要從p可否推出q，q可否推出p雙方面去判斷：對于q?p，要能夠證明，而對于p?/q，只要舉一反例即可．小能夠推大，大不可以夠推小，如x>2(小范圍)?x>1(大范圍)，x>1(大范圍)?/x>2(小范圍)．[熟記常用結(jié)論]1．充分條件與必需條件的兩個特色對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必需條件，即“p?q”?“q?p”．傳達(dá)性：若p是q的充分(必需)條件，q是r的充分(必需)條件，則p是r的充分(必需)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．2．利用互為逆否命題“同真、同假”的特色，可得：(1)p?q等價于綈q?綈p；(2)q?/p等價于綈p?/綈q.[小題檢驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．()(2)一個命題非真即假．( )(3)四種形式的命題中，真命題的個數(shù)為0或2或4.( )答案：(1)×(2)√(3)√二、選填題1．已知命題p：若x≥a2＋b2，則x≥2ab，則以下說法正確的選項(xiàng)是( )A．命題p的抗命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”B．命題p的抗命題是“若x＜2ab，則x＜a2＋b2”C．命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”D．命題p的否命題是“若x≥a2＋b2，則x＜2ab”分析：選C命題p的抗命題是“若x≥2ab，則x≥a2＋b2”，故A、B都錯誤；命題p的否命題是“若x＜a2＋b2，則x＜2ab”，故C正確，D錯誤．2．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選A因?yàn)閏os2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sinα＝±cosα，所以“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不用要條件．應(yīng)選A.3．原命題“設(shè)a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”以及它的抗命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．4分析：選C當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，所以原命題是假命題；因?yàn)樵}與逆否命題的真假一致，所以逆否命題也是假命題；抗命題為“設(shè)a，，∈R，若2>2，則>”，它bcacbcab是真命題；因?yàn)榉衩}與抗命題的真假一致，所以否命題也是真命題．綜上所述，真命題有個．4．(2019·青島模擬)命題“若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)”的逆否命題為______________________．答案：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________條件(選填“充分不用要”“必需不充分”“充要”“既不充分也不用要”)．分析：x(x－1)＝0?x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不必定有x＝1建立；但x＝1能推出x(x－1)＝0建立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必需不充分條件．答案：必需不充分[基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)]考點(diǎn)一命題及其關(guān)系[題組練透]1．命題“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”的逆否命題是( )A．若x≠y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2＝0B．若x＝y(tǒng)≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0分析：選Dx2＋y2＝0的否認(rèn)為x2＋y2≠0；x＝y(tǒng)＝0的否認(rèn)為x≠0或y≠0.故“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”的逆否命題為“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0”．2．有以下命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的抗命題；②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題．此中真命題為( )A．①②

B．②③C．④

D．①②③分析：選

D

①“若

x，y互為倒數(shù)，則

xy＝1”是真命題；②“面積不相等的兩個三角形必定不全等”，是真命題；③若m≤1，則＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題，故其逆否命題也是假命題．應(yīng)選D.3．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可是第四象限．在它的抗命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是( )A．3B．2C．1D．0分析：選C易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而抗命題、否命題是假命題，故它的抗命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題只有一個．[名師微點(diǎn)]1．由原命題寫出其余3種命題的方法由原命題寫出其余三種命題，

重點(diǎn)要分清原命題的條件和結(jié)論，

將條件與結(jié)論交換即得抗命題，將條件與結(jié)論同時否認(rèn)即得否命題，

將條件與結(jié)論交換的同時進(jìn)行否認(rèn)即得逆否命題．[提示]

(1)對于不是“若

p，則

q”形式的命題，需先改寫；當(dāng)命題有大前提時，寫其余三種命題時需保存大前提．2．判斷命題真假的2種方法直接判斷：判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．間接判斷：依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，抗命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)變成判斷其逆否命題的真假．[師生共研過關(guān)]考點(diǎn)二充分條件、必需條件的判斷[典例精析](1)(2018·天津高考)設(shè)x∈R，則“x－1＜1”是“x3＜1”的( )22A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件(2)(2018·北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的()A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件1(3)“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－x＋a為奇函數(shù)”的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析由x－11＜＜，則＜3，即“11“3[](1)＜，得0＜x－＜”?x＜”；22x10x1221由x3＜1，得x＜1，當(dāng)x≤0時，x－1≥1，22即“x3＜”?/“x－1＜1”．122－113所以“x2＜2”是“x＜1”的充分而不用要條件．(2)a，，，是非零實(shí)數(shù)，若＜0，＜0，>0，>0，且＝，則，，，不bcdadbcadbcabcd成等比數(shù)列(能夠假定a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質(zhì)可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必需而不充分條件．(3)f(x)的定義域?yàn)?/p>

{x|x≠0}，對于原點(diǎn)對稱，當(dāng)

a＝0

時，f(x)＝sin

1x－x，f(－x)1

1

1＝sin(

－x)－－x＝－sin

x＋x＝－

sin

x－x

＝－f(x)，故

f(x)為奇函數(shù)；1反之，當(dāng)f(x)＝sinx－x＋a為奇函數(shù)時，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－111x)－－x＋a＋sinx－x＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝sinx－x＋a為奇函數(shù)”的充要條件，應(yīng)選C.[答案](1)A(2)B(3)C[解題技法]充分、必需條件的判斷3種方法利用定義判直接判斷“若p，則”“若q，則”的真假．在判斷時，確立條件是什qp斷么、結(jié)論是什么從會合的角利用會合中包括思想判斷．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范度判斷圍，即可解決充分必需性的問題利用等價轉(zhuǎn)條件和結(jié)論帶有否認(rèn)性詞語的命題，常轉(zhuǎn)變成其逆否命題來判斷真假化法[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2018·衡陽模擬)對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象對于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不用要條件分析：選

B

若y＝f(x)為奇函數(shù)，則

y＝|f(x)|

的圖象對于

y軸對稱，反過來不建立，因?yàn)楫?dāng)y＝f(x)為偶函數(shù)時，y＝|f(x)|的圖象也對于y軸對稱．應(yīng)選B.2．(2018·北京高考)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件分析：選C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3|＝10，|3a＋|＝10，bb能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必需條件．3．設(shè)，是實(shí)數(shù)，則“>”是“a2>2”的()ababbA．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選D>不可以推出2>2，比如＝－1，＝－2；2>2也不可以推出>，比如aababababab＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不用要條件．[師生共研過關(guān)]考點(diǎn)三充分條件、必需條件的探究與應(yīng)用[典例精析](1)命題“?x∈[1,3]，2－≤0”為真命題的一個充分不用要條件是()xaA．a(chǎn)≥9B．a(chǎn)≤9C．a(chǎn)≥10D．a(chǎn)≤10(2)已知＝{|x2－8x－20≤0}，非空會合＝{x|1－≤≤1＋}．若x∈P是∈的PxSmxmxS必需條件，則m的取值范圍為________．[分析](1)命題“?x∈[1,3]，x2－≤0”?“?x∈[1,3]，x2≤”?9≤a.則≥10aaa是命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不用要條件．由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P是x∈S的必需條件，則S?P，1－m≥－2，∴1＋m≤10，解得0≤m≤3，1－m≤1＋m，故0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必需條件．[答案](1)C(2)[0,3][變式發(fā)散]1．(變條件)本例(2)中條件“若x∈P是x∈S的必需條件”變成“綈P是綈S的必需不充分條件”，其余條件不變．務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈P是綈S的必需不充分條件，∴P是S的充分不用要條件，∴P??/P.S且S∴[－－m,1＋m]．1－m≤－2，1－m＜－2，∴m≥9，∴或1＋m>101＋m≥10，則m的取值范圍是[9，＋∞)．2．(變設(shè)問)本例(2)條件不變，問能否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明原因．解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，1－m＝－2，

m＝3，∴

∴1＋m＝10，

m＝9，這樣的

m不存在．[解題技法]依據(jù)充分、必需條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn)把充分條件、必需條件或充要條件轉(zhuǎn)變成會合之間的關(guān)系，而后依據(jù)會合之間的關(guān)系列出對于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．特別是利用兩個會合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式能否能夠取等號決定端點(diǎn)值的棄取，辦理不妥簡單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．[過關(guān)訓(xùn)練]1．使a>0，b>0建立的一個必需不充分條件是( )A．a(chǎn)＋b>0B．a(chǎn)－b>0C．a(chǎn)b>1aD.b>1分析：選A因?yàn)閍>0，b>0?a＋b>0，反之不建立，而由a>0，b>0不可以推出a－b>0，aab>1，b>1，應(yīng)選A.2．已知命題

p：x2＋2x－3>0；命題

q：x>a，且綈

q的一個充分不用要條件是綈

p，則a的取值范圍是

(

)A．[1，＋∞

)

B．(－∞，

1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]分析：選A由x2＋2－3>0，得x＜－3或x>1，由綈q的一個充分不用要條件是綈，xp可知綈p是綈q的充分不用要條件，等價于q是p的充分不用要條件，故a≥1.應(yīng)選A.[課時追蹤檢測]一、題點(diǎn)全面練1．命題“若a>b，則a＋c>b＋c”的否命題是()A．若a≤b，則a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，則a≤bC．若＋>＋，則>D．若>，則a＋≤＋acbcababcbc分析：選A“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”，所以原命題的否命題是“若a≤b，則a＋c≤b＋c”，應(yīng)選A.π2．命題“若α＝4，則tanα＝1”的逆否命題是()ππA．若α≠4，則tanα≠1B．若α＝4，則tanα≠1ππC．若tanα≠1，則α≠4D．若tanα≠1，則α＝4分析：選C以否認(rèn)的結(jié)論作條件、否認(rèn)的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若ππα＝4，則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠4”．3．有以下幾個命題：11①“若a>b，則a>b”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的抗命題；③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題．此中真命題的序號是()A．①B．①②C．②③D．①②③11分析：選C①原命題的否命題為“若a≤b，則a≤b”，假命題；②原命題的抗命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，真命題；③原命題為真命題，故逆否命題為真命題．所以真命題的序號是②③.4．設(shè)，B是兩個會合，則“∩＝”是“?”的()AABAABA．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選C由∩＝可得?，由?可得∩＝.所以“∩＝”是“?”ABAABABABAABAAB的充要條件．應(yīng)選C.5．(2019·西城區(qū)模擬)設(shè)平面向量a，b，c均為非零向量，則“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選B由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不建立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必需不充分條件．6．(2019·撫州七校聯(lián)考)A，B，C三個學(xué)生參加了一次考試，A，B的得分均為70分，C的得分為65分．已知命題：若及格分低于70分，則，，都沒有及格．則以下四個pABC命題中為p的逆否命題的是()A．若及格分不低于70分，則A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，則及格分不低于70分C．若A，B，C起碼有一人及格，則及格分不低于70分D．若A，B，C起碼有一人及格，則及格分高于70分分析：選C依據(jù)原命題與它的逆否命題之間的關(guān)系知，命題p的逆否命題是若A，B，C起碼有一人及格，則及格分不低于70分．應(yīng)選C.7．(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－＋>0在R上恒建立”的一個必需不充分條件xm是( )1A．m>4B．0＜m＜1C．>0D．>1mm分析：選C若不等式x2－＋>0在R上恒建立，則＝(－1)2－4＜0，解得>1，xmmm4所以當(dāng)不等式x2－＋>0在R上恒建即刻，必有>0，但當(dāng)>0時，不必定推出不等式在Rxmmm上恒建立，故所求的必需不充分條件能夠是m>0.8．(2019·安陽模擬)設(shè)p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1在[0，＋∞)上單一遞加，q：m＋5≥0，則p是q的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選A函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單一遞加，只要f′( )＝ex＋4＋≥0在[0，＋xxm)上恒建立，又因?yàn)閒′(x)＝ex＋4x＋m在[0，＋∞)上單一遞加，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不用要條件．二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯專練——不丟怨枉分1．已知α，β是兩個不一樣的平面，直線

l?

β，則“α∥β”是“

l

∥α”的

(

)A．充分不用要條件

B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選A∵α，β是兩個不一樣的平面，直線l?β，則“α∥β”?“l(fā)∥α”，反之不建立，∴α，β是兩個不一樣的平面，直線l?β，則“α∥β”是“l(fā)∥α”的充分不用要條件．應(yīng)選A.2．(2019·太原模擬)“m＝2”是“函數(shù)y＝|cosmx|(m∈R)的最小正周期為π2”的( )A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選A∵當(dāng)函數(shù)y＝|cos|(∈R)的最小正周期為π時，＝±2，∴“＝2”mxm2mm是“函數(shù)y＝|cosmx|(m∈R)的最小正周期為π2”的充分不用要條件．3．“單一函數(shù)不是周期函數(shù)”的逆否命題是_______________________________．分析：原命題可改寫為“若函數(shù)是單一函數(shù)，則函數(shù)不是周期函數(shù)”，故其逆否命題是“若函數(shù)是周期函數(shù)，則函數(shù)不是單一函數(shù)”，簡化為“周期函數(shù)不是單一函數(shù)”．答案：周期函數(shù)不是單一函數(shù)(二)修養(yǎng)專練——學(xué)會更學(xué)通4．[邏輯推理]若命題A的抗命題為B，